Experimentelle Fehler bei der Messung von Intensit¨ aten

4. Wasserstoffstreuung 53

4.4 Wasserstoffstreuung an LiF, NaCl, KCl und MgO

4.4.5 Experimentelle Fehler bei der Messung von Intensit¨ aten

F¨ur die relativen Intensit¨aten wird f¨ur die ung¨unstigsten Messwerte ein mittlerer Fehler von etwa 30 % angenommen, der aus verschiedenen Fehlerquellen resultiert. Der Fehler wurde nach der Wurzel der Fehlerquadrate berechnet unter der Annahme, dass es sich um rein statistische Fehler handelt. Diese Annahme ist bei einigen Fehlern, die nur bei einem Teil der Messpunkte auftreten k¨onnen, allerdings nicht gerechtfertigt. Die Daten wurden auf keinen der im Folgenden genannten Effekte korrigiert, weil deren Einfluss nur gesch¨atzt werden kann. Die statistischen Fehler, wie beispielswiese eine fehlerhafte Anpassung fallen bei der Auswertung weniger als hier ber¨ucksichtigt ins Gewicht, weil immer Serien von Winkelverteilungen verglichen werden. Im folgenden Abschnitt sollen die m¨oglichen Fehlerquellen einzeln diskutiert werden.

Fehler bei der Anpassung

Der spekulare Peak, der nicht von der Geschwindigkeitsbreite des Strahls beeinflusst ist, hat eine Halbwertsbreite von ungef¨ahr 0,1^◦ und kann daher bei einer Messung mit einer Schrittweite der Polarwinkeldrehung von 0,05^◦ gelegentlich nicht eindeutig gemessen werden, weil nur wenige Messpunkte im Bereich des spekularen Peaks lie-gen. Der Fehler, der durch m¨ogliche falsche Anpassung resultiert, wird hier allerdings vernachl¨assigt, weil in den meisten F¨allen die Abweichung so gross war, dass diese Winkelverteilungen entweder verworfen oder reproduziert wurden. Schwieriger sind die Unsicherheiten, die dann auftreten, wenn nicht klar ist, woraus der Untergrund des Peaks resultiert und inwieweit er mit zur elastischen Beugungsintensit¨at gerech-net werden muss. Deutlicher inelastischer Untergrund ist bei den Messungen an der warmen NaCl-Fl¨ache aufgetreten, die schon mit Messungen an der kalten Fl¨ache ver-glichen wurden. Der reine Anpassungsfehler muss daher kleiner als 12 % sein, siehe Abschnitt 4.4.4, da ein Fehler aufgrund der Debye-Waller-Abschw¨achung zu den Ab-weichungen beitr¨agt. Insgesamt sind die Fehler bei der Anpassung zwar eine deutliche Fehlerquelle, werden aber in der Auswertung der Ergebnisse dadurch kompensiert, dass immer Serien f¨ur verschiedenen Einfallsenergien gemessen wurden, in deren Ver-lauf große zuf¨allige Abweichungen auffallen.

Justierung und Facetten

Der verwendete Probenhalter und Kristallmanipulator erforderten t¨aglich und beson-ders nach Temperatur¨anderung des Kristalls ein Nachjustieren. Nachdem in den ersten Experimenten einmal bei einer Kristalljustierung deutliche Abweichungen aufgetreten waren, wurde mehrfach versucht, bestimmte Bedingungen wieder einzustellen. Teilbild a) in Abbildung 4.22 a) zeigt die relativen Intensit¨aten von zwei Serien, die als

schwar-4. Wasserstoffstreuung

Einfallsenergie E_i [meV]

20 30 40

Einfallsenergie E_i [meV]

30 40 50 60

0.8 KCl [100] neu eingekühlt NaCl [100] völlig neu justiert

a) b)

Abbildung 4.22: Relative Intensit¨aten aus Serien von Winkelverteilungen, zwischen denen (a) der Kristall wegen erneuten Eink¨uhlens nachjustiert wur-de beziehungsweise (b) die Azimutrichtung nach Messungen entlang einer anderen Richtung neu eingestellt wurde.

ze beziehungsweise weiße Punkte dargestellt sind, von H₂-Winkelverteilungen entlang der [100] Richtung von KCl, an zwei verschiedenen Tagen, zwischen denen der Kristall aufgew¨armt und nachjustiert wurde. Die maximale Abweichung liegt bei 9 %, f¨ur die meisten Punkte ist sie geringer. Das rechte Teilbild b) zeigt die relativen Intensit¨aten von zwei Serien H₂-Winkelverteilungen entlang der [100] Richtung von NaCl, zwischen denen mehrere Tage entlang einer anderen Kristallrichtung gemessen wurde, zwischen denen also eine Neujustierung der Richtung stattfand. Die Abweichungen sind etwas gr¨oßer, allerdings bis auf einen Fall von 17 %, ebenfalls unter 10 %. Winkelverteilungen mit deutlich asymmetrischen Peaks, also sehr schlechter Justierung, wurden verworfen.

