Wir wollen zun¨achst die dynamische Suszeptibilit¨at f¨ur ein freies Elektronen-gas ohne Coulombwechselwirkung, die sogenannte Lindhard-Funktion berechnen.
Wir werden dieses wichtige Resultat auf zwei Weisen herleiten: einmal mit Hil-fe der Bewegungsgleichung und dann mit der Technik Greenscher Funktionen.
Die zweite Methode ist zweckm¨aßig und notwendig, wenn man systematisch die Wechselwirkung ber¨ucksichtigen will.
a) Bewegungsgleichung
Durch Feldoperatoren ausgedr¨uckt schreibt sich die Elektronendichte n(x) =X
σ
ψσ†(x)ψσ(x). (5.37)
Setzen wir daf¨ur eine Zerlegung nach ebenen Wellen ein ψσ(x) = 1
√Vol X
k
ckσeik·x, (5.38)
dann lautet die Dichte n(x) = 1
Vol X
k1k2σ
c†k1σck2σe−ik1·xeik2·x (5.39) n(q) =
Z
d3xe−iq·xn(x) =X
kσ
c†kσck+qσ =n†(−q). (5.40)
F¨ur die dynamische Suszeptibilit¨at erhalten wir dann χ(q,q′, z) =− 1
Volhhn(q);n†(q′)iiz =− 1 Vol
X
kk′σσ′
hhc†kσck+qσ;c†k′+q′σ′ck′σ′iiz. (5.41) Wir wenden die Bewegungsgleichung (3.6) auf jeden einzelnen Term der Sum-me an (nur dann erh¨alt man ein einfach auswertbares Ergebnis):
zhhc†kσck+qσ;c†k′+q′σ′ck′σ′iiz + hhLc†kσck+qσ;c†k′+q′σ′ck′σ′iiz
= h[c†kσck+qσ, c†k′+q′σ′ck′σ′]i. (5.42) Dabei ist L der Kommutator mit dem Hamilton-Operator der freien Leitungs-elektronen, H =P
kσ
ǫkc†kσckσ (vgl. Kapitel 3.1).
5.3 Dynamische Suszeptibilit¨at f¨ur freies Elektronengas 91
F¨uhrt man die Kommutatoren aus, dann erh¨alt man
Lc†kσck+qσ = (ǫk−ǫk+q)c†kσck+qσ (5.43) [c†kσck+qσ, c†k′+q′σ′ck′σ′] = δσσ′δk+q,k+q′c†kσck′σ−δσσ′δk,k′c†k′+q′σck+qσ. (5.44) Mithc†kσck′σi=δk,k′fk,fk = (exp(β(ǫk−µ) + 1)−1 erh¨alt man
(z+ǫk−ǫk+q)hhc†kσck+qσ;c†k′+q′σ′ck′σ′iiz =δσσ′δkk′(fk−fk+q) (5.45) und daraus durch Summation die dynamische Suszeptibilit¨at:
χ0(q,q′, z) =δq,q′
2 Vol
X
k
fk+q−fk
z+ǫk−ǫk+q
. (5.46)
Der Faktor 2 stammt aus der Spinsumme. Die Diagonalit¨at der dynamischen Suszeptibilit¨at folgt hier aus der Diagonalit¨at der Erwartungswertehc†kσck′σi. b) Mit thermodynamischen Greenschen Funktionen
Wir definieren eine Zweiteilchen-Greensche Funktion G2(x,x′, τ) = −hTn(x, τ)n(x′,0)i
= −X
σσ′
hTψσ†(x, τ)ψσ(x, τ)ψ†σ′(x′,0)ψσ′(x′,0)i. (5.47) F¨ur ein System ohne Wechselwirkung k¨onnen wir diesen Ausdruck mit Hilfe des Wickschen Theorems exakt auswerten:
G2(x,x′, τ) = −X
σσ′
hTψσ†(x, τ)ψσ′(x′,0)ihTψσ(x, τ)ψ†σ′(x′,0)i
−hn(x, τ)ihn(x′,0)i
= 2G0(x′−x,−τ)G0(x−x′, τ)− hn(x)ihn(x′)i. (5.48) Der erste Term ist der so genannte Polarisations-Propagator (der Faktor 2 stammt wieder aus der Spinsumme)
Π0(x−x′, τ) = 2G0(x′−x,−τ)G0(x−x′, τ), (5.49) dargestellt in Abb. 5.1 als Propagation von einem Teilchen-Loch-Paar von (x′,0) nach (x, τ). Der zweite Term tritt auf bei der Zerlegung der thermodynamischen Greenschen Funktion, spielt aber keine Rolle in der entsprechenden Antwort-funktion. Man ¨uberzeugt sich leicht, daß der Polarisationspropagator gerade die
= + G
2x x’ x x’
Abbildung 5.1: Zweiteilchen-Propagator f¨ur freie Elektronen.
