Im Ermüdungsprozess dissipierte, schädigungswirksame Energie g fat . 165

Wie Bild 6.5-3a zu entnehmen ist, wird die im Ermüdungsprozess in Schädigung dissipierte Energie g_tot^fat durch das Integral des Ermüdungs-Verzerrungspfades bestimmt. Die Energie g^fat kann nach Gl. (6.5-6) beschrieben werden. Darin stellt εc0 die Erstbelastungsstauchung dar.

Den Überlegungen hinsichtlich der Energiebilanz unter monotoner Belastung folgend, ist auch im Ermüdungsprozess die potentielle Energie g^p in Abzug zu bringen.

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Die Bestimmung der im Ermüdungsprozess in Schädigung dissipierte Energie g_tot^fatwird auch im Zugbereich durch das Integral unter der Ermüdungs-Verzerrungsbeziehung beschrieben.

Man kann dies aus Bild 6.5-3b ersehen. Unter Berücksichtigung von g^p ergibt sich folgender formelmäßiger Zusammenhang.

Bild 6.5-3: Schematische Darstellung der im Ermüdungsprozess dissipierten Energie g^fat im a) Druckbereich und b) Zugbereich; nach PFANNER [119]

Zur Bestimmung der schädigungswirksamen Energie g^fat_tot (Gln. (6.5-6) und (6.5-7)) muss die Ermüdungsverzerrung ε^fat zu jedem Zeitpunkt der Ermüdungslebensdauer angegeben werden können. Die Ermittlung von ε^fat wird im nächsten Abschnitt erläutert.

6.5.1.5 Verzerrungszustand beim Ermüdungsbruch

Zur Bestimmung von ε^fat, ermittelt PFANNER [119] die Randwerte von Gl. (6.5-6) und (6.5-7) im Ermüdungsprozess. Für n = 1 (Beginn des Ermüdungsprozesses) entspricht ε^fat exakt der Erstbelastungsverzerrung ε0. Für n = N (Ermüdungsbruch) lässt sich ε^fat auf Gl. (6.5-4) aufbauend berechnen. Voraussetzung dafür ist allerdings, dass beim Ermüdungsbruch (nicht gleichzusetzen mit dem vollständigen Materialversagen) keine Spannungen σ ≥ σ^fat mehr aufgenommen werden können. Dieser Zustand findet sich auf der monotonen Arbeitslinie sowohl im Druck- wie auch im Zugbereich für ein Spannungsniveau, das σ^fat entspricht, wieder. Zieht man außerdem in Betracht, dass Gl. (6.5-4) für eine bestimmte Schädigung D gilt, so lassen sich die potentiellen Energieanteile auf beiden Seiten eliminieren. Man erhält die reduzierte Form:

)

Die Schädigungsvariable D, bei der die Spannung auf der σ−ε−Kurve im Nachbruchbereich (Druck und Zug) den Wert σ^fat erreicht, lässt sich nach den Überlegungen in Kapitel 6.5.1.3 bestimmen. Sie wird nachfolgend als D^da bezeichnet. Somit kann die vorläufige Verzerrung

fat pre

εf, im Druck- und Zugbereich nach den Gln. (6.5-9) und (6.5-10) errechnet werden.

( )

Die Modellvorstellung, die zur Berechnung von ε^fat_f,pre führt, kann Bild 6.5-4 entnommen werden. Mit ε^VB_cd und ε^NB_cd bzw. ε^VB_td und ε^NB_td werden die Verzerrungen bezeichnet, die sich unter der Ermüdungsspannung σ^fat im Vorbruch- (Hochstellung: VB) bzw. Nachbruchbereich (Hochstellung:NB)aufder monotonen Arbeitslinie im Druck- wie auch Zugbereich einstellen.

e^fat

Bild 6.5-4: Schematische Darstellung der Ermüdungsbeanspruchung im a) Druckbereich, b) Zugbereich nach PFANNER [119]

Mittels der grau hinterlegten Flächen wird der Energieanteil deutlich, der unter σ^fat aufgebracht werden muss, um den Ermüdungsbruch zu erreichen. Man erkennt, dass die vorläufigen Versagensverzerrungen stets außerhalb der monotonen Arbeitslinie liegen.

Im nächsten Schritt sollen die vorläufigen Versagensverzerrungen modifiziert werden. Diese Modifikation führt PFANNER [119] durch, da Ermüdungszugversuche von KESSLER-KRAMER [80] eine Verringerung der durch die Umhüllende umschlossenen Fläche bei zunehmender Zyklenzahl ergaben. Somit ist das Envelope-Konzept (Kapitel 2.3.2.2) nicht zutreffend. Eine Erklärung gibt PFANNER [119] dadurch, dass unter hochzyklischen Ermüdungsbeanspruchungen vor der Bildung einer makroskopischen Schädigung bereits mehr Mikrostörungen vorliegen als bei einer monotonen Beanspruchung. Somit hat es ein makroskopischer Riss in der lokalisierten Prozesszone (Kapitel 2.1.2.5) leichter, sich auszubreiten. Das lokalisierte Nachbruchverhalten des vorgeschädigten Betons wird in einem steiler abfallenden Ast der σ-ε−Kurve sichtbar. Die dargelegten Überlegungen hat PFANNER[119] in die Formulierung des Verzerrungszustandes von Beton beim Ermüdungsbruch (Zug und Druck), wie nachfolgend ausgeführt, eingearbeitet.

