Satz 4.35 (Zerlegungssatz f¨ur komplexe Polynome)
Sei Q ∈ C[z] ein Polynom vom Grad n≥ 1 und seien ξ1, . . . , ξm ∈ C die verschiedenen Nullstellen vonQ. Dann gilt
Q(z) =anzn+. . .+a1z+a0 =an(z−ξ1)ν1 ·(z−ξ2)ν2 ·. . .·(z−ξm)νm, wobei νj ∈Neindeutig bestimmte nat¨urliche Zahlen sind und n=ν1+. . .+νm. Beweis. Sei Q(ξ1) = 0. Wir betrachten das Polynom
qk(z) :=zk−1+zk−2·ξ1+zk−3·ξ12+. . .+z·ξ1k−2+ξ1k−1. Dann giltzk−ξ1k= (z−ξ1)·qk(z) und folglich
Q(z) =Q(z)−Q(ξ1) = a1(z−ξ1) +a2(z2−ξ12) +. . .+an(zn−ξ1n)
= (z−ξ1)·(a1q1(z) +a2q2(z) +. . .+anqn(z))
=: (z−ξ1)·Q1(z).
Q1(z) ist dabei ein Polynom vom Grad n−1. Istn−1≥1, so hat Q1 eine Nullstelle und wir k¨onnen einen weiteren Linearfaktor vonQ1 abspalten. Dieses Verfahren funktioniert
n–mal. ⊓⊔
Bemerkung:νj heißt diealgebraische Vielfachheitder Nullstelleξj. Ein nicht-konstantes komplexes Polynom Q vom Grad n hat als genau n komplexe Nullstellen (gez¨ahlt mit Vielfachheit).
4.8 Approximationss¨atze f¨ur stetige Abbildungen
In diesem Abschnitt werden wir untersuchen, wie man stetige Abbildungen durch gewisse
”einfache” stetige Abbildungen approximieren kann. Dazu ist zun¨achst zu kl¨aren, was wir unter ”approximieren” verstehen wollen. Wir ben¨otigen dazu eine Metrik auf dem Raum der stetigen Abbildungen, mit der wir Konvergenz beschreiben k¨onnen.
Wir betrachten zwei metrische R¨aume (X, dX) und (Y, dY) und bezeichnen mit C(X, Y) die Menge aller stetigen Abbildungen von X nachY:
C(X, Y) :={f :X−→Y |f stetig }.
Um auf C(X, Y) eine geeignete Metrik zu definieren, setzen wir nun voraus, dass der metrische RaumX kompaktist. Wir definieren f¨ur f, h∈C(X, Y)
d∞(f, h) := max{dY(f(x), h(x))|x∈X}.
Da die Metrik dY stetig ist, ist die Abbildung x ∈ X 7→ dY(f(x), h(x)) ∈ R stetig, sie besitzt also tats¨achlich ein Maximum auf dem kompakten metrischen RaumX. Aus den
Eigenschaften der Metrik dY erh¨alt man ohne Probleme, dass d∞ eine Metrik auf dem Raum der stetigen AbbildungenC(X, Y) ist.
Ist der Bildraum ein normierter K-Vektorraum (V,k · k), so tr¨agt auch die Menge der stetigen AbbildungenC(X, V) eineK-Vektoraumstruktur (Kist hier der K¨orper der reellen oder der komplexen Zahlen). Zur Erinnerung: F¨ur f, h ∈C(X, V) und λ ∈K definieren wir
(f +h)(x) :=f(x) +h(x) und (λ·f)(x) :=λ·f(x) ∀x∈X.
Die Norm k · k aufV liefert dann eine Normk · k∞ auf dem Vektorraum C(X, V):
kfk∞:= max{kf(x)k |x∈X}, f ∈C(X, V).
Die durchk · k∞gegebene Metrik aufC(X, V) stimmt mit der Metrik d∞ ¨uberein, die auf C(X, V) durch die durchk · k gegebene Metrikdk·k von V induziert wird:
d∞(f, h) = max{dk.k(f(x), h(x))|x∈X}
= max{kf(x)−h(x)k |x∈X}
=kf−hk∞.
