Dirichlet-Reihen II

Dirichlet-Reihen II

Vortrag zum Seminar zur Funktionentheorie, 17.12.2007 Holger Wintermayr

In diesem Vortrag werden wir Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen erar- beiten und einen Vergleich zu Potenzreihen ziehen. Ein weiteres Ziel dieses Vortra- ges ist es, Dirichlet-Reihen unter gewissen Voraussetzungen als Produkte darzustel- len.

§ 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Konvergenz von Dirichlet-Reihen und vergleichen diese mit der Konvergenz von Potenzreihen.

(1.1) Satz

Sei ∑^∞n=1ann^−s eine Dirichletsche Reihe mit Konvergenzabszisse σ0 und sei σ1 die Konvergenzabszisse von∑^∞n=1|an|n^−s. Dann gilt

σ0 ≤σ1≤σ0+1.

Beweis

Sei σ ∈ _R mit σ > σ1. Dann ist ∑^∞n=1ann^−σ absolut konvergent und es folgt, dass

∑^∞n=1ann^−σ konvergiert. Daher erhält man aus der absoluten Konvergenz der Reihe die Konvergenz und es giltσ0 ≤_σ1.

Sei nun s = σ+it ∈ _C mit σ,t ∈ _Rund σ > σ0+1. Wegen σ−1 > σ0 konvergiert die Reihe ∑^∞n=1ann^−(σ−1), also ist (ann^−σ+1)_n∈N eine Nullfolge, das heißt für alle ε > 0 existiert ein n₀ = n₀(_ε) ∈ _Nmit ann^−σ+1

< _{ε für alle} n ≥ n₀. Insbesondere existiert also ein C > 0 mit

ann^−σ+1

<C für allen ∈_N (zum BeispielC :=max{|a₁|,|a₂2^−σ+1|, ...,|an₀n₀^−σ+1|}+1).

Dirichlet-Reihen II § 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen Weil die Riemannsche Zetafunktion ζ(z) für alle z = σ+it ∈ _C mit Re(z) > 1 konvergiert, gelten für alle N ∈ _Nfolgende Abschätzungen

∑

ann^−(σ+ε) =

∑

ann^{−(σ−1+1+ε)} =

∑

ann^−σ+1n^−(1+ε)

=

∑

ann^−σ+1

n^−(1+ε) ≤

∑

Cn^−(1+ε) =C

∑

n^−(1+ε)

≤C

∑

n^−(1+ε) =C·_ζ(1+_ε)<_∞.

Damit konvergiert die Reihe∑^∞n=1ann^−(σ+ε) absolut für alle σ >σ0+1 und für alle ε>0. Daσ1=inf{_σ∈ _R; ∑^∞n=1ann^−σ konvergiert absolut} ist, folgtσ1 ≤_σ0+1 und

somit die Behauptung.

Dieser Satz ist nur für gewöhnliche Dirichlet-Reihen gültig. Man betrachte dazu folgendes

(1.2) Beispiel Die Reihe

∑

(−1)ⁿ

√n (lnn)^−s

konvergiert für alles ∈C, aber konvergiert für kein s∈ _Cabsolut.

Beweis

Zur absoluten Konvergenz: Für die absolute Konvergenzabszisseσ1der Reihe

∑

(−1)ⁿ

√n (lnn)^−s gilt mitλn =_ln(_lnn)_und an = ^√1

n nach [Z] §1 Satz 2

σ1 =lim sup

N→∞

ln

∑N n=2

√1 n

ln(lnN) ^.

Dax ≥[x] für alle x∈ _Rmitx ≥2 gilt, erhält man die folgende Abschätzung

∑

√1 n

=

N+1

Z

2

1 p[x]^dx

≥

N+1

Z

2

√1 xdx

=₂√

xN+1

2 =₂√

N+₁−₂√ 2.

Dirichlet-Reihen II § 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen Man definiere nun die Funktionen

f : (_2,∞) →_R,x 7→_ln(₂√

x+₁−₂√

2) _und g: (2,∞)→_R,x7→ ln(ln(x)).

