Betrachtet wird die Strahlungsaufheizung eines inerten Partikels bei anfänglich Raumtemperatur in einer Normal-Atmosphäre unter Gravitationseinfluss gemäß den Labor-Experimenten zur Laseraufheizung.
Eine Größenordnungsabschätzung der minimalen in der Partikeloberfläche absorbierten Strahlungsleistung von e I0 ≥ 133W/cm² mit der von der Oberfläche durch Abstrahlung und natürlicher Konvektion abgegebenen Leistung führt, wie weiter unten gezeigt, zu einer wesentlichen Vereinfachung des Problems.
Die Abstrahlung eσ(Tp4-Tw4) der heißen Partikeloberfläche an die kalte, umgebende Wand bei Tw=300K ist bis zu einer Partikel-Oberflächentemperatur von Tp=1000K kleiner als 4.5W/cm² und somit gegenüber der absorbierten Laserstrahlung in erster Ordnung zu vernachlässigen.
Fo=0.022, t=7*10-11s Fo=0.094, t=3*10-10s Fo=0.314, t=1*10-9s Fo=0.943, t=3*10-9s
Abbildung A.1: Verlauf der normierten Temperatur θ über dem normierten Porenradius R für verschiedene Zeitpunkte t nach einer sprunghaften Änderung der Wandtemperatur einer Makropore mit Durchmesser 1µm.
Der Wärmeübergang durch freie Konvektion an der kreisförmigen Partikeloberfläche mit Durchmesser d=1mm wird abgeschätzt nach den in [V91] gegebenen Beziehungen für eine horizontale ebene Fläche. Für eine maximale Oberflächentemperatur von Tp=1000K in umgebender Luft unter Normaldruck bei T∞=300K ergibt sich bei einer Anströmlänge l=d/4 unter Berücksichtigung der Stoffwerte von Luft für eine mittlere Temperatur von 650K eine Grashof-Zahl von Gr=0.0467. Die resultierende Rayleigh-Zahl Ra=0.0308 zeigt eine laminare Strömung an, in deren Fall sich eine Nusselt-Zahl von Nu=0.3167 berechnet aus:
5 / 11 1 / 20 20 / 11
Pr 322 . 1 0 Ra 766 . 0
Nu ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
=
−
(A.6)
Der sich hieraus ergebende Wärmeübergangskoeffizient α = 64.6W/(m²K) zeigt, dass die konvektive Wärmeabgabe mit einem Maximalwert von α(Tp-T∞) = 4.52W/cm² bei einer Oberflächentemperatur von Tp=1000K gegenüber der absorbierten Laserstrahlung in erster Näherung zu vernachlässigen ist.
Bei Vereinfachung der Partikelgeometrie auf einen halbunendlich ausgedehnten Körper mit freier Oberfläche bei x=0 und temperaturunabhängigen Stoffwerten genügt die gesuchte Temperaturverteilung T(x,t) im Feststoff für t, x ≥ 0 der instationären Wärmeleitungs-gleichung in kartesischen Koordinaten
2 2
S x
' T t a T
∂
= ∂
∂
∂ (A.7)
mit
pS S S S
C '
' ' k
a =ρ Temperaturleitfähigkeit des Feststoffes
Wird ferner angenommen, dass die Laserstrahlung direkt an der Partikeloberfläche eingetragen wird und die Abstrahlung sowie die konvektive Kühlung gemäß obigen Ausführungen zu vernachlässigen sind, so lautet die Randbedingung an der freien Oberfläche für t > 0
0 x
S x
' T k
∂ =
− ∂ = e I0 (A.8)
Am Anfang ist der Partikel im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung, d.h.
T(x>0, t=0) = T0 = T∞ = 300K
Als Lösungsmethode ist z.B. die Anwendung der Laplace-Transformation
∫
∞− =
θ
= θ
0
stdt u(x,s) e
) t , x ( )}
t , x ( { L
mit θ = T – T0 Übertemperatur
auf (A.7) zweckmäßig. Unter Berücksichtigung der Beschränktheit von θ für x→∞ erhält man als allgemeine Lösung der resultierenden gewöhnlichen Differentialgleichung:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡−
= x
' a exp s c ) s , x ( u
S
(A.9) mit c: Konstante
Einsetzen von (A.9) in die Randbedingung (A.8) führt auf die spezielle Lösung. Die Laplace-Rücktransformation der so gefundenen speziellen Lösung (z.B. nach Tabelle [B98]) stellt die Lösung der gestellten Anfangs-Randwertaufgabe dar
) ( ierfc t ' ' a k
I ) 2 t , x
( S
S
0 ξ
=
θ e
(A.10) mit ierfc ξ : integriertes Fehlerintegral
t ' a 2
x
S
= ξ
B Homogen abstrahlender Standard
Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein homogen abstrahlender Standard zur Kalibrierung der Zwei-Wellenlängen-Thermographie entwickelt. Dieser besteht, wie in Abbildung B.1 zu sehen, aus zwei geschwärzten Flächen, welche bei konstanter Temperatur als sog. graue Strahler emittieren. Die gleichzeitige Bereitstellung von zwei homogen abstrahlenden Oberflächen verschiedener Temperatur ist für die kamerainterne Zwei-Punkt-Korrektur notwendig. Diese dient der Vorkonditionierung der Kamera für die Kalibrierung der Zwei-Wellenlängen-Thermographie nach Kapitel 3.1.1.3.2.
Die Temperatur des Standards wurde mit einem geeigneten Thermoelement auf der Oberfläche bestimmt. In dem für die Kalibrierung relevanten zentralen Bereich konnte die Oberflächentemperatur bis auf 1°C konstant gehalten werden. Dieses gelang durch die Ankopplung der homogen abstrahlenden Oberflächen an zwei Wärmebäder.
