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Ausgewählte Anwendungen der Mathematik

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. Heinz-Otto Peitgen Wintersemester 2006/07

Ausgewählte Anwendungen der Mathematik

5. Übung Figurierte Zahlen Abgabe: Do, 30.November 2006

1. Aufgabe

Das Bild stellt dar, was man unter Dreiecks-, Quadrat-, Fünfecks- und Sechseckszahlen versteht.

Unter P

r

(n) wollen wir die n-te r-Eckszahl verstehen. Wir beginnen immer bei 1 mit Zählen, also gilt P

r

(1) = 1 für alle r ! 3, r "! .

a) Beschreiben Sie durch Text, wie man P

7

(3) konstruiert. Bestimmen Sie P

7

(3) . b) Geben Sie eine rekursive Formel für P

r

(n) für allgemeines r und n an.

c) Finden Sie eine explizite Formel für P

r

(n) . Tipp: Zerlegen Sie die Figuren in Dreiecke und wenden Sie die explizite Formel für die Dreieckszahlen an.

d) Welches ist die kleinste Zahl größer als 1, die sich auf zwei verschiedene Weisen als r- Eckszahl darstellen lässt und keine der beiden Darstellungen eine zweite r-Eckszahl ist.

Formal: Gesucht ist das kleinste m mit m > 1 und m = P

r

(n) = P

r'

(n ') mit r ! r ' und n ! n ' und n ,n' ! 3 .

2. Aufgabe

Das Bild stellt dar, was man unter zentrierten Dreiecks-, Quadrat-, Fünfecks- und Sechseckszahlen versteht. Unter N

r

(n) wollen wir die n-te zentrierte r-Eckszahl verstehen. Wir beginnen immer bei 1 mit Zählen, also gilt N

r

(1) = 1 für alle r ! 3, r "! .

a) Beschreiben Sie durch Text, wie man N

7

(3) konstruiert. Bestimmen Sie N

7

(3) . b) Geben Sie eine rekursive Formel für N

r

(n) für allgemeines r und n an.

c) Finden Sie eine explizite Formel für N

r

(n) .

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