Analytische Berechnung der Schleifenstrombelegung

Der Einfluß des elektrischen Feldes auf das Meßsignal der Schleifensonde kann durch das ein-fache Ersatzschaltbild nicht nachgebildet werden. Die Signalspannung der Schleifensonde bei Anregung einer homogenen Welle und im Einfluß des elektrischen und magnetischen Feldes wurde von King [5] bzw. Whiteside [9] deswegen analytisch berechnet.

Sie gehen für die Berechnung der Schleifenstrombelegung von einer gut leitenden runden Schleife mit Radius R und Drahtradius a aus. Der Drahtradius soll sehr viel kleiner als der Schleifen-radius und die Wellenlänge sein (a ¿ R und a ¿ λ). Wie in Abbildung 5.3 dargestellt ist,

liegt die Schleife in der Ebene z= 0 und wird von einer ebenen homogenen Welle angeregt.

Deren Einfallsrichtung bezüglich der Schleife wird durch die drei Winkelϑ^, ϕ ^undψ festgelegt.

Der Strom I in der Schleife wird in Abhängigkeit des Winkels α bezüglich des Schleifenmit-telpunkts im Koordinatenursprung beschrieben. Die zu lösende Integralgleichung ergibt sich aus den Randbedingungen an der Oberfläche des Drahtes und soll hier nicht weiter hergeleitet werden; Details können King [16] entnommen werden. Für die unbelastete Schleife (Z_L =0Ω) erhält man im homogenen Wellenfeld die Strombelegung I(α)

I(α) =−2π^RE₀^{i j}

Die Reihenentwicklung ist abhängig von den Gliedern f_n = 1

Y₀(x) modifizierte Besselfunktion zweiter Art nullter Ordnung I₀(x) modifizierte Besselfunktion erster Art nullter Ordnung J_n(x) Besselfunktion n-ter Ordnung

Ωn(x) Lommel-Weberfunktion n-ter Ordnung γ ^{= 0,5772} Eulersche Konstante

α Winkel entlang des Schleifenumfangs ϑ,ϕ,ψ Winkel der einfallenden Welle

Z₀ komplexer Wellenwiderstand

k Wellenzahl.

Die resultierende Strombelegung einer unbelasteten Schleife (Z_L = 0Ω) bei Anregung durch eine ebene Welle mitϑ =90^◦undψ =90^◦ist in Abbildung 5.3 den Ergebnissen von CONCEPT gegenübergestellt. Es ergibt sich innerhalb der numerischen Modellierung eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Verbleibende Differenzen sind auf die Nachbildung der runden Schleifenson-de durch einen Polygonzug aus linearen Stäben zurückzuführen.

Abbildung 5.3: Strombelegung einer unbelasteten Schleife (Z_L =0Ω, R = 2,36 cm, a=1 mm) im Feld einer homogenen ebenen Welle (ϑ =90^◦,ψ =90^◦): Vergleich der numerischen Resultate (CONCEPT) mit der analytischen Berechnung von R.W.P.King [16].

Die Strombelegung wird nur für elektrisch kleine Schleifen bzw. niedrige Frequenzen ausschließ-lich durch das magnetische Feld bestimmt. In diesem Fall ist es ausreichend, allein den ersten Term a₀ der Reihenentwicklung aus Gleichung (5.6) zu bestimmen. Er entspricht dem soge-nannten Schleifenmode und führt entsprechend Abbildung 5.4 zu einer entlang des Umfangs konstanten Stromamplitude, jedoch an gegenüberliegenden Punkten entgegengesetzter Phase.

Der Strom ergibt sich in guter Übereinstimmung von numerischer Simulation und dem Ersatz-schaltbild zu I ≈µHA/L = 0,06 A.

Mit steigender Frequenz ist die Strombelegung nicht mehr konstant, sondern von der Ausrich-tung der Schleife in Bezug auf das einfallende elektrische Feld abhängig. Dieser sogenannte Dipolmode wird durch das zweite Glied a₁ bestimmt. Das elektrische Feld ruft in den beiden Schenkeln der Schleife eine Stromverteilung hervor, die symmetrisch zu der in Abbildung 5.4 eingezeichneten Spiegelungsachse ist. Die Amplitude wie auch die Phase der Strombelegung von linker und rechter Schleifenhälfte sind bei dieser Anregung identisch.

Whiteside gibt in seinen Untersuchungen [9] eine Grenze von 0,01 λ für den maximalen Durch-messer der Schleife an, ab der der Einfluß des elektrischen Feldes nicht mehr zu vernachlässigen

Anregung durch das

Abbildung 5.4: Anregung einer doppelt belasteten Schleife durch das elektrische bzw. das magnetische Feld: Resultierender Dipol- und Schleifenmode.

ist. In diesem Beispiel entspricht dies einer oberen Grenze von f ≈64 MHz. Für größere Schlei-fen oder höhere Frequenzen ist die Strombelegung vom Einfallswinkel abhängig und deshalb ein eindeutiges Meßsignal nicht mehr möglich.

