Aufgabe 29

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Till Knoke

Ubungen zur Vorlesung ¨ Variationsrechnung I Serie 8 vom 1.12.2011 Abgabedatum: 12.12.2011

Aufgabe 29

[Absolutstetige Funktionen]

SeiI= (a,b)⊂R,−∞<a<b<∞. Zeigen Sie: Gilt f¨uru,v∈L¹(I)die Identit¨at u(x)−u(y) =

Z x y

v(t)dt f¨urL¹-fast allex,y∈I,¯

dann istu∈W^1,1(I)mit schwacher Ableitungu⁰=v.Hinweis: W¨ahlen Sie ein Teilintervall (a₁,b₁), außerhalb dessen eine gegebene Testfunktionφ∈C₀^∞(I)verschwindet, und so dass f¨ur a₁,b₁die vorausgesetzte Identit¨at gilt.

Aufgabe 30

[Unterhalbstetigkeit imRⁿ]

Zeigen Sie: Eine auf demRⁿunterhalbstetige Funktionf nimmt auf jeder nichtleeren kom- pakten MengeK⊂Rⁿihr Infimum an, d.h. es gibt einx∈K, so dass

f(x) =inf

K f(.).

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Aufgabe 31

[Charakterisierung der Unterhalbstetigkeit]

SeiXein topologischer Raum, so dass jeder Punktx∈Xeine abz¨ahlbare Umgebungsbasis besitzt. Dann gilt: f :X→Rist folgenunterhalbstetig (bzw. folgenoberhalbstetig) genau dann, wenn f⁻¹[(a,∞)](bzw. f⁻¹[(−∞,a)]) offen ist f¨ur allea∈R.

Aufgabe 32

[Unterhalbstetigkeit des L¨angenfunktionals]

Zeigen Sie, dass das L¨angenfunktional L(u):=^R₀¹p

1+ (u⁰(x))²dxunterhalbstetig ist bez¨uglich der schwachen Konvergenz inW^1,q(I),q∈(1,∞), nicht aber stetig bez¨uglich dieser Konvergenz.

Hinweis: F¨ur ein Gegenbeispiel gegen die schwache Stetigkeit approximieren Sie eine kon- stante Funktion geeignet durch Zackenfunktionen.

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