Im folgenden sind die MengenC(X, Y) bzw.C(X, V) immer mit der Metrik d∞ bzw. der Norm k · k∞ versehen.
Satz 4.36 SeiX ein kompakter metrischer Raum undY ein beliebiger metrischer Raum.
1. Sei (fn) eine Folge stetiger Abbildungen fn ∈C(X, Y). Die Folge (fn) konvergiert im metrischen Raum C(X, Y) genau dann gegen f ∈C(X, Y), wenn die Funktionenfolge (fn) gleichm¨aßig gegen f konvergiert.
2. Ist Y vollst¨andig, so ist C(X, Y) vollst¨andig.
3. Ist V ein Banachraum, so ist C(X, V) ebenfalls ein Banachraum.
Beweis. (1) Die erste Behauptung folgt aus der ¨Aquivalenz der folgenden Bedingungen:
fn−→f in C(X, Y)
⇐⇒ ∀ε >0 ∃n0 ∈N so dass d∞(fn, f)< ε ∀n≥n0
⇐⇒ ∀ε >0 ∃n0 ∈N so dass max{dY(fn(x), f(x))|x∈X}< ε ∀n≥n0
⇐⇒ ∀ε >0 ∃n0 ∈N so dass dY(fn(x), f(x))< ε ∀n≥n0 ∀x∈X.
⇐⇒ (fn) konvergiert gleichm¨aßig gegenf .
(2) Sei der metrische Raum (Y, dY) vollst¨andig. Wir zeigen, dass dann auch (C(X, Y), d∞) vollst¨andig ist. Sei (fn) eine Cauchy–Folge inC(X, Y) undε >0. Dann existiert einn0 ∈N, so dass f¨ur alle x∈X
dY(fn(x), fm(x))≤d∞(fn, fm)< ε ∀n, m≥n0. (∗)
4.8 Approximationss¨atze f¨ur stetige Abbildungen 139
Folglich ist die Folge (fn(x)) f¨ur jedes x ∈X eine Cauchy–Folge in Y. Da Y vollst¨andig ist, existiertf(x) := lim
n→∞fn(x) aufX. Da die MetrikdY stetig ist, folgt aus (∗) f¨ur jedes x∈X
mlim→∞dY(fn(x), fm(x)) =dY(fn(x), lim
m→∞fm(x)) =dY(fn(x), f(x))≤ε ∀n≥n0. Dies zeigt, dass die Funktionenfolge (fn) gleichm¨aßig gegenf konvergiert. Nach Satz 4.25 ist f stetig und nach (1) konvergiert die Folge (fn) in C(X, Y) gegenf.
(3) ist ein Spezialfall von (2). ⊓⊔
In verschiedenen Situationen kann man stetige Abbildungen durch ”einfache” stetige Ab-bildungen approximieren. Ein Beispiel kennen wir bereits:
Sei P∞
k=0
akxk eine komplexe Potenzreihe mit dem Konvergenzradius R >0 und bezeichne pn(x) :=
Pn k=0
akxk ihre n-te Partialsumme. Dann ist die Funktion f : (−R, R)⊂R −→ C
t 7−→ P∞
k=0
aktk
stetig und die Folge der Polynome (pn) konvergiert gleichm¨aßig gegen f auf jedem kom-pakten Intervall [a, b]⊂(−R, R).
Wir wollen nunbeliebigestetige Funktionen aus C([a, b],K) durch Polynome approximie-ren. Wir bezeichnen mitP([a, b],K) diejenigen stetigen Funktionen, die mittels Polynomen definiert sind:
P([a, b],K) :={p:t∈[a, b]7→p(t)∈K |p∈K[x]} ⊂ C([a, b],K).
Satz 4.37 (Weierstraßscher Approximationssatz)
Die Menge der Polynome P([a, b],K) liegt dicht in C([a, b],K), das heißt, f¨ur jede stetige Funktion f : [a, b]−→K existiert eine Folge von Polynomen pn: [a, b]−→K, n∈N, die auf [a, b] gleichm¨aßig gegen f konvergiert.
