Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 11
L¨ osungen zur Serie 8
1. Der Definitionsbereich besteht aus die untere Teil der Kreisscheibe um (0,0) mit Radius 5.
Da die Funktion zu beiden Hauptachsen Spiegelsymmetrisch ist, f(x, y) =f(−x, y) =f(x,−y) = f(−x,−xy), sollten die Extremalstelle sich an die gleiche Symmetrie anpassen.
Die Extremalstellen innerhalb von D erf¨ullen
∇f(x, y) =
(−4x 2y
)
= 0! ⇔ (x, y) = (0,0)
Um die Extremalstelle auf dem Rand∂D zu bestimmen, m¨ussen wir die beiden Strecken, aus denen ∂D zusammengesetzt ist, parametrisieren.
P1P2 :=
{
(x, y)∈∂D⊂R2x∈[−3,3], y = 4 }
Hier kann man g(x) :=f(x,4) = −2x2+ 15 definieren.
Dann ist
g′(x) =−4x= 0! ⇒ x= 0
und da g′′(x) = −4 < 0 f¨ur alle x ∈ P1P2 gilt, ist (x, y) = (0,4) ein lokales Maximum. Insbesondere ist g(0) =f(0,4) = 15.
⌢
P1P2: = {
(x, y)∈∂D⊂R2x2+y2 = 25, y ≤4 }
=
= {
x= 5 cost , y = 5 sintt∈[0,2π]\[t0,π−t0]
} , wobei t0 = arctan(4/3) = 0.9327 ist.
AufP⌢1P2 definieren wirh(t) =f(5 cost,5 sint) = 25 sin2t−50 cos2t−1. Dann ist
h′(t) = 50 sintcost−100 cost(−sint) = 150 sintcost= 0! ⇒ t= 0,π
2, π , 3π 2 Wir betrachten dann die 2. Ableitung
h′′(t) := 150 (sint(−sint) + costcost) = 150 (cos2t−sin2t)
Es gilt1 h′′(0) =h′′(π) = 150 >0 und h′′(32π) = −150< 0: die Funktion besitzt zwei (lokale) Minima bei (±5,0) und ein Maximum bei (0,−5).
Nach Einsetzen der gefundenen Extremalstellen und Vergleichen der Werte (f(±3,4) =
−3,f(0,0) = −1), k¨onnen wir schliessen, dass die gegebene Funktion
• ein globales Maximum bei (0,−5) mit f(0,−5) = 24 und
• zwei globale Minima bei (±5,0) mitf(±5,0) = −51 besitzt.
2. • Der Gradient von S ist
∇S(m, q) = (∂S
∂m(m, q)
∂S
∂q(m, q) )
=
(2∑n
j=1xj(mxj+q−yj) 2∑n
j=1(mxj+q−yj) )
= 2
(mSxx+qSx−Sxy mSx+nq−Sy
)
= 2
( Sxx Sx Sx n
) (m q
)
−2 (Sxy
Sy )
1Wir lassen den Punkt t= π2 weg, da π2 ∈[t0, π−t0] ist und somith(π2)∈/∂D.
wobei
Sxx =
∑n j=1
x2j, Sxy =
∑n j=1
xjyj,
Sx =
∑n j=1
xj, Sy =
∑n j=1
yj.
Ein Punkt (m0, q0) ist kritisch genau dann wenn ∇S(m0, q0) = 0 oder
¨
aquivalent:
( Sxx Sx Sx n
) (m0 q0
)
= (Sxy
Sy )
( ⇔ m0
q0
)
=
( Sxx Sx Sx n
)−1( Sxy
Sy
)
= 1
nSxx−Sx2
( n −Sx
−Sx Sxx
) (Sxy
Sy )
= 1
nSxx−Sx2
( nSxy −SxSy SxxSy−SxySx
) .
Dieser kritische Punkt ist eindeutig, solange die Determinante der zu in- vertierenden Matrix nicht verschwindet, was immer der Fall ist, da die xj paarweise verschieden sind (siehe Erg¨anzungen).
• F¨ur jede Richtung(vm
vq
)∈S2 ={v ∈R2||v|= 1}bilden wir den Pfadγ(t) :=
(vm
vq
)t vom Ursprung nach ∞(t∈[0,∞). Dann gilt:
S(γ(t)) =
∑n j=1
(t(vmxj+vq)−yj)2.