Die Funktionen f und gsind auf dem Intervall (2,∞) differenzierbar, mit der Ablei- tung g⁰(x) = 1/(lnx·x) 6=0 für alle x ∈(2,∞), und es gilt

xlim→_∞ f(x) = lim

x→_∞g(x) = ∞

Daher ist der Satz von L’Hospital anwendbar und man erhält für den Grenzwert

xlim→_∞

f(x)

g(x) = lim

x→_∞

f⁰(x)

g⁰(x) = lim

x→_∞

1 2√

x+1−2√ 2 · ^√1

x+1 1

lnx · ¹_x = lim

x→_∞

lnx·x 2(x+1)−2√

2√ x+1

= lim

x→∞

lnx·x (x+1)·(2−2√

2^√_x¹₊₁) = lim

x→∞

lnx (1+¹_x)·(2−2√

2^√_x¹₊₁) =_∞.

Daraus folgt

σ₁=lim sup

N→_∞

ln

∑N n=2

√1 n

ln(lnN) ≥lim sup

N→_∞

ln(2√

N+1−2√ 2) ln(lnN) =_∞.

Deshalb konvergiert die Reihe für keins ∈_C absolut.

Zur bedingten Konvergenz: Seiα <0. Definiere die Funktion h: (0,∞) →_R,x 7→ (lnx)^−α

√x . Für jedesx ≥e^−2α gilt dann

h⁰(x) =−(lnx)^−αα x³² lnx −¹

2· (lnx)^−α

x³² ≥ −(lnx)^−αα x³²(−2α) −¹

2· (lnx)^−α x³²

= ¹

2· (_lnx)^−α x³² −¹

2 ·(_lnx)^−α x³² =0,

Dirichlet-Reihen II § 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen also ist hauf[e^−2α,∞)monoton fallend. Daher konvergiert

∑

(−1)ⁿ

√n (_lnn)^−α =

[e^−2α] n

∑

(−1)ⁿ

√n (_lnn)^−α+

∑

(−₁)ⁿh(n)_,

da der erste Summand eine endliche Summe und der zweite Summand wegen h(n) → 0 für n → _∞ (Potenzreihen wachsen schneller als Potenzen von Logarith- men) und der gerade bewiesenen Monotonie eine Leibnizreihe ist. Mit [Z] §1 Satz 1 folgt, dass die Reihe ∑^∞n=2(−1)ⁿn^−1/2(lnn)^−s für alle s ∈ _C mit Re(s) > α konver- giert, und da α < 0 beliebig gewählt war, erhält man die Konvergenz dieser Reihe auf ganzC.

Es gibt zwei große Unterschiede zwischen der Theorie der Dirichlet-Reihen und der der Potenzreihen.

(1.3) Bemerkung

a) Der erste Unterschied zwischen Dirichlet-Reihen und Potenzreihen zeigt sich in Satz (1.1). Falls eine Dirichlet-Reihe absolut konvergiert, muss die Konver- genzabszisse σ0 nicht mit der absoluten Konvergenzabszisse σ1 übereinstimmen.

Dagegen stimmt der Konvergenzradius R einer Potenzreihe mit dem absoluten Konvergenzradius der Reihe überein. Dies folgt aufgund des Satzes von Cauchy- Hadamard über den Konvergenzradius R einer Potenzreihe, der besagt, dass

R= ¹

lim sup

n→_∞

pn

|an|^, gilt.

b) Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen Dirichlet-Reihen und Potenzreihen liegt darin, dass sich der Konvergenzradius einer Potenzreihe auch durch das Verhalten der analytischen Funktion der Reihe bestimmen lässt. So kann der Kon- vergenzradius einer Potenzreihe als maximaler Abstand vom Entwicklungspunkt zum nächstgelegenen Punkt, in dem die Reihe nicht mehr fortsetzbar ist, festge- legt werden.