Jedes Wärmebad ist mit einem Wärmeträgeröl geringer Zähigkeit befüllt (Diphyl der Firma Bayer Leverkusen), welches unter Normaldruck einen Siedepunkt von 257°C aufweist und eine dynamische Viskosität von 0.3g/(ms) bei 250°C in der Flüssigkeit besitzt. Die Wärmebäder werden intern mit jeweils 1800W durch Rohrheizkörper beheizt, welche für jedes Wärmebad getrennt durch einen Temperatur-Controller mit Messfühler im Wärmeträgeröl geregelt werden. Jeweils ein externer Magnetrührer sorgt für eine homogene Durchmischung des Wärmeträgeröls. Die gasdicht verschlossenen Wärmebäder werden mit Stickstoff bedrückt. Zwei einstellbare Überdruckventile lassen einen maximalen Überdruck von 3bar zu. Hiermit sind entsprechend der Dampfdruckkurve des Wärmeträgeröls Oberflächentemperaturen von etwa 300°C erreichbar.
Abbildung B.1: Homogen abstrahlender Standard zur Kalibrierung der Zwei-Wellenlängen-Thermographie.
homogen abstrahlende Oberfläche
Magnetrührer
Stickstoff-Gas Zufuhr Überdruckventil Temperatur-Controller
C Herstellung der Presslinge
Die in dieser Arbeit als Presslinge bezeichneten Modellkohlepartikel werden durch die Komprimierung eines homogenen Gemisches aus Aktivkohlepulver und Pentacontan hergestellt. Hierzu wird das Gemisch in eine Glaskapillare mit einem Innendurchmesser von 1mm gefüllt und anschließend das Volumen der Kapillare mit dem Probenmaterial gemäß Abbildung C.1.b auf beiden Enden durch einen Stempel abgeschlossen. Der längere Stempel ist zur Probe hin verjüngt und der kürzere Stempel weist eine plane Stirnflächen auf. Die Glaskapillare wird bei der Komprimierung selbst in einem Alublock geführt. Bei der Pressung wird auf den oberen Stempel durch Befüllen eines aufliegenden Behälters ein Gesamtgewicht von 16kg aufgebracht, was einem Druck auf die Probe von 2000bar entspricht. Das Aktivkohlepulver und das Pentacontan gehen bei der Pressung eine innige Verbindung ein, so dass die Probe nach dem Entfernen aus der Kapillare, wie in Abbildung C.1.c gezeigt, die Form beibehält. Der Pressling mit einer Länge von 3.8mm ist fest mit dem längeren Stempel verbunden. Dieser dient der Positionierung der Probe bei den Experimenten zur einseitigen Laseraufheizung.
Stempel a
Abbildung C.1: (a) Presse zur Herstellung der Modellkohlepartikel aus Aktivkohlepulver und Pentacontan, (b) Probe in Glaskapillare und (c) fertiger Pressling auf Stempel.
b
c
Probe
Glaskapillare
D Zur Numerik
Die durchgeführten Simulationen zur Partikelzündung basieren auf dem kommerziellen Strömungsprogramm FLUENT, Version 5.5. Der verwendete, implizite Algorithmus zur Berechnung des transienten Problems löst die Erhaltungsgleichungen der Gesamtmasse, der Speziemassen, des Impulses und der Energie simultan mit Hilfe der sog. in [F00]
beschriebenen gekoppelten Lösungsmethode.
In FLUENT 5.5 ist es möglich, über eine Schnittstelle Unterprogramme, sog. UDFs (User Defined Function), in den Lösungsalgorithmus einzubinden. Zur numerischen Realisierung des in Kapitel 2.2 beschriebenen, mathematischen Modells der Partikelzündung wurden die von der Standardform der entsprechenden Erhaltungsgleichungen abweichenden Terme für den intrapartikulären Wärme- und Stofftransport jeweils in Quelltermen zusammengefasst und über UDFs in den Lösungsalgorithmus eingebunden. Der Rohkohleabbau gemäß Gleichung (2.3) ist separat bilanziert. Die effektiven Stoffeigenschaften im Partikel wie Diffusivität und Wärmeleitfähigkeit werden abhängig von der aktuellen Porosität ebenfalls in UDFs berechnet und an das Hauptprogramm zurückgegeben.
Eine adaptive Zeitschrittanpassung konnte mit sog. Scheme-Anweisungen realisiert werden, welche den Zeitschritt abhängig von den Lösungseigenschaften des Systems insbesondere am Beginn der Partikelaufheizung und beim merklichen Einsetzen der Reaktionen zurücknimmt.
Die Abbruchbedingung jedes Zeitschrittes basiert auf der Abnahme der normierten Residuen [F00, F96]. Stabilität und Konvergenz der Lösung sind durch das Erreichen eines Plateaus für die über das Rechengebiet gemittelten Lösungsvariablen innerhalb jedes Zeitschrittes überprüft worden.
Die erstellten, numerischen Gitter weisen innerhalb des Partikels mindestens 10 Unterteilungen in jeweils axialer und radialer Richtung auf und außerhalb des Partikels mehr als 20 entlang jeder Koordinate. Das Gitter ist am Ort einer möglichen Zündung beidseitig am Partikelrand verfeinert. Eine weitere Unterteilung des Gitters ergab nur eine zu vernachlässigende Änderung der Lösung.
Die Rechenzeiten zur Simulation des Zündprozesses betrugen auf einer Hewlett-Packard V-Class bzw. N-V-Class zwischen einem und vier Tagen. Aufgrund der vergleichsweise geringen Anzahl von Rechenvolumina bei gleichzeitig großen Übergabebereichen zwischen möglichen Teilrechengebieten ergab die Parallelisierung des Problems keinen Zeitvorteil.
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