Beweis. (1) Es gen¨ugt, die Behauptung f¨ur das Intervall [0,1] zu zeigen:
Sei die Behauptung f¨ur das Intervall [0,1] bewiesen und [a, b] ein beliebiges Intervall. Wir betrachten den Hom¨oomorphismus
φ: [0,1]−→[a, b]
t 7−→a+ (b−a)t.
Die inverse Abbildungφ−1 ist durch
φ−1(x) = x−a b−a
gegeben. Sei nun f ∈ C([a, b],K) und h := f ◦φ ∈ C([0,1],K). Nach unserer Annahme existiert eine Polynomfolge (pn), die auf [0,1] gleichm¨aßig gegen h konvergiert. Dann ist qn:=pn◦φ−1 eine Polynomfolge, die auf [a, b] gleichm¨aßig gegen f =h◦φ−1 konvergiert.
(2) Sei f ∈ C([0,1],K). Unter dem n-ten Bernstein–Polynom zu f verstehen wir das folgende Polynomn-ten Grades:
B[f]n(x) :=
Xn k=0
fk n
n k
(1−x)n−k·xk
| {z }
=:βk,n(x)
.
Die Polynomeβk,n(x) haben folgende Eigenschaften:
(1) βk,n(x)≥0 ∀x∈[0,1], (2)
Pn k=0
βk,n(x) = (1−x+x)n= 1 ∀x∈[0,1], (3) Pn
k=0
(k−nx)2·βk,n(x) =nx(1−x) ∀x∈[0,1].
Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition, die 3. Eigenschaft ist eine Ubungsaufgabe zum Rechnen mit Binomialkoeffizienten.¨
Im folgenden zeigen wir, dass die Bernstein-Polynome B[f]n auf [0,1] gleichm¨aßig gegen f konvergieren.
Daf stetig und [0,1] kompakt ist, istf([0,1])⊂K ebenfalls kompakt, also insbesondere beschr¨ankt. Es existiert also eine KonstanteC >0 so dass
|f(x)| ≤C f¨ur alle x∈[0,1]. (∗)
Da [0,1] kompakt ist, ist die Funktion f sogar gleichm¨aßig stetig. Folglich existiert zu jedemε >0 einδ >0 so dass
|f(x1)−f(x2)|< ε
2 ∀x1, x2 ∈[0,1] mit |x1−x2|< δ. (∗∗) Wir fixieren nun einn0 ∈N mitn0 > εC·δ2 und zeigen, dass
|B[f]n(x)−f(x)|< ε ∀n≥n0,∀x∈[0,1].
F¨ur x∈[0,1] und n∈N betrachten wir die folgenden Mengen In(x) :=n
k∈ {0,1, . . . , n} k
n−x< δo Jn(x) :=n
k∈ {0,1, . . . , n} k
n−x≥δo . Dann erhalten wir
|B[f]n(x)−f(x)| (2)= Xn k=0
fk
n
−f(x)
·βk,n(x)
≤ X
k∈In(x)
fk
n
−f(x)
βk,n(x)
| {z }
:=Sn(x)
+ X
k∈Jn(x)
fk
n
−f(x)
·βk,n(x)
| {z }
:=Rn(x)
.
4.8 Approximationss¨atze f¨ur stetige Abbildungen 141
F¨ur den Summanden Sn(x) ergibt sich Sn(x)(1)≤ X
In(x)
fk
n
−f(x)·βk,n(x)(∗∗≤) ε 2· X
In(x)
βk,n(x)≤ ε 2
Xn k=0
βk,n(x) (2)= ε 2. Istk∈Jn(x), so gilt (kn−x)2 ≥δ2, also (kn−2nx)δ22 ≥1 . F¨ur den SummandenRn(x) ergibt sich
Rn(x) ≤ X
Jn(x)
nfk n
+|f(x)|o
·βk,n(x)·(k−nx)2 n2δ2
| {z }
≥1 (∗),(3)
≤ 2C n2δ2 ·
Xn k=0
(k−nx)2βk,n(x)
| {z }
=nx(1−x)
= 2C
nδ2x(1−x).