Für Dirichlet-Reihen stimmt das nicht. Die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) kon- vergiert für alle s∈ _Cmit Re(s) >1.

Dirichlet-Reihen II § 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen

Für die analytische Funktion der Reihe ∑^∞n=1(−1)ⁿ⁻¹n^−s gilt ψ(s) =

∑

(−1)ⁿ⁻¹n^−s =

∑

n^−s−2(2n)^−s

=

∑

n^−s−2

∑

(2n)^−s = (1−2^1−s)

∑

n^−s.

Wegen

∑

(−1)ⁿ⁻¹ =

(0, falls N gerade 1, falls N ungerade

divergiert ∑n^N=1(−1)ⁿ⁻¹ und man erhält für die Konvergenzabszisse σ0 nach [Z]

§1 Satz 2

σ0 =lim sup

n→_∞

ln

∑N n=1

(−1)ⁿ⁻¹

lnn =lim sup

n→_∞

ln 1 lnn =0.

Daher konvergiert die Reihe ∑^∞n=1(−₁)ⁿ⁻¹n^−s für alles ∈ _{Cmit Re}(s)>_{0. Nach} [Z] §4 (später) lässt sichζ(s)aufC\ {1} holomorph fortsetzen. AufK_1/2(1)kon- vergiert (1−2^1−s)·_ζ(s) nach [Z] §1 Satz 1 gleichmäßig. Daher darf man die Summe mit dem Grenzwert vertauschen und es folgt

lims→1ψ(s) =lim

s→1(1−2^1−s)·ζ(s) = lim

s→1(1−2^1−s)·

∑

n^−s

=lim

s→1

∑

(1−2^1−s)n^−s =

∑

lims→1(1−2^1−s)n^−s =0.

Somit lässt sich ψ(s) = _∑^∞_n=1(−1)ⁿ⁻¹n^−s = (1−2^1−s)·ζ(s) auf C holomorph fortsetzen.

(1.4) Satz

Sei ∑^∞n=1ann^−s eine gewöhnliche Dirichlet-Reihe mit Konvergenzabszisse σ0 und nichtnegativen reellen Koeffizienten. Dann hat die durch

D(s) =

∑

ann^−s für alle s∈ _Cmit Re(s) >σ0

definierte Funktion keine hebbare Singularität an der Stelle s = σ0, das heißt, es existiert kein Kreis umσ0, in dem man D(s)holomorph fortsetzen kann.

Dirichlet-Reihen II § 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen Beweis

Sei ohne Einschränkungσ0 = 0. Andernfalls ersetze an durch ann^−s0 sowie s durch s−s₀ mits₀=_σ0+it₀∈ C, wodurch man

ann^−s = ann^−s0+s0−s =ann^−s0n^s0−s =ann^−s0n^−(s−s0) erhält.

Angenommen D sei in s = 0 holomorph fortsetzbar. Dann existiert ein δ > 0, so dassDinK_δ(0)holomorph ist. Daσ₀ =0 ist, ist Dinsbesondere ins=1 holomorph und besitzt (weilD aufKδ(0) holomorph ist) eine Taylor-Entwicklung ums=1 mit einem KonvergenzradiusR>1. Fürε:=

√ 1+δ²−1

2 erhält man K₁+_2ε(1)⊂(K_δ(0)∪ {z ∈ _{C; Re}(z) >0}), denn die „kritischen Punkte“±iδ haben von 1 den Abstand

|iδ−1|=^p1+δ² =1+2ε.

Damit istDholomorph aufK₁+2ε(1)und ins=−_εin eine Potenzreihe entwickelbar.

Nun folgt mit den Ableitungen vonD aus [Z] §1 Satz 1 D(−ε) =

∑

1

k!D^(k)(1)(−ε−1)^k =

∑

1 k!(−1)^k

∑

(lnn)^kann⁻¹(−ε−1)^k

=

∑

∑

(lnn)^kann⁻¹(−1)^k

k! (−ε−1)^k =

∑

∑

(lnn)^kan n

(ε+1)^k k! . Da alle Terme positiv und reell vorliegen, dürfen die Summanden vertauscht wer- den. Dadurch ergibt sich

∑

∑

(_lnn)^kan n

(_ε+1)^k k! =

∑

∑

(_lnn)^kan n

(_ε+1)^k k! =

∑

an

n

∑

(_lnn)^k(_ε+1)^k k!

