Die st¨orungstheoretische Entwicklung der Greenschen Funktion l¨aßt sich noch ein St¨uck vereinfachen, wenn man beachtet, daß sich Graphen h¨oherer Ordnung zum Teil aus Graphen niedrigerer Ordnung zusammensetzen, und wenn man iterierte Graphen geeignet zusammenfaßt.
a) Summation iterierter Graphen:
Wie man schon in Abb. 4.2 erkennen kann, erh¨alt man einen Teil der Gra-phen h¨oherer Ordnung dadurch, daß sich an einen GraGra-phen erster Ordnung eine
4.3 Dyson-Gleichung und irreduzible Selbstenergie 65
1 2
<
= G (1,2)1 2
= V (1,2)
1 2
<
= G (1,2)0 mit1 2 1 2 1 2 1 2
+ +
+ +
+
1 2+
1 2=
1<
2+
1< <
2+
1< < <
22 1
<
1 2
+
1 2+
1 2+
+
1 2Abbildung 4.2: Feynman-Graphen bis zur zweiten Ordnung in der Wechselwirkung.
= 1 < 2 +
2 1
< 1 < 3 Σ 4 < 2
a)
b) Σ = +3 < 4+3 < 4+
c) Σ = +3 < 4+3 < 4+3 < 4+
Abbildung 4.3: a) Dyson-Gleichung, b) irreduzible Selbstenergie-Beitr¨age, c) Renormierung der Selbstenergie-Beitr¨age.
vollst¨andige Graphenentwicklung der Greenschen Funktion anschließt. Dies l¨aßt sich verallgemeinern und f¨uhrt uns zum Begriff der irreduziblen Selbstenergie.
Selbstenergie nennen wir den Teil eines Graphen, der ¨ubrig bleibt, wenn man die beiden Greenschen Funktionen, die mit den ¨außeren Variablen verbunden sind, wegl¨aßt. Irreduzibel ist ein Selbstenergie-Graph, wenn er nicht in zwei Tei-le zerf¨allt, wenn man eine interne Greensche Funktion zerschneidet (reduzibel sind alle Graphen der zweiten Reihe von Abb. 4.2). Eine vollst¨andige Graphen-Entwicklung der Greenschen Funktion erh¨alt man offenbar, wenn man, wie in Abb. 4.3a,b dargestellt, nur die irreduziblen Graphen in der Selbstenergie Σ ber¨ucksichtigt, daf¨ur aber eine der beiden mit einer ¨außeren Variablen verbunde-nen nackten Greenschen Funktion durch eine volle Greensche Funktion ersetzt.
Das Ergebnis l¨aßt sich in Form einer Integral-Gleichung, der Dyson-Gleichung f¨ur die Greensche Funktion schreiben:
G(1,2) =G0(1,2) + Z
d3 Z
d4G0(1,3) Σ(3,4)G(4,2). (4.41) Man ¨uberzeugt sich leicht, daß durch iterative L¨osung von (4.41) die Graphen-Entwicklung von Abb. 4.2 vollst¨andig generiert wird.
b) Selbstkonsistente Berechnung der Selbstenergie:
Man kann noch einen Schritt weitergehen. Bei der Berechnung der irreduziblen Selbstenergie treten unter der Wechselwirkung wieder Reihen-Entwicklungen von Greenschen Funktionen auf, die man durch eine volle Greensche Funktion aus-dr¨ucken kann. Zur Berechnung aller expliziten Graphen zweiter Ordnung muß
4.3 Dyson-Gleichung und irreduzible Selbstenergie 67
man deshalb nur die vier in Abb. 4.3c gezeigten Graphen auszurechnen. Die irre-duzible Selbstenergie ist ein Funktional der renormierten Greenschem Funktion.
Zusammen mit der Dyson-Gleichung erh¨alt man damit eine nichtlineare Integral-gleichung zur Berechnung der renormierten Greenschen Funktion. Im Folgenden werden wir uns der L¨osung dieser Integralgleichung zuwenden.
c) Dyson-Gleichung im Frequenzraum:
Eine Vereinfachung ergibt sich sofort, wenn man ber¨ucksichtigt, daß die Green-sche FunktionG(1,2) im thermodynamischen Gleichgewicht nur von der Zeitdif-ferenz τ1−τ2 abh¨angt (dies zeigt man leicht durch zyklische Permutation unter der Spur). Das gleiche gilt f¨ur die Selbstenergie. Da die Integralgleichung in der Zeitvariablen eine Faltung darstellt, l¨aßt sich diese durch Fourier-Transformation vereinfachen. Die Integrale in der Dyson-Gleichung sind von der Form
f(τ) = Zβ
0
dτ1g1(τ −τ1)g2(τ1). (4.45) Durch Fourier-Transformation erh¨alt man
f(iωn) =
= < +
<
ωn ωn
+
< <
<
ωn ωn ωm
ω2
<
< <
+ +
<
<
<
< < +
ω1 ωn ωn ωn ωn
ωm ωn_ω1+ω2
Abbildung 4.4: Feynman-Graphen im Frequenzraum.
verwendet. Damit schreibt sich die Dyson-Gleichung:
G(x1σ1,x2σ2, iωn) =G0(x1σ1,x2σ2, iωn) (4.48)
+X
σ3σ4
Z
d3x3d3x4G0(x1σ1,x3σ3, iωn) Σ(x3σ3,x4σ4, iωn)G(x4σ4,x2σ2, iωn).
Die Feynman-Graphen lassen sich auch im Frequenzraum darstellen und ent-sprechende Regeln formulieren. Anstelle der Integration ¨uber interne Zeitvariable tritt nun eine Summation ¨uber interne Matsubara-Frequenzen, wobei an jedem Vertex die Summe der ein- und auslaufenden Frequenzen der Greenschen Funk-tionen und Wechselwirkungslinien erhalten ist. Beispiele sind in Abb. 4.4 gezeigt.
