2 Torsion in dünnwandigen Querschnitten

(1)

2 Torsion in dünnwandigen Querschnitten

2.1 Theorien, Voraussetzungen und Hypothesen

Theorien:

 Reine Torsion (s. Grundstufe)

Begründer: Jean Claude de ST. VENANT (1797 - 1886) Symbol, Index:

sv

 Wölbtorsion

Begründer: Vasili Sacharovitsch VLASOV (1906 – 1958) Symbol, Index : 

Voraussetzungen zu Geometrie und Belastung:

prismatische Stäbe

Wanddicke

h

klein gegenüber restlichen Abmessungen des Querschnitts – Stabschale

Torsionsmoment

M

t um Stabachse

sv : M

t an Stabenden eingeleitet, über Stablänge konstant

:

M

t kann über Stablänge veränderlich sein: _t dM^t m  dz

v

x0, v_y0, v_z0 Verschiebungen des

Schwerpunktes

Hypothesen:

 Kinematische Hypothesen (Annahmen bezüglich der Verformung):

Verformung der Querschnitte durch die Verformung der Profilmittellinie beschrieben. Änderungen über die Wandstärke werden vernachlässigt

keine Änderung der Querschnittsform: xy = 0 Stab in

z

-Richtung schubstarr: 

zs = 0 Querschnitt in seiner Querschnittsebene nicht starr

v

_z0 ÷

v

_y0

v

_x0

M +dM

_t _t

m

_t

M

_t



e

_t

e

^÷_n

y x

z dz

S

s

s=0

s=l

Profilmittellinie

h(s)

r^ts

(2)

sv:

Unabhängigkeit des Verdrehwinkels/Längeneinheit (Drillung

  d  

dz ') von der Koordinate

z

Unabhängigkeit der Verschiebung

v

z von der Koordinate

z

Verschiebung in

z

-Richtung (Verwölbung)

v

_z nicht be- oder

verhindert

: Verdrehwinkel/Längeneinheit (Drillung)  ist Funktion der Koordinate

z

Verschiebung

v

z ist Funktion der Koordinate

z

v

_zbe- oder verhindert (Lager, Anschlusskonstruktionen)

 Kinetische Hypothesen:

linearer Verlauf der Schubspannungen über die Wanddicke

h sv:

nur Schubspannungen

 Be- bzw. Verhinderung der Verwölbung führt zu zusätzlichen Normal- und Schubspannungen

zusätzliche Normal- und Schubspannungen über die Wanddicke

h

konstant

Wölbbehinderung führt zur Versteifung des Profils

2.1 Querschnittsverformung

y D

n

Profilmittellinie

S x

e

_t

e

_n

P(x,y) 6 6 s=0

yD

z

s

x

y^_ _

rnS

x^Dcos

x_D y^Dsin 

S

Schwerpunkt

D

Drehpunkt

(Drillruhepunkt)

(3)

Verschiebungen

Verschiebungen des beliebigen Punktes

P(x,y,z)

in der x,y-Ebene:

(3.8) Da die Verschiebungen des Drehpunktes (Drillruhepunktes)

D

in der

x,y

-Ebene verschwinden müssen:

ergeben sich die Verschiebungen des Schwerpunktes

S

zu:

(3.9) (3.9) in (3.8) formuliert endgültig die raumfesten Verschiebungen des Punktes

P

:

(3.10)

Verschiebungen des beliebigen Punktes

P

in Stablängsrichtung:

z. B am U-Profil:

(3.11)

0 0

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

  

  

x x

y y

v y z v z z y

v x z v z z x

0 0

0 0 ,

xD x D

yD y D

v v y

v v x

   

   

 

x D

y D

v y y y

v x x x

    

    

x z

vz0 

vy0'

dz y

P(x,y,z)

S

vx0'

keine Ebene!