=

∑

an

n

∑

(lnn·(_ε+1))^k

k! =

∑

an

n e^{(lnn·(ε+1))}

=

∑

an

n

e^lnn(_ε+1)

=

∑

an

n n^(ε+1)

=

∑

ann^ε =

∑

ann^−(−ε) <_∞.

Aus der Konvergenz der ReiheD(−ε) =_∑^∞_n=1ann^−(−ε) folgt dann der Widerspruch

zuσ0=0.

Dirichlet-Reihen II § 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen Wir beenden den Paragraphen mit einem Satz über die Eindeutigkeit der Koeffizi- enten einer Dirichlet-Reihe.

(1.5) Satz

Sei G ⊂ _C ein Gebiet sowie ∑^∞n=1ane^−λns und ∑^∞n=1bne^−λns zwei Dirichlet-Reihen, die auf G konvergieren und dort die gleiche Funktion D_a : s 7→ _∑^∞_n=1ane^−λns und D_b : s 7→_∑^∞_n=1bne^−λns definieren. Dann gilt

an =bn für allen∈ N.

Beweis

Seies =_eσ+iet ∈ Gmiteσ,et∈ _{R. Sei}W :={s∈ _C;|arg(s−_eσ)| ≤π/4}der Winkelbe- reich mit Spitzeeσ. Nach [Z] §1 Satz 1 konvergieren damitDaund D_bgleichmäßig in W und sind darin auch holomorph. DaG als Gebiet offen ist, existiert einδ >0 mit K_δ(_es) ⊂ G. Weil K_δ(_es)∩W nicht leer und nicht diskret ist, folgt mit dem Identitäts- satzDa(s) = D_b(s)für alles∈ W. Angenommen, die komplexen Folgen(an)_n≥1und (bn)_n≥1 sind nicht identisch. Wähle m ∈ _N minimal mit der Eigenschaft am 6= bm. Für alleσ >_{eσfolgt dann}

0=e^λmσ

∑

ane^−λnσ−

∑

bne^−λnσ

!

=e^λmσ ame^−λmσ+

∑

ane^−λnσ−bme^−λmσ−

∑

bne^−λnσ

! ,

daan =bn nach Wahl vonmfür alle 1≤n <mgilt. Weil beide Reihen konvergieren, darf man sie zusammenfassen:

0=e^λmσ ame^−λmσ+

∑

ane^−λnσ−bme^−λmσ−

∑

bne^−λnσ

!

=am−bm+e^λmσ

∑

ane^−λnσ−e^λmσ

∑

bne^−λnσ

=am−bm+

∑

ane^{−(λn−λm)σ}−

∑

bne^{−(λn−λm)σ}

=am−bm+

∑

ane^{−(λn−λm)σ}−bne^{−(λn−λm)σ}

=am−bm+

∑

(an−bn)e^{−(λn−λm)σ}.

Dirichlet-Reihen II § 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen Wie schon erwähnt, konvergierenDaund D_bgleichmäßig inW. Somit darf man den Limes mit der Reihe vertauschen und man erhält

0= lim

σ→∞ am−bm+

∑

(an −bn)e^{−(λn−λm)σ}

!

= am−bm+ lim

σ→_∞ lim

N→_∞

∑

(an−bn)e^{−(λn−λm)σ}

!

= am−bm+ lim

N→∞

∑

σlim→_∞

(an−bn)e^{−(λn−λm)σ}

= am−bm+

∑

lim

σ→∞

(an−bn)e^{−(λn−λm)σ} .

