Einen genaueres Resultat erh¨alt man wie folgt: Wir substitutieren in dem Integral (8.50) x=βcξ/2 und setzen A=~ωcβc/2. Man integriert nun zun¨achst partiell
Hierbei tritt die Eulersche Konstanteγ = 0.577. . .auf. Glg. (8.50) ergibt schließ-lich Wert vonTc f¨ur ~ωc ≫kBTc: unabh¨angig von den Material-Parametern ist. ∆0 kann nicht durch St¨orungstheo-rie in v berechnet werden, weil das Resultat nicht-analytisch in v ist.
8.3 BCS-Theorie mit Greenschen Funktionen
Im Falle einer frequenzabh¨angigen Wechselwirkung, wie sie der Austausch von Phononen darstellt, und bei Verunreinigungs-Streuung, kann man die elementa-ren Anregungen nicht mehr durch reelle Quasiteilchen-Energien ausdr¨ucken. Zur Behandlung solcher Effekte braucht man eine auf Greenschen Funktionen ba-sierende Technik, die im Folgenden eingef¨uhrt werden soll. Ein weiterer Vorteil dieser Methode ist, daß wir nach Einf¨uhrung sogenannter anomaler Greenscher Funktionen die Paarwechselwirkung st¨orungstheoretisch als Selbstenergie berech-nen k¨onberech-nen. Wir k¨onberech-nen damit auf die Molekularfeld-Faktorisierung verzichten und diese durch eine Auswahl von Graphen ersetzen.
Wir starten von der Einteilchen-Greenschen Funktion (vgl. (3.1))
G(k, t) =−iΘ(t)h[ck↑(t), c†k↑]+i=hhck↑;c†k↑iit (8.54) und deren Laplace-Transformierten (3.4)
G(k, z) = Z∞
0
dteiztG(k, t) =hhck↑;c†k↑iiz, ℑmz >0. (8.55)
Die Bewegungsgleichung hat im Frequenzraum die aus (3.6) bekannte allgemeine Form
zhhA;Bii+hhLA;Bii=h[A, B]+i. (8.56) In unserem Fall ergibt der Kommutator mit dem Molekularfeld-Hamilton-Ope-rator (8.16):
LM Fck↑ = [KM F, ck↑]−=−ξkck↑+ ∆kc†−k↓. (8.57) Die Bewegungsgleichung lautet damit (wir beschr¨anken uns im folgenden auf reelle ∆k):
(z−ξk)hhck↑;c†k↑ii+ ∆khhc†−k↓;c†k↑ii= 1. (8.58) Damit koppelt die normale Greensche Funktion an eine anomale Greensche Funk-tion mit zwei Erzeugern. Stellt man daf¨ur die analoge Bewegungsgleichung auf, dann erh¨alt man:
LM Fc†−k↓ = +ξkc†−k↓+ ∆kck↑ (8.59) (z+ξk)hhc†−k↓;c†k↑ii+ ∆khhck↑;c†k↑ii= 0. (8.60) Hier wird man also wieder auf die normale Greensche Funktion zur¨uckgef¨uhrt.
Durch Einsetzen erh¨alt man die L¨osung:
hhck↑;c†k↑ii = z+ξk
z2 −ξk2 −∆2k , (8.61) hhc†−k↓;c†k↑ii = − ∆k
z2−ξk2 −∆2k . (8.62) Kompakter lassen sich die Bewegungsgleichungen formulieren, wenn man die Operatoren ck↑, c†−k↓ zu einem Nambu-Spinor zusammenfaßt:
Ψk = ck↑
c†−k↓
!
(8.63) mit Ψ1k = ck↑,Ψ2k = c†−k↓ und eine entsprechende Matrix-Greensche Funktion definiert:
Gˆµν(k, z) =hhΨµk,Ψ†νkiiz. (8.64) Der Molekularfeld-Hamilton-Operator l¨aßt sich mit Hilfe der Pauli-Matrizen
τ0 = 1 0
0 1
, τ1 = 0 1
1 0
, τ3 =
1 0 0 −1
, (8.65)
8.3 BCS-Theorie mit Greenschen Funktionen 171 Damit erh¨alt man die Bewegungsgleichungen in kompakter Form:
(zτ0−ξkτ3+ ∆kτ1) ˆG(k, z) =τ0 (8.67) mit der L¨osung:
G(k, z) =ˆ zτ0 +ξkτ3−∆kτ1
z2−ξk2 −∆2k . (8.68) Die oben hergeleitete normale Greensche Funktion ist die (11)-Komponente, die anomale Greensche Funktion die (21)-Komponente dieser Matrix. Alle Kompo-nenten haben Pole bei den Quasiteilchenenergien±Ek, mitEk=p
ξ2k+ ∆2k (vgl.