Sei nun n≥n0> εδC2 . Dann ist nδ2C2 <2ε. F¨ur x∈[0,1] gilt außerdem x(1−x) =x−x2 =−(x− 1
2)2+1 4 < 1
4. Folglich ist Rn(x)< ε2. Insgesamt erhalten wir
|B[f]n(x)−f(x)|< ε f¨ur alle n≥n0 undx∈[0,1].
Somit konvergiert die Folge der Bernstein-Polynome (B[f]n) auf [0,1] gleichm¨aßig gegen
die stetige Funktionf. ⊓⊔
Wir wollen den Weierstraßschen Approximationssatz nun auf Funktionen mit beliebigem kompakten Definitionsbereich verallgemeinern.
Wir betrachten dazu einen beliebigen kompakten metrischen Raum X und den Banach-raum C(X,K) der stetigen reell- bzw. komplexwertigen Funktionen auf X mit der Norm k · k∞ und fragen uns, wann eine TeilmengeR ⊂C(X,K) dicht in C(X,K) liegt.
Definition 4.18.Unter einer Unteralgebra vonC(X,K) versteht man einen linearen Un-terraum4 R ⊂ C(X,K) mit der zus¨atzlichen Eigenschaft, dass mit zwei Funktionen f, g∈ R auch das Produkt f·g, definiert durch (f·g)(x) =f(x)·g(x), in R liegt.
Ein Beispiel f¨ur eine Unteralgebra ist die im Weierstraßschen Approximationssatz betrach-tete Menge der Polynome P([a, b],K)⊂C([a, b],K).
Wir wollen nun Bedingungen daf¨ur angeben, dass eine Unteralgebra R ⊂C(X,K) dicht inC(X,K) liegt. Als Hilfsmittel beweisen wir zun¨achst folgende Lemmata.
4 Ein linearer Unterraum ist eine Teilmenge vonC(X,K), die abgeschlossen gegen¨uber den Vektorraum-Operationen ist.
Lemma 4.19.SeiX ein kompakter metrischer Raum. IstR ⊂C(X,K)eine Unteralgebra im Banachraum der stetigen K-wertigen Funktionen auf X, so ist auch der Abschluss cl(R)⊂C(X,K) eine Unteralgebra.
Beweis. Seienf, g∈cl(R)⊂C(X,K) stetige Funktionen, die im Abschluss der Unteralge-braRliegen. Dann existieren Folgen stetiger Funtionen (fn) und (gn) mitfn, gn∈ R, die bzgl.k · k∞ gegen f bzw.g konvergieren. DaR eine Unteralgebra ist, liegen die stetigen Funktionenfn+gn,λ·fn und fn·gn ebenfalls in R, wobei λ∈K. Mit den Normeigen-schaften sieht man sofort, dass die Folgen (fn+gn) und (λ·fn) bzgl. k · k∞ gegen f +g bzw. λ·f konvergieren. Somit liegen f +g und λ·f in cl(R). Es bleibt zu zeigen, dass auchf ·g incl(R) liegt.
Da die Folge (fn) konvergiert, ist sie beschr¨ankt, d.h. es existiert eine Konstante C ∈R+ mit
|fn(x)| ≤ kfnk∞≤C ∀n∈N ∀x∈X.
Nach Definition der Normk · k∞ gilt außerdem
|g(x)| ≤ kgk∞ ∀x∈X.
Damit erhalten wir
kf·g−fn·gnk∞=kf·g−fn·g+fn·g−fn·gnk∞
=kg(f−fn) +fn(g−gn)k∞
≤ kg(f−fn)k∞+kfn(g−gn)k∞
= max
x∈X{|g(x)| |f(x)−fn(x)|}+ max
x∈X{|fn(x)| |g(x)−gn(x)|}
≤ kgk∞· kf−fnk∞+C· kg−gnk∞
Da (fn) gegen f und (gn) gegen g konvergiert, folgt aus dieser Ungleichung, dass fn·gn
gegenf ·g konvergiert. Somit istf ·g∈cl(R). ⊓⊔
Lemma 4.20.SeiX ein kompakter metrischer Raum und R ⊂C(X,R) eine Unteralge-bra, die alle konstanten Funktionen enth¨alt. Dann liegen f¨ur zwei Funktionen f, g∈ R die Funktionen |f|, max{f, g} und min{f, g} im Abschluss cl(R).