Auf mehreren der gemessenen Fl¨achen lagen Facetten vor, die zu unaufgel¨osten dop-pelten Beugungspeaks f¨uhrten. Meist handelte es sich um einen Hauptpeak und einen wesentlich kleineren, der nur als Schulter zu erkennen war. Durch Versuche, zwei ver-schiedene Peaks an die gemessenen Doppelpeaks anzupassen kann allerdings ein Fehler von gr¨oßer als 10 % pro Peak, also 20 % in den relativen Intensit¨aten ausgeschlossen werden.

Verschiedene Kristalle

Liegt eine große Anzahl von ein- oder zweidimensionalen Defekten auf der Oberfl¨ache vor, kann man annehmen, dass aufgrund ihrer anisotropen Streuquerschnitte bei ver-schiedenen Winkeln ein verschieden großer Anteil des Strahls inkoh¨arent gestreut wird.

4.4 Wasserstoffstreuung an LiF, NaCl, KCl und MgO

Einfallsenergie E_i [meV]

20 30 40 50 60 70 relative Intensität I(1,1)/I(0,0)

Einfallsenergie E_i [meV]

20 30 40 50 60 70

Abbildung 4.23: Vergleich von relativen Intensit¨aten aus Winkelverteilungen an zwei verschiedenen Kristallen: K1 und K2.

Daher wurden im Rahmen eines anderen Experimentes einige H₂-Winkelverteilungen auf einem anderen Kristall wiederholt. Abbildung 4.23 zeigt je eine Serie von n-H₂ -Winkelverteilungen gestreut an einer NaCl-Fl¨ache mit einer Oberfl¨achentemperatur von TK = 100 K entlang der [110] und der [100] Richtung. Die Werte von den ver-schiedenen Kristallen sind mit schwarzen und weißen Symbolen dargestellt, K1 ist der Kristall, auf dem die anderen hier vorgestellten Messungen durchgef¨uhrt wurden.

Es treten maximale Abweichungen von 20-30 %, meist aber wesentlich kleinere Feh-ler auf. Die zwei Punkte bei sehr kleinen Einfallsenergien entlang der [100] Richtung werden nicht ber¨ucksichtigt, da wie oben diskutiert, der erste Kristall dort schlecht justiert war. Da keine deutliche systematische Abweichung zu erkennen ist, ist anzu-nehmen, dass die gemessenen Abweichungen auf andere Fehlerquellen zur¨uckzuf¨uhren sind und der Fehler aufgrund der Qualit¨at der Oberfl¨ache damit zu vernachl¨assigen ist.

Temperaturabh¨angigkeit

Die Rechnungen vonKroeswurden f¨ur ein starres Gitter bei T_K = 0 K durchgef¨uhrt.

Die Messungen bei LiF und MgO weit unterhalb der Oberfl¨achendebyetemperatur, bei NaCl und KCl allerdings schon nahe der oder etwas ¨uber der Debyetemperatur. Es wurden einige H₂-Winkelverteilungen von der weichsten Oberfl¨ache, KCl, bei verschie-denen Kristalltemperaturen aufgenommen, siehe Abbildung 4.24, um zu pr¨ufen, ob

4. Wasserstoffstreuung

Einfallswinkel Θ_i + const. [˚]

20 40 60 80

Intensität I + const. [kHz]

Abbildung 4.24: Winkelverteilungen von p-H2 gestreut an KCl bei verschiedenen Oberfl¨achentemperaturen.

Unterschiede zu erkennen sind. Die Abweichungen, die in den relativen Intensit¨aten α gemessen werden, sind unter 7 % und vermutlich ist ein Teil der Abweichung auf sta-tistische Fehler zur¨uckzuf¨uhren, da das Signal-zu-Rausch-Verh¨altnis bei h¨oheren Kri-stalltemperaturen wegen des gr¨oßeren Anteils an inelastischem Untergrund schlechter war.

Prinzipiell sind Abweichungen der relativen Intensit¨aten zu erwarten, weil die Ab-schw¨achung der elastischen Intensit¨at durch einen ∆k_z-abh¨angigen Debye-Waller-Fak-tor beschrieben werden kann und ∆k_z sich f¨ur verschiedene Einfallswinkel unterschei-det. Tabelle 4.4 gibt Massen und Oberfl¨achendebyetemperaturen der verschiedenen Kristalle und die Unterschiede in den Debye-Waller-Faktoren F = exp(−2W) an, die f¨ur die verschiedenen Einfallsenergien 20, 50 und 90 meV zwischen einem Beu-gungspeaks bei einem Einfallswinkel von 20^◦ (entsprechend 70^◦) beziehungsweise 30^◦ (entsprechend 60^◦) und dem spekularen Peak mit Gleichung 2.63 abgesch¨atzt wurden.