Korrelationsfunktion der Dichteschwankungen δn(x) = n(x)−hn(x)ibeschreibt.
Nur diese Gr¨oße spielt eine Rolle im Kommutator der Antwortfunktion.
Wir gehen ¨uber zur Fourier-Transformierten:
Π0(q, iωs) = Dabei ist wegen des Kommutators in der Antwortfunktionωs = 2sπ/βeine gerade Matsubara-Frequenz. Setzen wir die Fourier-Zerlegung der Greenschen Funktio-nen ein (mit ungeraden Matsubara-Frequenzen)
G0(x−x′, τ) = 1 Die Frequenzsumme k¨onnen wir mit der Poissonschen Summenformel ausf¨uhren (siehe Kapitel 3.4, insbesondere (3.90) und (3.91)):
Π0(q, iωs) = 2 wobei exp(iωsβ) = 1 verwendet wurde. Nach analytischer Fortsetzung der Fre-quenz iωs →z =ω+iδ erhalten wir das gleiche Resultat (5.46) wie zuvor. Man beachte, daß die analytische Fortsetzung erst dann ausgef¨uhrt wird, nachdem vor-her exp(iωsβ) = 1 gesetzt wurde. Die Diagonalit¨at in q ergibt sich hier daraus, daß die Einteilchen-Greenschen Funktionen nur von x−x′ abh¨angen.
5.3 Dynamische Suszeptibilit¨at f¨ur freies Elektronengas 93
k + q
q k
q < 2kF
q k + q
k
q > 2kF
Abbildung 5.2: M¨ogliche Teilchen-Loch-Anregungszust¨ande.
Bevor wir die Wechselwirkung einbauen, wollen wir kurz das Ergebnis f¨ur die dynamische Suszeptibilit¨at des freien Elektronengases diskutieren.
Imagin¨arteil der dynamischen Suszeptibilit¨at beiT = 0:
χ′′0(q, ω) =ℑmχ0(q, ω+iδ) = −2π
Z d3k
(2π)3(fk+q−fk)δ(ω+ǫk−ǫk+q). (5.54) Die Spektralfunktion enth¨alt Beitr¨age von den wirklichen Anregungen des Sy-stems (im Gegensatz zum Realteil der Suszeptibilit¨at, zu dem auch virtuelle An-regungen beitragen). AnAn-regungen sind m¨oglich, wenn die Energie ω der ¨außeren St¨orung der Anregungsenergie ωk,q = ǫk+q−ǫk eines Teilchen-Loch-Paares ent-spricht. Ferner muß der Ausgangszustand besetzt und der Endzustand unbesetzt sein. Die m¨oglichen Anregungszust¨ande sind in Abb. 5.2 f¨ur die beiden F¨alle q <2kF und q >2kF dargestellt.
F¨ur die Anregungsenergie eines Teilchen-Loch-Paares erhalten wir mit der quadratischen Einteilchen-Dispersion ǫk =k2/(2m)
ωk,q = (k+q)2−k2
2m = 2k·q+q2
2m . (5.55)
Bei einem besetzten Anfangszustand k und f¨ur einen gegebenen Vektor q erh¨alt man die h¨ochste Anregungsenergie, wenn k parallel zu q ist und auf der Fermi-kante liegt:
ωmax= q kF
m + q2
2m. (5.56)
Die Minimalenergie ist dagegen:
ωmin =
(0 f¨ur q <2kF
−q kmF + 2qm2 f¨ur q >2kF. (5.57)
χ ( q,ω ) χ’ ( q,ω )
χ " ( q, ω ) 2N
0ω ω 0
0
2k
Fq ω
min(q)
ω
max(q)
Abbildung 5.3: Dynamische Suszeptibilit¨at f¨ur ein freies Elektronengas.
Grunds¨atzlich ist χ′′(q, ω)6= 0 nur wenn ωmin < ω < ωmax. Dieser Bereich ist im unteren Teil von Abb. 5.3 schraffiert dargestellt.