Da es sich um Dirichlet-Reihen handelt, ist(λn)_n∈_N eine streng monoton steigende reelle Folge, und es gilt−(λn−λm) <0 für alle n>m. Das bedeutet, dass der Sum- mand für σ → ∞ verschwindet, wenn man die Stetigkeit der Exponentialfunktion beachtet. Daher folgt

0=am −bm +

∑

σlim→_∞

(an−bn)e^{−(λn−λm)σ}

=am −bm +

∑

(an−bn) _lim

σ→∞e^{−(λn−λm)σ}

=am −bm +

∑

(an−bn)·0=am−bm,

und es ergibt sich am = bm als Widerspruch zur Wahl von m. Somit gilt an = bn für

allen∈ _N.

Dirichlet-Reihen II § 2 Formale Eigenschaften von Dirichlet-Reihen

§ 2 Formale Eigenschaften von Dirichlet-Reihen

Nachdem wir die Konvergenz von Dirichlet-Reihen besprochen haben, wollen wir erläutern, wie man mit solchen Reihen umgeht. In diesem Abschnitt lernen wir die Multiplikation zweier Dirichlet-Reihen kennen. Des Weiteren führen wir multiplika- tive Folgen ein, da sich ihre Dirichlet-Reihen besonders schön als Produkt darstellen lassen.

Die Summe von zwei Dirichlet-Reihen ist die Reihe, deren Koeffizienten die Summe der beiden entsprechenden Koeffizienten der einzelnen Reihen ist. Für das Produkt zweier Dirichlet-Reihen gilt das

(2.1) Lemma

SeienF(s) = _∑^∞_n=1ann^−s und G(s) =_∑^∞_m=1bmm^−s zwei in einer offenen Umgebung U durch absolut konvergente gewöhnliche Dirichlet-Reihen gegebene Funktionen.

Dann gilt

F(s)·G(s) =

∑

ann^−s

!

·

∑

bmm^−s

!

=

∑

anbm(nm)^−s =

∑

c_kk^−s

für alles ∈U, wobei

c_k :=

∑

n,m≥1 nm=k

anbm =

∑

n∈_N,n|k

anb_k/n

die Faltung der Koeffizientenfolgen (an)_n∈N und (bm)_n∈N genannt wird. Das Pro-

dukt konvergiert dabei absolut aufU.

Beweis

Wegen der absoluten Konvergenz beider Dirichlet-Reihen, konvergiert das Produkt auch absolut und man darf die Summanden beliebig umordenen. Daher gilt

Dirichlet-Reihen II § 2 Formale Eigenschaften von Dirichlet-Reihen

F(s)·G(s) =

∑

ann^−s

!

·

∑

bmm^−s

!

=

∑

∑

ann^−sbmm^−s

=

∑

anbm(nm)^−s.

Mit der Indexsubstitutionm =k/nfür allen und mmitnm =k erhält man

∑

anbm(nm)^−s =

∑





∑

n∈_N,n|k

anb_k/n



k^−s

=

∑

c_kk^−s.

(2.2) Bemerkung

Die additive Faltung, die die Multiplikation von Potenzreihen beschreibt, nämlich

∑

ak

!

·

∑

bk

!

=

∑

∑

ajbk−j,

wird somit in der Theorie der Dirichlet-Reihen durch die multiplikative Faltung ersetzt. Diese Tatsache ist verantwortlich für die große Bedeutung der Dirichlet- Reihen in der Zahlentheorie.

Für den Fall, dass nicht beide Reihen absolut konvergieren, kann man zum Beispiel zeigen, dass das Produkt mindestens dann konvergiert, wenn beide Reihen konver-

gieren und eine davon absolut konvergent ist.

(2.3) Definition

Seienn,l,k ∈N. Definiere

d(n) :=|{l ∈ _N;l teiltn}|=

∑

l∈N,l|n

1 als die Anzahl der positiven Teiler vonn, weiter

Dirichlet-Reihen II § 2 Formale Eigenschaften von Dirichlet-Reihen

τ(n):=

∑

l∈_N,l|n

l

als die Summe der positiven Teiler vonnund allgemeiner σk(n) :=

∑

l∈_N,l|n

l^k

als die Summe der k-ten Potenzen der positiven Teiler von n für k ∈ _N0. Damit erhält manσ1(n) = _τ(n) sowieσ0(n) =d(n).

