M. Sc. Elisabeth Neumann Abgabe bis 24.01.2018 um 12 Uhr Aufgabe 11.1 (Pr¨ adikatenabstraktion)

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WS 2017/2018 17.01.2018 Ubungen zur Vorlesung ¨

Programmanalyse Blatt 11 Prof. Dr. Roland Meyer,

M. Sc. Sebastian Wolff

M. Sc. Elisabeth Neumann Abgabe bis 24.01.2018 um 12 Uhr Aufgabe 11.1 (Pr¨ adikatenabstraktion)

Betrachten Sie das folgende Programm:

[x := 1]

¹

[y := 0]

²

while [x > 0]

³

do [x := x − 1]

⁴

[y := y + 1]

⁵

if [y = 0]

⁶

then

[x := 1]

⁷

Zeigen Sie mittels Pr¨ adikatenabstraktion, dass die Anweisung [x := 1]

⁷

nicht erreichbar ist. W¨ ahlen Sie daf¨ ur geeignete Pr¨ adikate und geben Sie die abstrakte Transitionsrelation ausgehend vom Startzustand true an.

Aufgabe 11.2 (Control-State-Reachability)

Eine Safety-Eigenschaft oder Invariante eines Programms ist eine Menge Safe ⊆ Prog × State von Konfigurationen. Man sagt, die Eigenschaft ist erf¨ ullt, falls alle erreichbaren Konfigurationen in Safe liegen, anderenfalls ist sie verletzt. Beispiele f¨ ur Safety-Eigenschaften sind z.B.:

” Es gibt keine Divisionen durch 0“ oder

” Die Variable x ist immer positiv“.

Erkl¨ aren Sie, wie man die ¨ Uberpr¨ ufung von Safety-Eigenschaften eines Programms auf einen Erreichbarkeitscheck f¨ ur einen Kontrollzustand c

bad

reduzieren kann. Machen Sie Ihre Vorgehensweise an einem der obigen Beispiele deutlich.

Aufgabe 11.3 (Echte Gegenbeispiele)

Machen Sie sich mit dem Begriff des Ablaufs (Line-Program) vertraut. Lesen Sie dazu die zugeh¨ orige Bemerkung und das Beispiel auf Seite 2 der handschriftlichen Notizen zu der Abstraktionsverfeinerung. Danach beweisen Sie folgendes Lemma:

Sei c = (c

0

, q

0

) ⇒ · · · ⇒ (c

_k

, q

_k

) ein Gegenbeispiel, wobei q

0

| == | true. Ferner sei r = r

₁

; . . . ; r

_k

der zum Gegenbeispiel assoziierte Ablauf. Dann gilt:

Gegenbeispiel c ist unecht (spurious) gdw. | = {true} r {false}

Gehen Sie dazu wie folgt vor.

a) Zeigen Sie zuerst die Richtung

⁰⁰

⇐

⁰⁰

mit Kontraposition:

Wenn c echt ist, dann gilt 6| = {true} r {false}.

(2)

Sie d¨ urfen dabei annehmen dass folgende Aussage gilt.

Wenn (c

₀

, σ

₀

) → · · · → (c

_k

, σ

_k

), dann (r

₁

; . . . ; r

_k

, σ

₀

) → · · · → (r

_k

, σ

k−1

) → σ

_k

. b) Zeigen Sie nun die Richtung

⁰⁰

⇒

⁰⁰

per Kontraposition, also:

Wenn 6| = {true} r {false}, dann ist c echt.

Daf¨ ur zeigen Sie zuerst (unter Annahme 6| = {true} r {false}) dass σ

₀

, σ

₁

, . . . , σ

_k

∈ State existieren mit σ

0

| = true und σ

k

6| = false, so dass

(r

1

; . . . ; r

k

, σ

0

) → · · · → (r

k

, σ

k−1

) → σ

k

eine valide Ableitung in Small-Step Semantik ist.

c) Um den Beweis abzuschliessen, zeigen Sie dass σ

_i

| = q

_i

(damit ist c echt). Bemerken Sie dass (r

i+1

, σ

i

) → σ

i+1

gilt, da (r

i+1

; . . . ; r

_k

, σ

i

) → (r

i+2

; . . . ; r

_k

, σ

i+1

) und r ein Ablauf ist.

Abgabe bis 24.01.2018 um 12 Uhr im Kasten neben Raum IZ 343