Da ¨uber Quadrate summiert wird, ist die Summe positiv und S geht gegen
∞.
• Der Graph von S ist somit ein nach oben ge¨offnetes Paraboloid (nicht un- bedingt rotationssymmetrisch, siehe Erg¨anzungen) mit dem Minimum beim kritischen Punkt.
Erg¨anzungen:
• nSxx−Sx2 ̸= 0:
Sieht man ein in dem man schreibt:
Sxx =|x|2 Sx =⟨x,(1, . . . ,1)T⟩,
wobei x= (x1, . . . , xn), denn dann gilt:
Sx2 =⟨x,(1, . . . ,1)T⟩2 ≤ |x|2· |(1, . . . ,1)T|2 =nSxx
mit Gleichheit nur dann, wenn x und (1, . . . ,1)T (anti-)parallel sind. Dies kann aber nicht sein, da die xi paarweise verschieden sind. Somit ist auch die Determinante ungleich Null.
• Um das Paraboloid besser beschreiben zu k¨onnen, bietet sich die Taylorent- wicklung um den kritischen Punkt (m0, q0) an. Da S(m, q) ein Polynom 2.
Grades in den Variablen m und q ist, ist die Taylorentwicklung mit dem 2.
Glied bereits vollst¨andig:
S(m, q) =S(m0, q0) +⟨∇S(m0, q0),(m−m0, q−q0)T⟩ +1
2(m−m0, q−q0)H(m0, q0)(m−m0, q−q0)T,
wobei H die Hessematrix von S ist. Da (m0, q0) gerade so gew¨ahlt wurde, dass ∇S(m0, q0) = 0, gilt sogar:
S(m, q) = S(m0, q0) + 1
2(m−m0, q−q0)H(m0, q0)(m−m0, q−q0)T. Die Niveaulinien von S sind somit Ellipsen um den kritischen Punkt mit den Eigenvektoren der Hessematrix als Hauptachsen (L¨ange entspricht den Eigenwerten), da die zugeh¨origen Gleichungen gerade verallgemeinerte El- lipsengleichungen sind (zerlege (m−m0, q−q0) in eine Linearkombination aus den normierten Eigenvektoren).
3. a)
-4 -2 0 2 4
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4 -4
-2 0
2 4
-100 0 100 200
-4
-2
0
2
4 -4
-2 0
2
b)Die kritische Stellen der gegeben Funktion sind die Nullstellen des Gradienten
∇f(x, y) =
(2x+ 6y 2y+ 6x
)
=!
(0 0
)
⇔
{ x=−3y x=−1
3y ⇒ (x, y) = (0,0) c) Die in der obigen Unteraufgaben angestellte Berechnung zeigt, dass (x0, y0) auch ein Sattelpunkt sein kann, obwohl∇f(x0, y0) = 0 sowie ∂∂x2f2(x0, y0)>0 und
∂2f
∂y2(x0, y0)>0 ist.
4. Die Arbeit eines Vektorfeldes F entlang eines Weges γ ∈ R2 von A bis B ist gegeben durch
A:=
∫
γ
F =
∫ γ−1(B)
γ−1(A)
⟨F(γ(t)), γ(t)˙ ⟩ dt =
=
∫ v
u
( F1(
γ1(t), γ2(t))
˙
γ1(t) +F2(
γ1(t), γ2(t))
˙ γ2(t)
) dt ,
wobei γ : [u, v] → R2 eine (beliebige) Parametrisierung des Weges γ ⊂ R2 ist.
(mit γ(u) =A und γ(v) = B)
a) Wir wh¨alen die folgende Parametrisierung γ(t) =
(1−t 2t
)
mit t ∈ [0,1].
Dann ist ˙γ(t) = (−1
2 )
und F(γ(t)) = ( γ1t
γ2(t) )
=
(1−t 2t
) . Die Arbeit ist
A=
∫ 1
0
(1−t 2t
)
· (−1
2 )
dt =
∫ 1
0
(5t−1)dt = 5
2t2−t21
0
= 3 2. b) Den Parabelbogen parametrisieren wir durch γ(t) =
(t t2
)
mit t ∈ [0,1].