(2.4) Beispiel

a) Für alles∈ _Cmit Re(s) >1 gilt

∑

d(n)

n^s =ζ(s)², denn mit der multiplikativen Faltung folgt

ζ(s)²=

∑

n^−s

!

·

∑

m^−s

!

=

∑

∑

(nm)^−s

=

∑





∑

n∈_N,n|k

1



k^−s =

∑

d(k) k^s .

b) Sei k ∈ _N0. Für alle s ∈ _C mit Re(s) > k+1 konvergieren ζ(s) und ζ(s−k) absolut. Man darf wieder die multiplikative Faltung anwenden und erhält

ζ(s)·_ζ(s−k) =

∑

n^−s

!

·

∑

m^−(s−k)

!

=

∑

n^−s

!

·

∑

m^k·m^−s

!

=

∑





∑

m∈_N,m|l

m^k



l^−s =

∑

σk(l) l^s . Damit gilt

∑

σ_k(n)

n^s =ζ(s)·ζ(s−k) für alle k∈ _N0.

Dirichlet-Reihen II § 2 Formale Eigenschaften von Dirichlet-Reihen (2.5) Beispiel

Es gilt

n

∑

d(n) = O(_N^1+ε) für alle ε>0, das heißt es existiert einC >_{0, so dass}

n

∑

d(n) ≤C·N^1+ε für alle N ∈ _N

gilt.

Beweis

Da die Reihe∑^∞n=1d(n) divergiert, gilt für die Konvergenzabszisse σ0 der Dirichlet- Reihe∑^∞n=1

d(n)

n^s nach [Z] §1 Satz 2 σ0=lim sup

N→_∞

ln|_∑^N_n=1d(n)|

lnN =inf{α >0;

∑

d(n) = O(N^α)}.

Zeige zunächst, dass σ0 = 1 gilt. Für σ = 1+ε mit ε > 0 beliebig folgt mit der Gleichung aus Beispiel (2.4)

∑

d(n)

n^1+ε =ζ(1+ε)²<_∞,

da die Konvergenzabszisse von ζ gleich 1 ist. Aus der Definition der Konvergenz- abszisse σ0 =inf{σ ∈ _R; ∑^∞n=1d(n)n^−σ konvergiert} folgtσ0 ≤1. Angenommen es giltσ0 <1. Dann konvergiert die Reihe ∑^∞n=₁d(n)/nund man erhält

∑

1 n ≤

∑

d(n) n <_∞

als Widerspruch dazu, dassζ ins=1 keine hebbare Singularität besitzt. Damit folgt die Behauptungσ0=1. Man erhält somit

1=_σ0 =inf{_α >0;

∑

d(n) = O(N^α)}. Aus der Definition des Infimums folgt nun insbesondere

n

∑

d(n) = O(N^1+ε).

Dirichlet-Reihen II § 2 Formale Eigenschaften von Dirichlet-Reihen (2.6) Definition

Eine komplexe Folge f :N→C, die nicht identisch verschwindet, heißtmultiplikativ, wenn

f(m·n) = f(n)· f(m) für allen,m ∈_Nmit ggT(m,n) = 1 gilt. Erfüllt die komplexe Folge

f(m·n) = f(n)· f(m) für allen,m∈ _N,

so heißt siestreng multiplikativ.