Es wurde f¨ur LiF eine Debyetemperatur von 450 K eingesetzt, die etwa der Mittel-wert verschiedener in der Literatur angegebener Werte ist, siehe Tabelle 4.2 und [65];

f¨ur MgO wurde die Oberfl¨achendebyetemperatur als ²₃ der Volumendebyetemperatur

4.4 Wasserstoffstreuung an LiF, NaCl, KCl und MgO

m_EZ Θ_D 20 meV 20 meV 50 meV 50 meV 90 meV 90 meV [amu] [K] γ(20^◦) γ(30^◦) γ(20^◦) γ(30^◦) γ(20^◦) γ(30^◦) LiF

(300 K) 25,9 450 12 % 4 % 33 % 11 % 67 % 21 %

NaCl

(100 K) 58,5 240 6 % 2 % 16 % 6 % 31 % 11 %

KCl

(100 K) 74,4 160 11 % 4 % 30 % 10 % 61 % 19 %

MgO

(300 K) 40,3 495 6 % 2 % 16 % 2 % 32 % 11 %

Tabelle 4.4: Massen der Einheitszellen m_EZ, die verwendeten Oberfl¨ achendebyetem-peraturen Θ_D und die Debye-Waller-Abschw¨achungen bei den angege-benen Kristalltemperaturen eines Beugungspeaks bei 20 beziehungsweise 30^◦ relativ zu der des spekularen Peaks; γ(20^◦) = ^F(20_F^◦^)−F₍₄₅◦⁽⁴⁵) ^◦⁾, γ(30^◦) =

F(30^◦)−F(45^◦)

F(45^◦) mit F = exp(−2W).

abgesch¨atzt. Die gefundenen Werte sind bei 20 meV Einfallsenergie f¨ur alle Beispiele unter oder im Bereich von 10 %, bei 50 meV Einfallsenergie trifft dies nur noch bei Einfallswinkeln von gr¨oßer 30^◦ (und symmetrisch dazu kleiner 60^◦) zu. Bei 90 meV Einfallsenergie findet man bei einem Einfallswinkel von 20^◦ deutliche Abweichungen und bei 30^◦ etwa 10-20 % Unterschiede. Es wurde an den Daten keine Korrektur ge-macht, weil ein Fehler ¨ahnlicher Gr¨oßenordnung aber unbestimmten Vorzeichens auch aus anderen Quellen resultieren kann und weil bei mittleren und hohen Einfallsenergi-en die ausgewertetEinfallsenergi-en Peaks sehr seltEinfallsenergi-en jEinfallsenergi-enseits von Einfallswinkeln zwischEinfallsenergi-en 30^◦ und 60^◦ lagen.

Geometrie der Apparatur

Bei großen Einfallswinkeln wird von einer großen Fl¨ache des Kristalls gestreut, die un-ter Umst¨anden nicht vollst¨andig vom detektierbaren Raumwinkelelement abgedeckt wird. Der Fehler wird in einer vollst¨andigen Winkelverteilung dadurch nachgewiesen, dass die aufgrund der symmetrischen Korrugation in ihren Intensit¨aten symmetri-schen (m,n) und (-m,-n)- Beugungspeaks asymmetrisch werden, weil nicht die gesamte in den (-m,-n) Kanal getreute Intensit¨at detektiert werden kann. Es muss allerdings ber¨ucksichtigt werden, dass auch durch schlechte Justierung leicht unterschiedliche Intensit¨aten vorliegen k¨onnen. Es wurden f¨ur mehrere Serien jeweils

Winkelverteilun-4. Wasserstoffstreuung

gen bei kleinen Einfallsenergien verglichen, die Beugungspeaks erster Ordnung jenseits Einfallswinkeln von 30 - 60^◦ zeigten, und Winkelverteilungen bei h¨oheren Einfallsener-gien, bei denen die Beugungspeaks erster Ordnung dichter am spekularen Peak lagen.

Die Unterschiede zwischen den (m,n) und (-m,-n)- Beugungspeaks sind bei Winkeln jenseits 30 - 60^◦ um maximal 15 % gr¨oßer. Der Fehler geht damit in dieselbe Richtung wie der aufgrund des verschiedenen Debye-Waller-Faktors, aber es gilt auch hier, dass die meisten ausgewerteten Peaks aufgrund ihrer Lage n¨aher an 45^◦ nicht betroffen sind.

Fehler in der Energieeichung

Fehler in der Energieeichung werden hier vernachl¨assigt, weil die relativen Schwankun-gen der Einfallsenergie bei gleicher D¨usentemperatur nach der Erfahrung aus anderen Messungen unter 1 % liegen. Die absolute Genauigkeit ist etwas schlechter, gerade bei den Messungen an LiF, bei denen keine Kalibration ¨uber Flugzeitspektren sondern

uber die Position der Beugungspeaks vorgenommen wurde, in die ein eventueller Feh-ler des f¨ur den Gittervektor eingesetzten Wertes eingeht. Letzterer wird aber ebenfalls auf unter 3 % gesch¨atzt.

Im Dokument Streuexperimente mit Wasserstoff- und Heliumstrahlen zur Untersuchung der Wechselwirkung von H2, N2 und C2H2 mit den (001)-Oberflächen von LiF, NaCl, KCl und MgO (Seite 83-88)