Abgeminderte Zerstauchungsenergie für Druckbeanspruchungen

Bild 6.5-5a stellt die im Beton gespeicherte Restenergie einer durch monotone Beanspruchung induzierten Schädigung D dar. Bild 6.5-5b hingegen zeigt den geänderten Zustand für die selbe Schädigung nach einer Ermüdungsbeanspruchung. PFANNER [119]

postuliert dafür zwei Forderungen:

1. Die im Material verbliebene Restenergie für die Schädigung D bleibt unverändert.

2. Die Zerstauchungsenergie im lokalisierten Bereich ist vermindert.

Beide Forderungen führen dazu, dass die vom Material nach einer Ermüdungsvorbelastung aufnehmbare Spannung fcfat für den gleichen Schädigungszustand höher ist als bei Wiederbelastung in Materialmodellen unter monotoner Beanspruchung, z. B. [100], [121].

PFANNER [119] begründet dies damit, dass es innerhalb der genannten Materialmodelle bei vorhandener Schädigung vor der Wiederbelastung bereits zur Lokalisierung der Schädigung kommt. Somit ist eine geringere Restfestigkeit zu erwarten.

-e

Bild 6.5-5: Anteile der noch verbleibenden Restenergie im Druckbereich bei a) monotoner Vorbelastung bis zur Schädigung D, b) bei Ermüdungsvorbelastung bis zur Schädigung D und c) Schema des Schädigungszustandes Dcf beim Ermüdungsbruch, aus [119]

Formelmäßig setzt PFANNER [119] seine Überlegungen wie folgt um. Dabei bestimmt er den Anteil Δg_cl^fat₂(D), der die verbliebene Zerstauchungsenergie )g_cl^da₂(D abmindert, zu:

)

Für die Festlegung des Faktors χc stehen nach PFANNER [119] lediglich die Zugversuche von KESSLER-KRAMER [80] zur Verfügung. Daher kalibriert er den Faktor innerhalb seiner Arbeit an verschiedenen der Literatur entnommenen Versuchen.

Die Abminderung der Zerstauchungsenergie kann nach Bild 6.5-5b auch nach Gl. (6.5-12) ausgedrückt werden.

Durch Gleichsetzen von Gl. (6.5-11) und Gl. (6.5-12) lässt sich für den speziellen Fall des Ermüdungsbruches (die Restfestigkeit des Materials entspricht fcfat = σsup) die Schädigung Dcf

ermitteln. Es handelt sich um diejenige Schädigung, die sich bei Erreichen des Ermüdungsversagens mit Auftreten der Schädigungslokalisierung einstellt.

)

Gl. (6.5-13) ist nicht analytisch sondern nur iterativ lösbar. Die Kenntnis von Dcf erlaubt es nun, den zusätzlichen Verzerrungsanteil Δεffat (Bild 6.5-5c) zu bestimmen.

)

Somit kann die endgültige Versagensverzerrung bei Eintritt des Ermüdungsbruches additiv aus der vorläufigen und zusätzlichen Verzerrung berechnet werden.

fat

Abgeminderte Bruchenergie für Zugbeanspruchungen

PFANNER [119] führt aus, dass die Abminderung der restlichen Bruchenergie bei lokalisierter Schädigung nach einer Ermüdungsvorbelastung im Zugbereich analog zu den zuvor für den Druckbereich beschriebenen Algorithmen erfolgt. Exemplarisch ist das Vorgehen in Bild 6.5-6 illustriert.

Die ausführliche Herleitung der zusätzlichen Verzerrung kann PFANNER [119] entnommen werden. An dieser Stelle soll lediglich der Hinweis erfolgen, dass er in Analogie zu χc einen Faktor χt im Zugbereich einführte, den er an Versuchen kalibrierte. Die zu addierende Verzerrung Δεffat ergibt sich nach Gl. (6.5-16).

)

g ( )D

Bild 6.5-6: Anteile der noch verbleibenden Restenergie im Zugbereich bei a) monotoner Vorbelastung bis zur Schädigung D, b) bei Ermüdungsvorbelastung bis zur Schädigung D und c) Schema des Schädigungszustandes Dtf beim Ermüdungsbruch, aus [119]

Somit kann die endgültige Versagensverzerrung bei Eintritt des Ermüdungsbruches auch für den Zugbereich additiv aus der vorläufigen und zusätzlichen Verzerrung bestimmt werden.

fat