Dann ist ˙γ(t) = (1
2t )
und F(γ(t)) =
(γ1(t)γ2(t)
−γ2(t) )
= ( t3
−t2 )
. Insgesamt
A=
∫ 1
0
( t3
−t2 )
· (1
2t )
dt =
∫ 1
0
(t3−2t3)dt =−t4 4
1
0
=−1 4. c) Wir w¨ahlen die gew¨onliche Parameterdarstellung des Kreises:
γ(t) =
(cost sint
)
mit t∈[0,2π].
Daraus ergibt sich
˙ γ(t) =
(−sint cost
)
und F(γ(t)) =
(2γ1(t)−γ2(t) γ1(t) + 2γ2(t)
)
=
(2 cost−sint cost+ 2 sint
) .
und somit A=
∫ 2π 0
(2 cost−sint cost+ 2 sint
)
·
(−sint cost
) dt=
=
∫ 2π 0
(
−2 sintcost+ sin| 2t{z+ cos}2
=1
+2 sintcost )
dt=
=
∫ 2π
0
1dt =t2π
0
= 2π .
d) Eine Ellipse um (x0, y0) mit Halbachsena, b erf¨ullt die Gleichung (x−x0)2
a2 + (y−y0)2 b2 = 1.
Aus der Parameterdarstellung des Kreises kann man leicht eine Parame- triesierung der obigen Ellipse herleiten, in den man x bzw. y mit a bzw. b skaliert und dann um x0 bzw. y0 verschiebt. Dann ist
γ(t) = (x(t)
y(t) )
=
(x0 +a cost y0+b sint
)
mit t∈[0,2π]. Insbesondere lautet die Parameterdarstellung der gegebenen Ellipse γ(t) =
( 1 + cost
−2 + 2 sint )
und somit
˙ γ(t) =
(−sint 2 cost
)
und F(γ(t)) = 1 2
(−γ2(t) γ1(t)
)
= 1 2
(2−2 sint 1 + cost
) .
Die Arbeit ist dann A=
∫ 2π 0
(2−2 sint 1 + cost
)
·1 2
(−sint 2 cost
) dt =
= 1 2
∫ 2π
0
(−2 sint+ 2 sin2t+ 2 cost+ 2 cos2t) dt =
=
∫ 2π 0
(sin2t+ cos2t)
| {z }
=1
dt=t2π
0 = 2π .
In der obigen Berechnung haben wir die Eigenschaft der Sinus- und Cosi- nusfunktion verwendet, um ∫2π
0 sint dt sowie∫2π
0 cost dt wegzukurzen.
e) Bei b) k¨onnten wir z.B. den Parabelbogen wie folgt parametrisien γ(t) =
(√t t
)
mit t ∈[0,1], γ(t) =˙ ( 1
2√ t
1 )
und F(γ(t)) = (t√
t
−t )
Dann ist A=
∫ 1
0
(t√ t
−t )
· ( 1
2√ t
1 )
dt =
∫ 1
0
(t 2 −t
)
dt =−t2 4
1
0
=−1 4.
Wir haben also verifiziert, dass die Arbeit unab¨angig von Wahl der Para- metrisierung ist.
5. Wir parametrisieren die zu betrchtenden Kurven wie folgt
a)γ1(t) = ( t
2t )
, t ∈[0,1] und γ˙1(t) = (1
2 )
b)γ2(t) = ( t
2t2 )
, t ∈[0,1] und γ˙2(t) = (1
4t )
c)γ3(t) = (t2
2t )
, t∈[0,1] und γ˙3(t) = (2t
2 )
Dann ist f¨ur F(x, y) = (x y,2x2)T a)
A1 =
∫
γ1
F ·ds=
∫ 1
0
(2t2 2t2
)
· (1
2 )
ds=
∫ 1
0
6t2dt= 2t31
0
= 2 b)
A2 =
∫
γ2
F ·ds=
∫ 1
0
(2t3 2t2
)
· (1
4t )
ds=
∫ 1
0
10t3dt = 10 4 t41
0
= 5 2 c)
A3 =
∫
γ3
F ·ds=
∫ 1
0
(2t3 2t4
)
· (2t
2 )
ds=
∫ 1
0
8t4dt = 8 5t51
0
= 8 5