Eine Erweiterung des nutzbaren Frequenzbereiches gelingt nach King [9], [16] durch die Anord-nung zweier identischer Lastimpedanzen an einander gegenüberliegenden Punkten der Schleife.

Werden nur die beiden ersten Glieder der Reihenentwicklung berücksichtigt (Schleifen- und Dipolmode), gilt für die betreffenden Ströme

I(0) = 2π^RE₀^{iµ f0YA0}

Dabei wird die Schleifenadmittanz Y_A ebenfalls aus den ersten beiden Reihengliedern berechnet:

Y_A=Y_A0+Y_A1=− j Z₀π^a₀⁻

2 j

Z₀π^a₁ ^{. (5.14)}

Ein entsprechendes Ersatzschaltbild der doppelt belasteten Schleife kann [79] entnommen wer-den. Der Stromanteil, der dem ersten Bruch in den Gleichungen (5.12), (5.13) entspricht, wird durch das magnetische Feld hervorgerufen und führt zu der Lastspannung U_H, während der zweite Bruch den Dipolmode beschreibt und die Lastspannung U_E bewirkt. Es gilt also

U₁=U_H+U_E und U₂=U_H−U_E . (5.15) Durch Subtraktion und Addition der beiden Lastspannungen erhält man die gesuchten Signale U_E und U_H proportional zum elektrischen und magnetischen Feld:

2U_E =U₁−U₂∼E und 2U_H=U₁+U₂∼H . (5.16)

Laut Whiteside [9] kann auf diese Weise bei runden, doppelt belasteten Schleifen im homogenen Wellenfeld die Meßabweichung so weit reduziert werden, daß der nutzbare Frequenzbereich gegenüber der einfach belasteten Schleife um den Faktor 10 erweitert wird. Bei der oberen Grenzfrequenz muß demnach der Durchmesser kleiner als 0,1λ sein. Für höhere Frequenzen können die folgenden Glieder der Reihenentwicklung nicht mehr vernachlässigt werden.

An dieser Stelle sei auf ein weit verbreitetes Mißverständnis hingewiesen: Die bisher beschriebe-nen Einflüsse des elektrischen Feldes auf das Meßsignal und die daraus resultierende Meßabwei-chung können durch eine Ausführung als koaxiale Schleifensonde nicht vermieden werden. Auch bei Koaxialschleifen stellt sich auf dem Außenmantel eine Strombelegung ein, die ebenso vom elektrischen wie auch dem magnetischen Feld bestimmt wird. Die über dem Spalt abfallende Signalspannung resultiert aus der gesamten Strombelegung. Das Koaxialsystem gewährleistet den einfachen Abgriff der Schleifenspannung und, bei richtiger Konstruktion, die Unterdrückung unerwünschter Kabelmantelströme [15].

Bisher wurde die Wirkungsweise einfacher Schleifensonden beschrieben. Bei niedrigen Fre-quenzen geschieht dies mit Hilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes. Durch die analytische Berechnung der Strombelegung einer einfachen runden Schleifenantenne wurde der Einfluß des elektrischen Feldes auf das Meßsignal deutlich gemacht. Mit steigender Frequenz führt dieses zu einer zunehmenden Meßabweichung. Um diesen Effekt auch bei komplexeren Sondentypen als der oben beschriebenen runden Schleife zu untersuchen, wird das Verhalten der Sonden im elektromagnetischen Feld numerisch simuliert. Die verwendeten Modelle werden im folgenden Abschnitt vorgestellt.

5.2 Modellierte Sondentypen

Alle Feldsonden zur Messung magnetischer Felder bestehen im wesentlichen aus einer Schleifen-anordnung mit einer Lastimpedanz, an der das Meßsignal abgegriffen wird. In diesem Abschnitt werden, ausgehend von dem einfachsten Schleifentyp, zunächst die daraus folgenden Varian-ten geschildert. Dabei wird grundsätzlich zwischen Freiraumsonden und Schleifensonden auf einer leitenden Oberfläche unterschieden. Nach diesen Grundtypen, mit denen nur eine ein-zelne Komponente des magnetischen Feldvektors bestimmt werden kann, werden Feldsonden mit einer isotropen Charakteristik geschildert. Diese werden durch die orthogonale Anordnung dreier Schleifen realisiert.

In einem dritten Abschnitt dieses Kapitels wird auf einen speziellen Aspekt der Modellierung ko-axialer Schleifensysteme eingegangen. Dabei wird der Einkoppelmechanismus koko-axialer Schlei-fensonden dargelegt und eine für die numerische Simulation wichtige Ersatzmodellierung des koaxialen Leitungssystems begründet.

Die hier vorgestellten Sondenmodelle werden in den darauffolgenden Abschnitten verwendet, um ihr Verhalten (Meßabweichung, Rückwirkung) in unterschiedlichen Umgebungen zu unter-suchen.