HinweisezumTutorium Termin:14.11.2007

Statische Analyse durch abstrakte Interpretation WS 2007/08

Hinweise zum Tutorium

Termin: 14.11.2007

Teil 1: Spezifikation konkrete Semantik

Wir betrachten weiterhin das Programm

p0: while isEven(x) { p1: x = x div 2;

}

p2: x = 4 * x;

p3: exit

Die Menge der Programmlabels:

P = def {p 0 , p 1 , p 2 , p 3 } Die Menge der m¨oglichen Werte f¨ ur x:

x ∈ Z

Der Zustandsraum:

S _c = _def P × Z Die Transitionsrelation −→ c :

isEven(x)

(p 0 , x) −→ c (p 1 , x) , ¬isEven(x) (p 0 , x) −→ c (p 2 , x) ,

(p 1 , x) −→ c (p 0 , x div 2) ,

(p 2 , x) −→ c (p 3 , 4 ∗ x) M¨ogliche Menge der Startzust¨ande:

S 0

= def {(p ⁰ , x) | x ∈ Z } Das Transitionssystem:

T S _c = def (S c , S 0

, −→ c )

Teil 2: Potenzmengenverband Der Potenzmengenverband von S c :

S _P = _def ( P (S c ), ⊆)

Statische Analyse durch abstrakte Interpretation, WS 2007/08

Die Transitionsrelation −→ _P :

x ^q p ∈ Z

{p 0 } × {x ¹ 0 , . . . , x ⁿ 0

}∪

{p ¹ } × {x ¹ 1 , . . . , x ⁿ 1

}∪

{p ² } × {x ¹ 2 , . . . , x ⁿ ₂

}∪

{p 3 } × {x ¹ 3 , . . . , x ⁿ 3

}

−→ _P

{p ¹ } × {x ⁱ 0 | i ∈ 1 . . . n 0 ∧ isEven(x ⁱ 0 )}∪

{p 2 } × {x ⁱ 0 | i ∈ 1 . . . n 0 ∧ ¬isEven(x ⁱ 0 )}∪

{p ⁰ } × {x ⁱ 1 div 2 | i ∈ 1 . . . n 1 }∪

{p ³ } × {4 ∗ x ⁱ 2 | i ∈ 1 . . . n 2 }∪

{p 3 } × {x ⁱ 3 | i ∈ 1 . . . n 3 } M¨ogliche Menge der Startzust¨ande:

S 0

= _def {S ⁰

} Das Potenzmengentransitionssystem:

T S _P = _def (S _P , S 0

, −→ _P ) Teil 3: Abstraktes Transitionssystem

M¨ogliche Werte f¨ ur x:

x ∈ {even, odd}

Zustandsraum:

S _a = _def ( P (P × {even, odd}), ⊆) Zustands¨ ubergangsrelation −→ a :

E 0 , E 1 , E 2 , E 3 ⊆ {even, odd}

{p 0 } × E 0 ∪ {p ¹ } × E 1 ∪ {p ² } × E 2 ∪ {p 3 } × E 3

−→ a

{p ¹ } × {even | even ∈ E 0 }∪

{p 2 } × {odd | odd ∈ E 0 }∪

{p ⁰ } × {even, odd | E 1 6= ∅}∪

{p ³ } × {even | E 2 6= ∅}∪

{p 3 } × {e | e ∈ E 3 }

M¨ogliche Menge der Startzust¨ande:

S 0

= _def {{p ⁰ } × {even, odd}}

Das abstrakte Transitionssystem:

T S a = _def (S a , S 0

, −→ a )

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Statische Analyse durch abstrakte Interpretation, WS 2007/08

Teil 4: Galois Zusammenhang Abstraktion:

{(q ¹ , x 1 ), . . . , (q _n , x _n )} ^⊲ = _def







(q 1 , if isEven(x 1 ) then even else odd), . . . ,

(q n , if isEven(x n ) then even else odd)







Konkretisierung:

{(q ¹ , e 1 ), . . . , (q n , e 2 )} ^⊳ = def {(q i , 2 ∗ m)|i ∈ 1, . . . , n ∧ m ∈ Z ∧ e _i = even}∪

{(q i , 2 ∗ m + 1)|i ∈ 1, . . . , n ∧ m ∈ Z ∧ e _i = odd}

Galois Zusammenhang Eigenschaft:

∀Z _P ∈ S _P , Z a ∈ S a : Z _P ^⊲ ⊆ Z a ⇔ Z _P ⊆ Z _a ^⊳

• Informeller Beweis ⇒:

Betrachte jedes (q _i , x _i ) separat. Ist x _i gerade, so entsteht unter ⊲ ein (q _i , even).