(2.7) Bemerkung

a) Weil für eine multiplikative Folge stets f(₁) = _f(₁·₁) = _f(₁)· _f(₁) = _f(₁)² _gilt, folgt f(1) = 1, denn wäre f(1) = 0 so würde

f(n) = f(n·1) = f(n)· f(1) = f(n)·0 =0

für alle n∈ _Ngelten und f damit identisch verschwinden. Dies wäre ein Wider- spruch zur Voraussetzung.

b) Man kann jedesn∈ _Nstets als endliches Produkt von Primzahlen schreiben. Sei also

n =

∏

p^r_j^j mit p_j ∈_P undr_j ∈ _Nfür alle 1≤ j≤k,

wobei P die Menge der Primzahlen sei. Ist f multiplikativ, so gilt damit insbe- sondere

f(n) = f

∏

p^r_j^j

!

=

∏

f(p^r_j^j).

(2.8) Beispiel

Die Folge σ_k ist multiplikativ für alle k∈ _N0. Seien n=

∏

p^r_j^j und m=

∏

q^s_iⁱ

mit p_j,q_i ∈_P,r_j,s_i ∈ _Nsowie p_j 6=q_i für alle 1 ≤j ≤ J und für alle 1≤i≤ I. Dann ist ggT(n,m) =1. Es gilt

d|nm ⇔d=

∏

p^r_j^ej

!

·

∏

q^s_i^ei

!

Dirichlet-Reihen II § 2 Formale Eigenschaften von Dirichlet-Reihen mit 0 ≤ r_ej, sei ∈ _N0 und 0 ≤ r_ej ≤ rj, 0 ≤ s_ei ≤ si für alle 1 ≤ j ≤ J und für alle 1 ≤ i ≤ I. Weil σk(nm) eine endliche Summe ist, darf man sie beliebig umordnen, und es folgt

σk(nm) =

∑

d|nm

d^k =

∑

0≤r_ej≤r_j, 0≤j≤J 0≤s_ei≤s_i, 0≤i≤I

_J

∏

p^r_j^ej

!

·

∏

q^s_i^ei

!!k

=

∑

0≤r_ej≤rj, 0≤j≤J

∑

0≤_esi≤si, 0≤i≤I

∏

p^re_j^jk

!

·

∏

q^s_i^eik

!!

=

∑

0≤r_ej≤r_j, 0≤j≤J

_J

∏

p^re_j^jk

!

0≤_es_i≤

∑

∏

q^es_i^ik

!!

=

∑

0≤_es_i≤s_i, 0≤i≤I

∏

q_i^esik

!!



∑

0≤r_ej≤r_j, 0≤j≤J

∏

p^re_j^jk

!



=





∑

0≤s_ei≤s_i, 0≤i≤I

∏

q^s_i^ei

!k







∑

0≤r_ej≤r_j, 0≤j≤J

∏

p^r_j^ej

!k



=σ_k(m)σ_k(n) =σ_k(n)σ_k(m). Damit istσ_k multiplikativ für alle k ∈ _N0. Mitk =0 undk =1 folgt also auch, dass dund τ multiplikativ sind.

Für den nächsten Satz definieren wir zunächst die Konvergenz von Produkten.

(2.9) Definition

Sei(a_k)_k≥1 eine Folge komplexer Zahlen.

a) Man sagt, dass das Produkt∏^∞k=1a_k konvergiert, wenn es ein m∈ _Ngibt, so dass (i) a_k 6=0 für alle k≥mgilt und

(ii) die Folge (_∏ⁿ_k=ma_k)_n≥m gegen einen von 0 verschiedenen Wert inCkonver- giert, den wir mit∏^∞k=ma_k bezeichnen.

Wir setzen dann

∏

a_k =

m−1 k

∏

a_k

!

·

∏

a_k

!

∈_C.

Dirichlet-Reihen II § 2 Formale Eigenschaften von Dirichlet-Reihen b) Man sagt, dass das Produkt ∏^∞k=1(1+a_k) absolut konvergiert, wenn das Produkt

∏^∞k=1(1+|a_k|)konvergiert.

Einen Satz benötigen wir noch , um Dirichlet-Reihen multiplikativer Folgen als Pro- dukt darstellen zu können.