, ,



_0( ) 0´( ) 0´( ) ´( ) ( , )

z z y x

x y

v x y z



v z



v z y



v z x

 

z



x y



Starrkörper- Verschiebung Verschiebung Verschiebung verschiebung wegen Drehung wegen Drehung wegen Ve

um -Achse um -Achse

BERNOULLI-Hypothese



rwölbung des Querschnitts

0

0 .

x D

y D

v y

v x

 

 

(4)

(3.12) Verzerrungen

Für die weitere Behandlung werden noch folgende Zusammenhänge zwischen den Verformungen bereitgestellt:

Zusammenhang raumfeste – körperfeste Verschiebungen:

Einsetzen der Verschiebungen nach (3.10):

oder (s. Skizze S. 88):

mit:

Verwölbung Die Hypothese

liefert mit obigem

v

t :

und nach Integration über

s

:

Damit wird die Einheitsverwölbung D (bezüglich des Punktes D) definiert:

(3.14)

, ,

0

zs

v

t z

v

z_s

   

, ,

´ ,



       

z s t z tD tD

v v r r

0 0

.

s

z tD z

v

_  

 r ds



v

_

( ) 0

s z

D tD D

s v^ r ds

     





n nD t tD

v r v r

 

x

vx

y v_y

e_t en



P'

co P

s s

in cos

sin

x y

n t

v v

  

  



0

D

s

 Einheitsverwölbung an der Stelle



   

cos sin

sin cos

n D D

t D D

v y y x x

       

       

 

 

, ,

, 0 0 0

0

0 0

´( ) ´´( ) ´´( ) ´´( ) , )

´( ) ´´( ) ( , )

xx x x yy y y

zz z z z y x

z D D

v v

v v z v z y v z x z x y

v z z y x x y x y

  

       

      (mit (3.9) )

, ,

, , 0

0

´( )

xy x y y x

xz x z z x x

v v

v v v z

       

     ´( )z y v _x₀´( )z ,



,



, , 0

´( ) ´( )

´( )

x x

yz y z z y y

z y z

v v v z

       

     ´( )z x v _y₀´( )z  ´( )z  ,_y



x  ,_y



´( )z

 

^co

( , )

, s s -

sin cos

D D in

nD nS D

t

D

tD S

r x y r

r x y x y

x y

r

z

   

    

 

unabhängige Querschnittskenngrößen (3.13)

(5)

Die Einheitsverwölbung hängt nur von der Geometrie des Stabquerschnittes ab!

Das Integral

0 s

rt D ds



kann wieder (s. auch S. 83) anschaulich (s. Skizze) gedeutet werden:

(3.15)

Das Differenzial der Einheitsverwölbung ist danach gleich dem doppelten Flächen- inhalt der Sektorfläche.

Daher stammt die Bezeichnung „Sektorkoordinate“ für die Einheitsverwölbung.

Bei der Auswertung des Integrals ist zu beachten, dass es dann positiv ist, wenn der Fahrstrahl

r

zur Profilmittellinie bei Zunahme von

s

in Richtung von  dreht.

Transformationsbeziehung zwischen den Einheitsverwölbungen bezüglich ver- schiedener Bezugspunkte

Formal kann die Einheitsverwölbung für einen beliebigen Bezugspunkt (hier: Schwer- punkt) geschrieben werden:

(Wegen der freien Wahl des Bezugspunktes wurde auf die Indizierung mit S verzichtet.)

Mit der Beziehung für

r

t (3.13) wird das Integral für die Einheitsverwölbung neu geschrieben:

Hierin werden die Winkelfunktionen durch die aus dem ersten Bild auf dieser Seite ablesbaren Beziehungen:

(3.16)

ersetzt:

rtD

dA D



ds dy -dx x

y

0 0

.

s

r dst

 



  1

2 ^tD dA r ds

P



Fahrstrahl r

x

y

s s

0

s

r dst 



0

s

r dst 



0 0

0 0 0 0

cos sin

 



^s ^{r ds}^t   



^s ^{r ds}^tD ^x^D



^s ^ds ^y^D



^s ^ds  

sin dx cos dy

ds ds

    

(6)

mit: (3.17)

Bei Kenntnis des Verlaufs der Einheitsverwölbungen bezüglich zweier „Dreh“punkte eines Querschnittes lassen sich über die Wertepaare an jeweils drei Stellen des Querschnittes die Koordinaten seines Drehpunktes D x( _D,y_D) und die Konstante

k

ermitteln.

Für die spätere Verwendung werden noch die partiellen Ableitungen von (3.17) bereitgestellt:

(3.17a)

Praktische Hinweise

Die Verwölbung ist eine antimetrische Querschnittsgröße. Auf geometrischen Sym- metrieachsen verschwindet sie.

Es ist daher empfehlenswert, den Koordinatenursprung für

s

auf einen Schnittpunkt der Profilmittellinie mit einer Symmetrieachse zu legen. Die Integrationskonstante 0

bzw.

k

verschwindet und es braucht nur die Hälfte (ein Viertel) des-Verlaufs berechnet zu werden.