Ein weiterer leicht zu diskutierender Grenzfall ist die Statische Suszeptiblit¨at bei T=0:
F¨ur den Realteil der Suszeptibilit¨at erh¨alt man χ′0(q, ω) = 2
Z d3k (2π)2
fk+q−fk
ω+ǫk−ǫk+q
. (5.58)
Hier tragen auch virtuelle Prozesse mit ω 6=ωk,q bei.
Bei T = 0 und ω = 0 l¨aßt sich das Integral leicht ausrechnen (analytische Resultate f¨urω 6= 0 findet man z.B. in Kapitel 3.5 (S. 144) des Buches [30]), und man erh¨alt
χ′0(q,0) = 2N(µ)g q
2kF
(5.59) mit der Zustandsdichte an der Fermikante
N(µ) = m kF
2π2 (5.60)
5.3 Dynamische Suszeptibilit¨at f¨ur freies Elektronengas 95
und der Lindhard-Funktion (4.81) (siehe Abb. 4.5). Beix= 0 hat sie den Wert 1, beix= 1 einen scharfen Abfall mit unendlicher Steigung. Dieser Punkt entspricht dem Wertq = 2kF.
Den Wert der Suszeptibilit¨at bei q =0 berechnet man auch leicht bei endli-chen Temperaturen aus
BeiT = 0 wird die Ableitung der Fermifunktion zurδ-Funktion, und man erh¨alt
χ(0,0) = 2N(µ). (5.63)
Dieser Wert beschreibt die ¨Anderung der Teilchendichte auf eine Verschiebung des chemischen Potentials, ∆n = 2N(µ)∆µ. Man beachte die Reihenfolge der Limites: erstω →0 dannq →0, d.h.
q→0lim lim
ω→0χ(q, ω) = 2N(µ). (5.64)
Setzt man dagegen q =0 bei endlichem ω, dann ist die Antwort 0:
ω→0lim lim
q→0χ(q, ω) = 0. (5.65)
Auf eine zeitliche ¨Anderung eines r¨aumlich homogenen Potentials kann die Dich-te wegen der Erhaltung der Teilchenzahl nicht reagieren, im UnDich-terschied zu der Reaktion auf ein r¨aumlich variables Potential mit q 6= 0, wo ein Ausgleich zwi-schen Gebieten mit h¨oherem Potential zu Gebieten mit niedrigerem Potential m¨oglich ist. Ist dagegen ω = 0 exakt (oder setzt man iωs = 0 vor der analy-tischen Fortsetzung auf die reelle Achse), dann beschreibt χ(q,0) die isotherme Suszeptibilit¨at. Hier kann sich die Teilchendichte ¨andern, da der Ausgleich ¨uber den Kontakt mit einem Teilchen-Reservoir erfolgt. Diese Aussagen, die auf Erhal-tungss¨atzen beruhen, behalten ihre G¨ultigkeit auch bei Verunreinigungsstreuung und Zweiteilchen-Wechselwirkung (beachte aber den Sonderfall der langreichwei-tigen Coulombwechselwirkung im n¨achsten Abschnitt).
Antwort auf eine punktf¨ormige St¨orung:
Exakt berechenbar ist auch die Antwort auf eine punktf¨ormige St¨orung. Setzen wir
V(x) =v δ(x), V(q) =v , (5.66) dann finden wir f¨ur die induzierte Dichte¨anderung (eine Strategie zur Berechnung der dabei auftretenden Integrale findet man z.B. in Kapitel 14 (S. 178-179) von Referenz [10]):
δhn(x)i=
Z d3q
(2π)3χ′0(q,0) eiq·xv =avF(2kFx) (5.67) mit
F(y) = siny−ycosy
y4 , a= mk4F
2π3 . (5.68)
Bemerkenswert sind die r¨aumlichen Ladungsoszillationen (sognenannte Friedel-Oszillationen), die durch den scharfen Abbruch der Lindhard-Funktion bei q = 2kF verursacht werden. Sie treten in ¨ahnlicher Form auch in einem geladenen Elektronensystem mit Coulombwechselwirkung auf. In der vorliegenden Form be-schreiben sie die Antwort der Spindichte auf die Wechselwirkung mit einem loka-len Moment. Die Spinsuszeptibilit¨at wird ebenfalls durch die Lindhard-Funktion beschrieben und hier spielt die Coulombwechselwirkung keine entscheidende Rol-le. Setzen wir
Hs=−jS ·s(0) (5.69)