(2.10) Satz

Sei(a_k)_k≥1 eine Folge komplexer Zahlen und 1+a_k 6= 0 für alle k ≥ N. Dann sind äquivalent:

(i) ∏^∞

k=1

(1+a_k) konvergiert absolut.

(ii) ∑^∞

k=1

a_k konvergiert absolut.

In diesem Fall ist∏^∞k=1(1+ak)auch konvergent und jede Umordnung des Produktes

konvergiert gegen denselben Wert.

Beweis

A. Krieg, Skript Höhere Funktionentheorie I 2007, Kapitel XXVI Satz (3.6).

(2.11) Satz

Sei f : N → _C eine Folge, so dass die absolute Konvergenzabszisse σ1 von F(s) =

∑^∞n=1 f(n)n^−s endlich ist. Die komplexe Folge f ist genau dann multiplikativ, wenn F(s) = _∑^∞_n=1 f(n)n^−s die für Re(s) = σ > σ₁ absolut konvergente Produktdarstel- lung

F(s) =

∑

f(n)n^−s =

∏

p∈_P

∑

f(p^l)· p^−ls

!

besitzt. Ein derartiges Produkt nennt man Euler-Produkt der Dirichlet-Reihe.

Beweis

„⇒“ Es gilt

p

∑

∑

f(p^l)·p^−ls−1

=

∑

p∈_P

∑

f(p^l)·p^−ls

≤

∑

p∈_P

∑

f(p^l)

·p^−lσ

=

∑

p∈_P

∑

f(p^l)·(p^l)^−σ ≤

∑

|f(n)| ·n^−σ <_∞.

Dirichlet-Reihen II § 2 Formale Eigenschaften von Dirichlet-Reihen Insbesondere ist(_∑^∞_l=0 f(p^l)·p^−ls−1)_p∈_P eine Nullfolge und(_∑^∞_l=0 f(p^l)·p^−ls)_p∈_P

konvergiert demnach gegen 1. Daher ist die Summe∑^∞l=0 f(p^l)·p^−ls ab einer gewis- sen Primzahl stets ungleich Null. Folglich konvergiert das Produkt

p

∏

∑

f(p^l)·p^−ls

!

nach Satz (2.10) absolut.

Sei f multiplikativ. Definiere PN :=

∏

p≤N p∈_P

∑

f(p^l)·p^−ls

!

mit N ∈_N.

Weiter sei {p₁, ...,pr} = {p ∈ _P; p ≤ N}. Da man ein endliches Produkt absolut konvergenter Reihen beliebig umordnen darf, erhält man

P_N =

∏

p≤N

∑

f(p^l)·p^−ls

!

=

∑

f(p₁^l)·p⁻₁^ls

!

·_{. . .}·

∑

f(p^l_r)·p⁻_r ^ls

!

=

∑

l1,...,lr≥0

f(p^l₁¹)·. . .· f(p^l_r^r)·p⁻₁^l1s·. . .· p⁻_r ^lrs

=

∑

l₁,...,lr≥0

f(p^l₁¹·. . .· p^l_r^r)·p₁^l1 ·. . .·p^l_r^r−s

=

∑

n∈A

f(n)·n^−s,

wobei A := {n ∈ _N; n = _∏^k_j=1p^ν_j^j, p_j ∈ _{P, νj} ∈ _N0 mit p_j ≤ N für alle j =1, . . . ,k} ist. Das heißt A besteht aus allen n ∈ N, deren Primteiler höchstens gleich N sind.

Mit der MengeB:=_N\ A⊂ {N+1,N+2, . . .} gilt dann

∑

f(n)·n^−s−PN

=

∑

n∈B

f(n)·n^−s

≤

∑

n∈B

|f(n)| ·n^−σ≤

∑

|f(n)| ·n^−σ. Die Reihe∑^∞n=N+₁|f(n)| ·n^−σ konvergiert für N→ _∞gegen 0. Damit folgt

∑

f(n)n^−s = lim

N→_∞P_N =

∏

p∈P

∑

f(p^l)·p^−ls

! .