Beweis. (1) Sei f ∈ R. Wir wissen, dass
|f(x)| ≤ kfk∞=:C ∈R+ ∀x∈X.
Wir betrachten die stetige Funktion w:x ∈[0, C2]7−→√
x∈R. Sei (pn) eine Folge von Polynomen, die auf [0, C2] gleichm¨aßig gegen w konvergiert. Eine solche Folge existiert nach Satz 4.37. Dann konvergiert die Funktionenfolge (pn◦f2) aufX gleichm¨aßig gegen w◦f2=|f|. Folglich konvergiert die Folge (pn◦f2) im metrischen Raum (C(X,R),k·k∞) gegen|f|. DaReine Algebra ist, ist mitf ∈ Rauch jede Potenzfi∈ R. Außerdem liegen
4.8 Approximationss¨atze f¨ur stetige Abbildungen 143
nach Voraussetzung alle konstanten Funktionen inR. Seien pn(x) =Pn
i=0anixi die obigen Polynome. Dann folgt:
pn◦f2= Xn i=1
ain(f2)i ∈ R.
Somit ist|f|der Grenzwert einer Folge von Elementen ausRund folglich gilt |f| ∈cl(R).
(2) Seienf, g∈ R. Dann sind f+g und f−gElemente in R, weilRein Unterraum von C(X,R) ist. Aus (1) folgt |f −g| ∈cl(R) und |f +g| ∈cl(R). Da Nach Lemma 4.19 der Abschlußcl(R) ebenfalls eine Unteralgebra ist, erhalten wir
max{f, g}= 12(f+g+|f −g|) min{f, g} = 12(f+g− |f −g|)
∈ cl(R).
⊓
⊔ Mit Hilfe dieser Lemmata beweisen wir den folgenden Approximationssatz f¨urreellwertige Funktionen:
Satz 4.38 (Approximationssatz von Stone–Weierstraß (1))
Sei X ein kompakter metrischer Raum und R ⊂C(X,R) eine Unteralgebra im Banach-raum der reellwertigen Funktionen auf X mit folgenden Eigenschaften:
1. R enth¨alt alle konstanten Funktionen,
2. Rtrennt Punkte, d.h. f¨ur beliebige voneinander verschiedene Punktex, y∈X existiert eine Funktion f ∈ R mitf(x)6=f(y).
Dann ist R dicht in (C(X,R),k.k∞), d.h. zu jedem f ∈C(X,R) existiert eine Folge von Funktionen(fn) aus R, die auf X gleichm¨aßig gegen f konvergiert.
Beweis. (1) Wir zeigen zun¨achst die folgende Eigenschaft vonR:
Sindx0 undy0 zwei verschiedene Punkte in X und r undszwei reelle Zahlen, so existert eine Funktion h∈ R mith(x0) =r und h(y0) =s:
Da die Algebra R Punkte trennt, existiert eine Funktion f ∈ R mit f(x0) 6= f(y0). Sei g:X−→Rdie stetige Funktion
g(x) := f(x)−f(x0)
f(y0)−f(x0), x∈X.
DaRalle konstanten Funktionen enth¨alt, liegtg inR. Wir betrachten nun die Funktion h:= (s−r)·g+r ∈ R.
Dann gilt offensichtlich
h(x0) = (s−r)g(x0) +r=r und h(y0) = (s−r)g(y0) +r=s.
(2) Wir zeigen nun, dassRdicht inC(X,R) liegt.