In unserem Fall ist die Wechselwirkung instantan, d.h. die Fourier-Transfor-mierte der Wechselwirkung h¨angt nicht von der Frequenz ab, auch wenn die Wechselwirkungslinie formal eine Frequenzvariable tr¨agt. Dies ist anders z.B. bei der Elektron-Phonon-Wechselwirkung. Berechnet man hier die Renormierung der elektronischen Greenschen Funktion, dann erh¨alt man ¨ahnliche Graphen. Die Wechselwirkungslinien sind hierbei durch Phonon-Propagatoren ersetzt, die von der Frequenz abh¨angen und im Zeitraum eine retardierte Wechselwirkung dar-stellen.
d) Selbstenergie als effektives Potential
Die irreduzible Selbstenergie l¨aßt sich in gewissem Sinne als effektives (nicht-lokales, retardiertes) Potential auffassen. Dies sieht man, wenn man von der Be-wegungsgleichung der Greenschen Funktion ausgeht.
4.3 Dyson-Gleichung und irreduzible Selbstenergie 69
Zun¨achst gen¨ugt die Greensche Funktion G0(1,2) der Bewegungsgleichung
− d
dτ1 −H0(x1) +µ
G0(1,2) =δ(1,2) =δ(τ1−τ2)δ(x1−x2)δσ1σ2. (4.49) Durch Differenzieren der Integralgleichung (4.41) nachτ1 erh¨alt man
− d
dτ1 −H0(x1) +µ
G(1,2)− Z
d4 Σ(1,4)G(4,2) =δ(1,2). (4.50) Nach Fourier-Transformation in den Frequenzraum folgt daraus
(iωn−H0(x1) +µ)G(x1σ1,x2σ2, iωn) (4.51)
−X
σ′
Z
d3x′Σ(x1σ1,x′σ′, iωn)G(x′σ′,x2σ2, iωn) =δ(x1−x2)δσ1σ2 . Wenn die Selbstenergie in (4.50) instantan, d.h. proportional zuδ(τ1−τ4) ist, bzw. in (4.51) nicht von der Frequenzωnabh¨angt, dann kann man die Selbstener-gie als ein im allgemeinen nichtlokales Potential ansehen. Eine frequenzabh¨angige Selbstenergie beschreibt eine zeitlich verz¨ogerte Wechselwirkung.
Man kann noch einen Schritt weitergehen, indem man die Greensche Funktion nach einem vollst¨andigen Orthogonalsystem entwickelt. Schreiben wir
ψ(x) =X
j
cjφj(x) (4.52)
(zur Vereinfachung der Notation denken wir uns den Spin in der Koordinate x und dem Zustandsindex j integriert), dann erhalten wir
G(x, x′;iωn) =X
lm
φl(x)φ∗m(x′)G(l, m;iωn) (4.53) mit G(l, m;iωn) =hhcl;c†miiiωn.
Setzt man diesen Ansatz in die Dyson-Gleichung (4.51) ein und verwendet die Orthogonalit¨at der Basis-Funktionen, so findet man
X
j
hl|iωn−H0−Σ +µ|jiG(j, m;iωn) =δl,m. (4.54) Dabei ist
hl|Σ|ji= Z
dx Z
dx′φ∗l(x) Σ(x, x′;iωn)φj(x′) (4.55)
das Matrixelement des Selbstenergie-Operators. In der im n¨achsten Abschnitt diskutierten Hartree-Fock-N¨aherung verwendet man Eigenfunktionen zuH0+ Σ, d.h.
(H0+ Σ)|ji=Ej|ji. (4.56) Dann ist die Greensche Funktion diagonal:
G(l, m;iωn) = δl,m
iωn−El+µ. (4.57)
e) Dyson-Gleichung f¨ur translationsinvariante Systeme
Eine nochmalige Vereinfachung tritt f¨ur translationsinvariante Systeme auf, wenn die Greensche Funktion nur von der r¨aumlichen Differenzx1−x2 abh¨angt.
Wenn, wie in vielen F¨allen, ¨uberdies der Spin erhalten ist, dann schreiben wir G(x1σ,x2σ, iωn)≡G(x1−x2, σ, iωn) (4.58) und f¨uhren eine r¨aumliche Fourier-Transformation ein:
G(k, σ, iωn) = Z
d3xe−ik·xG(x, σ, iωn). (4.59) Dann erhalten wir f¨ur die Dyson-Gleichung
G(k, σ, iωn) =G0(k, σ, iωn) +G0(k, σ, iωn) Σ(k, σ, iωn)G(k, σ, iωn) (4.60) oder
G−1(k, σ, iωn) = G−10 (k, σ, iωn)−Σ(k, σ, iωn). (4.61) Hier ist die Integralgleichung zu einer algebraischen Gleichung geworden. Man beachte, daß in den Feynman-Diagrammen nun ¨uber interne Impulse kintegriert werden muß in ¨ahnlicher Weise wie die Summation ¨uber interne Matsubara-Frequenzen in Abb. 4.4. An den Vertizes gilt Impulserhaltung, d.h. die Summen der ein- und auslaufenden Impulse sind gleich.
Im einfachsten Fall, z.B. in der Hartree-Fock-N¨aherung, die im n¨achsten Ab-schnitt diskutiert werden soll, ist die Selbstenergie eine frequenzunabh¨angige Kon-stante Σ(k, σ, iωn) =ak. Dann erhalten wir
G−1(k, σ, iωn) =iωn−ǫk+µ−ak. (4.62)