(8.29)), wobei ∆k die Rolle einer Energiel¨ucke spielt.
F¨ur die normale Greensche Funktion erh¨alt man insbesondere die Partial-bruch-Zerlegung:
Die Koeffizientenuk, vksind bereits in (8.30) und (8.31) aufgetreten und somit ein Maß f¨ur den Teilchen- bzw. Loch-Charakter der Anregung. Diese Interpretation ist auch damit konsistent, daßu2k das Gewicht des Poles bei +Ek ist und vk2 das Gewicht des Poles bei −Ek.
Bisher haben wir nur die Bewegungsgleichungen f¨ur den Ersatz-Hamilon-Operator untersucht. Im Folgenden soll nun die echte Zweiteilchen-Wechselwir-kung verwendet werden. Von den Ergebnissen mit dem Ersatz-Hamilton-Operator
¨
ubernehmen wir nur die Struktur der Greenschen Funktionen, d.h. die Existenz einer anomalen Greenschen Funktion mit Paarung zwischen Elektronen mit ent-gegengesetztem Impuls und Spin.
Die Bewegungsgleichung f¨ur den echten Hamilton-Operator K = H − µN lautet (f¨ur eine konstante Wechselwirkung v):
[K, ck↑]− =−(ǫk−µ)ck↑ − X
k′qσ′
vc†k′−qσ′ck′σ′ck−q↑. (8.71)
N¨ahern wir diese in Molekularfeld-Manier, indem wir zwei Operatoren durch ihre Erwartungswerte ersetzen, dann finden wir:
[K, ck↑]−≃ −(ǫk−µ)ck↑−X
k′
vhc†k↓ck′↓ick↑−X
k′
vhc−k′↓ck′↑ic†−k↓. (8.72) Durch Vergleich mit der entsprechenden Bewegungsgleichung f¨ur den Ersatz-Hamilton-Operator lassen sich die Parameter des letzteren selbstkonsistent be-stimmen:
ξk = ǫk−µ+X
k′
vhc†k↓ck′↓i (8.73)
∆k = X
k′
vhck′↑c−k′↓i. (8.74) Diese Herleitung ist etwas unbefriedigend, da wir eine unkontrollierte N¨ahe-rung in der Bewegungsgleichung machen. Viel systematischer gehen wir vor, wenn wir eine formale Entwicklung nach Feynman-Graphen in der Zweiteilchen-Wechselwirkung vornehmen und uns dann auf eine bestimmte Graphenklasse konzentrieren.
Der Hamilton-Operator K = H −µN lautet in Nambu-Notation f¨ur das in (8.1) angegebene H und eine konstante Wechselwirkung:
K =X
k
(ǫk−µ) Ψ†kτ3Ψk+ X
k1,k2,q
v Ψ†k1+qτ3Ψk1
Ψ†k2−qτ3Ψk2
. (8.75) Wir definieren die Matrix-Greensche Funktion:
Gˆµν(k, τ) =−hTΨµk(τ)Ψ†νk(0)i (8.76) und deren Fourier-Transformierte:
G(k, iωˆ n) = 1 β
Zβ
0
dτeiωnτG(k, τ)ˆ . (8.77)
F¨ur die Zweiteilchen-Wechselwirkung soll im Folgenden die Selbstenergie ˆΣ be-rechnet werden. Mit dieser Selbstenergie erhalten wir als Verallgemeinerung von (4.41) eine Dyson-Gleichung f¨ur die Nambu-Matrizen der Greenschen Funktion:
Gˆ = ˆG0+ ˆG0Σ ˆˆG , (8.78)
8.3 BCS-Theorie mit Greenschen Funktionen 173
beziehungsweise
Gˆ−1 = ˆG−10 −Σˆ, (8.79) deren Struktur wir zun¨achst analysieren wollen. F¨ur die Greensche Funktion ohne Wechselwirkung ˆG0 gilt:
Gˆ−10 =iωnτ0−(ǫk−µ)τ3. (8.80) Die Selbstenergie zerlegen wir nach Anteilen der Pauli-Matrizen:
Σ = Σˆ 0τ0+ Σ3τ3+ Σ1τ1. (8.81) Damit erhalten wir
Gˆ−1 = (iωn−Σ0)τ0−(ǫk−µ+ Σ3)τ3−Σ1τ1 =i˜ωnτ0−ξkτ3+ ∆(k, iωn)τ1, (8.82) wobei ∆(k, iωn) lediglich eine andere Bezeichnung f¨ur−Σ1 ist undiω˜n, ξk Abk¨ur-zungen f¨ur die entsprechenden Ausdr¨ucke sind.