Sei f ∈ C(X,R). Wir m¨ussen zeigen, dass f¨ur jedes ε > 0 ein fε ∈ R existiert, so dass
kf−fεk∞< ε:
Seien a, b ∈ X zwei beliebige Punkte. Nach (1) existiert eine Funktion ha,b ∈ R mit ha,b(a) =f(a) und ha,b(b) = f(b). (Falls a=b, so setzen wir in (1) x0 =a=b, r =f(a) undy0, sbeliebig). Daf undha,b stetig sind, ist die Teilmenge
Ua,b:=n
x∈X|ha,b(x)> f(x)−ε 2
o= (ha,b−f)−1 (−ε
2,+∞)
⊂X
offen. Nach Definition ist a ∈ Ua,b. Sei b ∈ X ein fixiertes Element. Dann ist Ub :=
{Ua,b}a∈X eine offene ¨Uberdeckung von X. Da X kompakt ist, existiert eine endliche Teil¨uberdeckung Ub∗ ⊂ Ub, d.h. es existieren endlich viele Punkte a1, a2, . . . , an ∈ X, so dass
X=Ua1,b∪Ua2,b∪. . .∪Uan,b. Wir betrachten die Funktion
fb:= max{ha1,b, . . . , han,b}.
Nach Lemma 4.20 istfb ∈cl(R). Istx∈X, so giltx∈Uaj,bf¨ur einen Indexj∈ {1, . . . , n}. Damit erhalten wir
fb(x)≥haj,b(x)> f(x)−ε 2.
Wir haben zur Funktion f ∈C(X,R) also zun¨achst f¨ur jedes b ∈X eine Funktion fb ∈ cl(R) gefunden, so dass
fb(x)> f(x)− ε
2 ∀x∈X. (∗)
Daf und fb stetig sind, ist die Teilmenge Vb :=n
x∈X|fb(x)< f(x) +ε 2
o= (fb−f)−1
(−∞,ε 2)
⊂X
offen. Aus der Definition der Funktionenha,bfolgt, dassfb(b) =f(b), d.h. b∈Vb. Folglich ist V := {Vb}b∈X eine offene ¨Uberdeckung von X. Da X kompakt ist, existiert eine endliche Teil¨uberdeckungV∗ ⊂ V, d.h. es existieren endlich viele Punkteb1, b2, . . . , bk ∈X, so dass
X=Vb1∪Vb2∪. . .∪Vbk. Wir betrachten die stetige Funktion
g:= min{fb1, . . . , fbk}.
Aus den Lemmata 4.19 und 4.20 folgtg∈cl(R). Istx∈X, so giltx∈Vbi f¨ur einen Index i∈ {1, . . . , k}. Damit erhalten wir
g(x)≤fbi(x)< f(x) +ε 2.
Andererseits existiert f¨urx∈X einl∈ {1, . . . , k}mitg(x) =fbl(x) und folglich gilt wegen (∗)
4.8 Approximationss¨atze f¨ur stetige Abbildungen 145
g(x) =fbl(x)> f(x)− ε 2.
Wir haben also eine stetige Funktiong∈cl(R) gefunden, so dass f(x)− ε
2 < g(x)< f(x)− ε
2 ∀x∈X, also
kf−gk∞< ε 2.
Dag im Abschluss vonRliegt, gibt es eine Funktionfε ∈ Rmit kg−fεk∞< ε
2. Wir erhalten somit
kf−fεk∞≤ kf−gk∞+kg−fεk∞< ε 2 +ε
2 =ε.
Damit ist bewiesen, dass die UnteralgebraRdicht inC(X,R) liegt. ⊓⊔ Als n¨achstes beweisen wir einen analogen Approximationssatz f¨ur komplexwertige Funk-tionen.
Satz 4.39 (Approximationssatz von Stone–Weierstraß (2))
Sei X ein kompakter, metrischer Raum und R ⊂C(X,C) eine Unteralgebra im Banach-raum der stetigen, komplexwertigen Funktionen mit folgenden Eigenschaften:
1. R enth¨alt alle konstanten Funktionen, 2. R trennt Punkte,
3. Wenn f ∈ R, so ist f ∈ R.
Dann istRdicht in C(X,C), d.h., f¨ur jede Funktionf ∈C(X,C) existiert eine Folge von Funktionen(fn) in R, die auf X gleichm¨aßig gegen f konvergiert.