Querschnitte, die sich aus schmalen Rechtecken zusammensetzen und deren Profil- mittellinien sich alle in einem Punkt schneiden, sind wölbfrei.

Bezüglich dieses Punktes sind alle

r

ti gleich null und demzufolge die Verwölbung auch.

Bei verzweigten Profilmittellinien werden ein Hauptstrang festgelegt und ein oder mehrere Nebenstränge definiert (s. Querkraftschub).

Zuerst wird die Verwölbung des Hauptstrangs ermittelt und die Integrations- konstante 0 bzw.

k

bestimmt. Anschließend werden die Verwölbungen der einzelnen Nebenstränge - mit den

s

i vom freien Ende aus laufend - getrennt berechnet und deren Integrationskonstanten so bestimmt, dass die Verwölbungen von Haupt- und Nebenstrang an dem jeweiligen Verzweigungspunkt übereinstimmen.

   

0 0

0 0 0 0

y

s x

tD D D

y x

D D D D

r ds x dy y dx

x y y y x x

     

         

  

D x yD y xD k

     

k

    ₀ _D₀

x y

_D ₀ 

y x

_D ₀ .

, ,

, , .

x D x D

y D y D

y x

   

   

(7)

Beispiel: Einheitsverwölbung eines Hutprofils

Geg.:

b, h

= konst. (h<<b)

Lage des Schwerpunktes Lage des Schubmittelpunktes

Ges.: Einheitsverwölbung bezüglich

der Punkte

S

,

D

und

M

Da der Querschnitt zur

x

-Achse symmetrisch ist, muss der Verlauf der Einheits- verwölbung antimetrisch sein. Auf der

x

-Achse (Punkt

D

) ist = 0. Im skizzierten Koordinatensystem gilt daher (s₁ 0)0.

Einheitsverwölbung bezüglich des Schwerpunktes

S

:

Einheitsverwölbung bezüglich des (beliebigen) Drehpunktes

D

:

D S M

B A

s₂ b

e_M

b

2b 4b

h x

y

s1 s3

 

1

2

3

1 1 1

0 2

2 2 2

0 2

3 3 3

0

3 3

s S

b ds b s

b b ds b b s

  

    

    





^{  }S^, D^, M



 

1

2

3

1 1

0

2 2 2

0 2

3 3 3

0

0 0

2 2 2

s D

ds

b ds b s

b b ds b b s

  

    



12

M 7

e  b

(8)

Einheitsverwölbung bezüglich des Schubmittelpunktes

M

:

Damit können folgende Diagramme erstellt werden:

Aus dem Vergleich wird deutlich, dass der Verlauf bezüglich des Schubmittelpunktes der energetisch günstigste ist. Diese Tatsache ist durchaus verallgemeinerungsfähig.

Einheitsverwölbungen und Koordinaten der drei Punkte lt. Aufgabenstellung:

Aus den konkreten Formulierungen der Gleichung (3.17):

Punkt x b/ y b/ _S /b² _D/b² _M /b²

A 1 2 2 0 10

7

B 1 1 3 -2 9

7

D 1 0 0 0 0

-2

-1

1

-3

3

2

-2

2

9 7

5 7

10 7

10 7 5

7

9 7

S D D D

S M M M

x y y x k x y y x k

     

2^D :

b



2^S :

b



 

1

2

3

1 1 1

0 2

2 2 2

0 2

3 3 3

0

5 7

5 5

7 7

9 9 19

7 7 7

s

M M

s M

s

M M

e b ds b s

b b ds b b s

b e b ds b b s

     

 

       

 

       



2 :

_M

b

3 3 3

14 6 2

_S  _D  _M 

S b h S b h S b h

(9)

folgt das Gleichungssystem für die Koordinaten des Punktes

D

:

. mit der Lösung:

bzw. für die Koordinaten des Punktes

M

:

mit der Lösung:

Die berechneten Koordinaten der Punkte

D

und

M

entsprechen tatsächlich der in der Aufgabenstellung gegebenen Lage.

0 0 ,

  

D D

x b y k

2

2 2

2 0 2

3 2

0 0 0

D D

D

b x b y b k

b b x b y b k

y b k

    

     

   

2 2

2 10 2

7 3 9

7

0 0 0

M M

M

b b x b y b k

b b x b y b k

y b k

    

     

   

12 0 0 .

 7  

M M

x b y k