Daraus entsteht unter ⊳ eine Menge

{. . . , (q _i , −2), (q _i , 0), (q _i , 2), . . .}

Da x _i gerade war, ist (q _i , x _i ) enthalten. Analog f¨ ur jedes (q _i , x _i ) mit ungeradem x _i . Also gilt:

∀Z _P ∈ S _P : Z _P ⊆ Z _P ^⊲⊳

Da ⊳ offensichtlich monoton ist, folgt damit aus der Voraussetzung:

Z _P ^⊲ ⊆ Z a ⇔ Z _P ^⊲⊳ ⊆ Z _a ^⊳ ⇔ Z _P ⊆ Z _a ^⊳

• Informeller Beweis ⇐:

Betrachte jedes (q i , e i ) separat. Ist e i = even, so entsteht daraus unter ⊳ eine Menge

{. . . , (q i , −2), (q i , 0), (q i , 2), . . .}

Jedes Element dieser Menge erzeugt unter ⊲ ein (q i , even). Diese sind in (q i , e _i ) f¨ ur e i = even enthalten. Analog f¨ ur e i = odd. Also gilt:

∀Z a ∈ S _a : Z _a ^⊳⊲ ⊆ Z _a

Da ⊲ offensichtlich monoton ist, folgt damit aus der Voraussetzung:

Z _P ⊆ Z _a ^⊳ ⇔ Z _P ^⊲ ⊆ Z _a ^⊳⊲ ⇔ Z _P ^⊲ ⊆ Z _a

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Statische Analyse durch abstrakte Interpretation, WS 2007/08

Teil 5: Zul¨ assigkeit der Abstraktion Unter anderem zu zeigen:

∀(Z _P , Z _P ^′ ) ∈−→ _P : ∃Z a ∈ S a : Z _P ^⊲ −→ a Z a ∧ Z _P ^{′ ⊲} ⊆ Z a

Z _P :

Z _P =

3

[

i =0

{p i } × {x ¹ _i , . . . , x ⁿ _i

} Z _P ^⊲ :

Z _P ^⊲ = S ³

i =0 {p i } × {even | ∃j ∈ 1, . . . , n i : isEven(x ^j _i )}∪

S ³

i =0 {p i } × {odd | ∃j ∈ 1, . . . , n i : ¬isEven(x ^j _i )}

Z _a :

Z _a = {(p ¹ , even) | ∃j ∈ 1, . . . , n 0 : isEven(x ^j 0 )}∪

{(p ² , odd) | ∃j ∈ 1, . . . , n 0 : ¬isEven(x ^j 0 )}∪

{(p ⁰ , even), (p ⁰ , odd) | n 1 > 0}∪

{(p ³ , even) | n 2 > 0}∪

{(p ³ , even) | ∃j ∈ 1, . . . , n 3 : isEven(x ^j 3 )}∪

{(p 3 , odd) | ∃j ∈ 1, . . . , n 3 : ¬isEven(x ^j 3 )}

Z _a ^⊳ :

Z _a ^⊳ = {(p ¹ , 2 ∗ m) | m ∈ Z ∧ ∃j ∈ 1, . . . , n ⁰ : isEven(x ^j 0 )}∪

{(p ² , 2 ∗ m + 1) | m ∈ Z ∧ ∃j ∈ 1, . . . , n ⁰ : ¬isEven(x ^j 0 )}∪

{(p ⁰ , m) | m ∈ Z ∧ n 1 > 0}∪

{(p ³ , 2 ∗ m | m ∈ Z ∧ n 2 > 0}∪

{(p ³ , 2 ∗ m | m ∈ Z ∧ ∃j ∈ 1, . . . , n 3 : isEven(x ^j 3 )}∪

{(p ³ , 2 ∗ m + 1 | m ∈ Z ∧ ∃j ∈ 1, . . . , n 3 : ¬isEven(x ^j 3 )}

Z _P ^′ :

Z _P ^′ = {p ¹ } × {x ⁱ 0 | i ∈ 1, . . . , n 0 ∧ isEven(x ⁱ 0 )}∪

{p 2 } × {x ⁱ 0 | i ∈ 1, . . . , n 0 ∧ ¬isEven(x ⁱ 0 )}∪

{p ⁰ } × {x ⁱ 1 div 2 | i ∈ 1, . . . , n 1 }∪

{p ³ } × {4 ∗ x ⁱ 2 | i ∈ 1, . . . , n 2 }∪

{p 3 } × {x ⁱ 3 | i ∈ 1, . . . , n 3 } Es gilt:

Z _P ^⊲ −→ a Z a ∧ Z _P ^′ ⊆ Z _a ^⊳ Somit nach Galois Zusammenhang:

Z _P ^⊲ −→ a Z _a ∧ Z _P ^{′ ⊲} ⊆ Z _a

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