Beweis. Wir betrachten die folgende Teilmenge im Raum der reellwertigen stetigen Funk-tionen:
R∗:={f ∈ R |Im(f) = 0} ⊂C(X,R).
Dann gilt
1. Da R eine komplexe Unteralgebra in C(X,C) ist, ist R∗ eine reelle Unteralgebra in C(X,R).
2. DaR alle komplexen Konstanten enth¨alt, enth¨altR∗ alle reellen Konstanten.
3. R∗ trennt ebenfalls Punkte: Seienx, y ∈X zwei verschiedene Punkte. Wie im 1. Teil des Beweises von Satz 4.38 zeigt man, dass eine Funktion f ∈ R existiert, so dass f(x) = 0 und f(y) = 1 gilt. Dann gilt f¨ur die Funktion f∗ = f +f ∈ R∗, dass f∗(x) = 0 undf∗(y) = 2. f∗ trennt also die Punkte xund y.
Nach dem Approximationssatz von Stone-Weierstrass f¨ur reellwertige Funktionen (Satz 4.38), liegt dannR∗dicht im BanachraumC(X,R). Folglich ist die Menge der Funktionen R∗ +iR∗ dicht im Banachraum C(X,C). Da R eine komplexe Unteralgebra ist und R∗⊂ R, gilt R∗+iR∗⊂ R. Daraus erh¨alt man
C(X,C) =cl(R∗+iR∗)⊂cl(R)⊂C(X,C),
also cl(R) =C(X,C) . ⊓⊔
Ist X = [a, b] ⊂ R und P([a, b],R) ⊂ C([a, b],R) die Menge der reellen Polynome, so erf¨ullt P([a, b],R) die Bedingungen an die Unteralgebra R im Satz 4.38. Die Menge der komplexen Polynome P([a, b],C) ⊂C([a, b],C) erf¨ullt die Bedingungen der Unteralgebra Rim Satz 4.39.
Wir wenden nun die Approximationss¨atze von Stone-Weierstraß auf eine weitere Klasse von Funktionen an und beweisen Approximationss¨atze f¨ur periodische Funktionen.
Eine Funktion f : R −→ K heißt 2π-periodisch, wenn f(x+ 2π) = f(x) f¨ur alle x ∈ R. Wir bezeichnen den K-Vektorraum der 2π-periodischen Funktionen mit
C(R,K)per :={f ∈C(R,K)|f ist 2π-periodisch}.
ObwohlR nicht kompakt ist, k¨onnen wir wegen der Periodizit¨at die folgende Maximum-Norm aufC(R,K)per definieren: F¨ur f ∈C(R,K)per ist
kfk∞:= max{|f(x)| |x∈R}= max{|f(x)| |x∈[0,2π]}.
Wir werden nun die periodischen FunktionenC(R,K)per mit den stetigen Funktionen auf der KreislinieS1:={z∈C| |z|= 1}identifizieren.
Lemma 4.21.Die normierten Vektorr¨aume (C(R,K)per,k · k∞) und (C(S1,K),k · k∞) sind isometrisch.
Beweis. Seiz∈S1. Nach Satz 4.32 wissen wir, dass es genau eine reelle Zahlt(z)∈[0,2π) gibt mitz=eit(z)= cos(t(z))+isin(t(z)). F¨urf ∈C(R,K)per definieren wirf∗:S1 −→K durch
f∗(z) :=f(t(z)).
Da die Umkehrfunktionen von Sinus und Cosinus stetig sind undf 2π-periodisch, ist f∗ stetig ( ¨Ubungsaufgabe). Die Abbildung
φ:C(R,K)per −→ C(S1,K)
f 7−→ f∗
ist ein Vektorraum-Isomorphismus, der auch mit dem Produkt von Funktionen vertr¨aglich ist (d.h. ein Algebren-Isomorphimus). Die Umkehrabbildung vonφist durch
φ−1(h)(t) :=h(eit), t∈R
4.8 Approximationss¨atze f¨ur stetige Abbildungen 147
gegeben, wobei hier h∈C(S1,K). φist isometrisch, da f¨ur allef ∈C(R,K)per kφ(f)k∞=kf∗k∞= max{|f∗(z)| |z∈S1}
= max{|f(t(z))| |z∈S1}= max{|f(t)| |t∈R}
=kfk∞.