Zur Berechnung der Selbstenergie k¨onnen wir die aus Kapitel 4 bekannten Feynman-Graphenregeln verwenden. Wir m¨ussen allerdings an geeigneter Stelle die Nambu-Matrizen τi einf¨ugen. Insbesondere tritt an jedem Vertex, der eine Elektron-Linie mit einer Potential-Linie verbindet, ein Faktorτ3 auf. Der Grund hierf¨ur ist, daß die Wechselwirkungsterme in (8.75) von der Form Ψ†τ3Ψ sind.
Wir beschr¨anken wir uns hier auf die Berechnung der Hartree-Fock-¨ahnlichen Graphen (siehe Abb. 4.3c, die ersten beiden Diagramme). Der Hartree-Graph, welcher die Wechselwirkung des propagierenden Teilchens mit der Teilchen-Dichte der anderen Teilchen enth¨alt, ergibt im supraleitenden Zustand kein wesentlich anderes Ergebnis als im Normalzustand. Wir lassen diesen Beitrag hier weg. In-teressanter ist der Fock-Graph. Die Auswertung nach den Graphenregeln ergibt
Σ(k, iωˆ n) =−1 β
X
ωm
X
k′
v τ3G(kˆ ′, iωm)τ3. (8.83) Setzen wir
τ3G(kˆ ′, iωm)τ3 = iω˜mτ0+ξk′τ3+ ∆(k′, iωm)τ1
(i˜ωn)2−ξ2k′ −∆2(k′, iωm) (8.84) in den Ausdruck f¨ur die Selbstenergie ein, dann stellen wir fest, daß die Beitr¨age zu Σ0 verschwinden. Σ3 gibt nur einen kleinen konstanten Beitrag, der bei Teilchen-Loch-Symmetrie ebenfalls verschwindet, d.h.ξk =ǫk−µ. F¨ur ∆ =−Σ1 erhalten
wir dagegen:
∆(k, iωn) =X
k′
v1 β
X
ωm
∆(k′, iωm)
(iωm)2−ξk2′ −∆2(k′, iωm). (8.85) Dies ist die Selbstkonsistenz-Gleichung zur Bestimmung des Gap-Parameters
∆(k, iωn).
Zun¨achst erkennen wir, daß ∆(k, iωn) nicht von ωn abh¨angt. Bei konstan-ter Wechselwirkung V ist auch die k-Abh¨angigkeit nicht vorhanden, bis auf den cut-off in der Wechselwirkung im k-Raum, den wir bei der Auswertung ber¨uck-sichtigen m¨ussen.
Auswertung der Frequenz-Summe mit Hilfe der Poissonschen Summenformel ergibt (vgl. (3.90) und (3.91))
∆k =− X′
k′
v ∆k′
2Ek′ tanhβEk′
2 , (8.86)
wobei sich die Summe nur ¨uber Zust¨ande mit|ǫk−µ|<~ωc erstreckt. Damit sind wir wieder bei bekannten Resultaten angelangt (siehe (8.45)). Die Auswertung der Greenschen Funktion im Nambu-Raum in Hartree-N¨aherung ist damit ¨aquivalent zu der vorher verwendeten Molekularfeld-N¨aherung.
Alternativ k¨onnen wir auch zun¨achst die Integration ¨uber k ausf¨uhren und dann die Frequenz-Summation durchf¨uhren. Mit ∆n:= ∆(iωn) erhalten wir:
∆n=−1 β
X
ωm
v Z
dξN(ξ) ∆m
ξ2+ωm2 + ∆2m =−1 β
X
ωm
vπN(ǫF) ∆m pωm2 + ∆2m .
(8.87) Nun m¨ussen wir einen cut-off in der Frequenz einf¨uhren. Mit |ωm| ≤ωc erhalten wir das gleiche Resultat f¨ur ∆ wie oben. Eine Verallgemeinerung dieser Formel f¨ur eine frequenzabh¨angige Wechselwirkungv(iωn−iωm) mit frequenzabh¨angiger Gap-Funktion werden wir in der Eliashberg-Theorie kennenlernen.