⊓
⊔ Definition 4.22.Ein reelles trigonometrisches Polynom ist eine2π-periodische Funktion f ∈C(R,R)per mit
f(t) :=a0+ Xm k=1
akcos(kt) +bksin(kt)
∀t∈R, wobei a0, a1, . . . , am, b1, . . . , bm∈Rund m∈N.
Satz 4.40 Sei f ∈ C(R,R)per eine stetige, 2π-periodische, reellwertige Funktion. Dann existiert eine Folge reeller trigonometrischer Polynome (fn), die aufR gleichm¨aßig gegen f konvergiert.
Beweis. Wir bezeichnen mitP die Menge der reellen trigonometrischen Polynome. Wegen der Additionstheoreme
cos(kt)·cos(lt) = 1
2{cos((k+l)t) + cos((k−l)t)} cos(kt)·sin(lt) = 1
2{sin((k+l)t)−sin((k−l)t)} sin(kt)·sin(lt) = 1
2{cos((k−l)t)−cos((l+k)t)}
ist P eine Unteralgebra von C(R,R)per. Wir betrachten die UnteralgebraP∗ := φ(P) ⊂ C(S1,R) und wenden auf sie den Satz von Stone-Weierstraß 4.38 an. P enth¨alt per Defi-nition alle konstanten Funktionen. F¨ur f(t) := cos(t) giltf∗(z) =Re(z), f¨urf(t) := sin(t) gilt f∗(z) = Im(z). Also trennt P∗ Punkte. Somit liegt P∗ dicht in C(S1,R) und aus Lemma 4.21 folgt, dass P dicht inC(R,R)per ist. ⊓⊔ Definition 4.23.Ein komplexes, trigonometrisches Polynom ist eine2π–periodische Funk-tion f ∈C(R,C)per mit
f(t) = XM k=−m
ckeikt, wobei m, M ∈N0 und ck ∈C.
Satz 4.41 Sei f ∈ C(R,C)per eine stetige, 2π-periodische, komplexwertige Funktion.
Dann existiert eine Folge komplexer trigonometrischer Polynome(fn), die aufRgleichm¨aßig gegen f konvergiert.
Beweis. Wir gehen analog zu Satz 4.40 vor und betrachten die Menge der komplexen trigonometrischen Polynome Q ⊂ C(R,C)per ≃ C(S1,C). Man zeigt leicht, dass Q die Eigenschaften der Unteralgebra aus Satz 4.39 erf¨ullt. ⊓⊔
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Differentialrechnung f¨ ur Funktionen einer reellen Variablen
In diesem Kapitel behandeln wir die Differentialrechnung f¨ur Funktionen einer reellen Variablen mit Werten in normierten Vektorr¨aumen. Die Ideen zur Entwicklung der Dif-ferentialrechnung gehen bis ins 17. Jahrhundert zur¨uck. Sie sind eng verbunden mit dem Versuch, Probleme der Geometrie durch Einsatz analytischer Methoden zu l¨osen (z.B.
Bestimmung von Tangenten oder von Figuren und K¨orpern mit maximalen Fl¨ acheninhal-ten) sowie mit den Erfordernissen, die die Behandlung von Problemen aus der Mechanik (Verst¨andnis von Geschwindigkeit und Beschleunigung sowie von Kraft und Tr¨agheit) an die Mathematik stellte. F¨ur einen kurzen historischen Abriß empfehle ich das Buch von W.Walter:Analysis I,§ 10.
Die Grundidee der Differentialrechnung f¨ur Funktionen einer reellen Variable ist das Stu-dium des lokalen ¨Anderungsverhaltens der Funktion in der N¨ahe eines Punktes mit Hilfe der Approximation der Funktion durch lineare Abbildungen (Tangenten) bzw. durch Po-lynome. Die Eigenschaften dieser linearen bzw. polynomialen Approximation lassen viele Aussagen ¨uber das lokale Verhalten der Funktion zu.