4. Anwendung der logistic Regression auf die Berechung einer perzeptiven Grenzen zwischen Kategorien

4. Anwendung der logistic Regression auf die Berechung einer perzeptiven Grenzen zwischen Kategorien

Experiment. Anhand der Sprachsynthese wurde ein F2- Kontinuum in 11 Schritten synthetisiert. 5 Vpn. (L1-

Englisch) mussten zu jedem Stimulus mit "I" oder "U"

antworten. Bei welchem F2-Wert liegt die Grenze

zwischen den Vokalen? Die Anzahle der Bewertungen ist hier:

Bei F2 = 1437 Hz gab es 4 Urteil für "U", ein Urteil für "I"

ui

Ein Vektor von Proportionen p = ui[,1]/apply(ui, 1, sum)

p

2311 2176 2023 1885 1770 1667 1548 1437 1351 1269 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 0.8 1.0 1.0

Bei 1437 Hz waren 80% der Urteile "U" (und daher 20% "I")

Eine Abbildung von F2 als Funktion dieser Proportionen f2werte = as.numeric(rownames(ui))

plot(f2werte, p, ylab="Proportion /u/ Urteile", xlab="F2 (Hz)")

Eine logistische Regression an diese Werte anpassen

logui = glm(ui ~ f2werte, family=binomial) Die Urteile aus den F2-Werten vorhersagen

Mit der Methode auf S. 13-14 die logistische Regressionskurve überlagern

m = coef(logui)[2]

k = coef(logui)[1]

curve(exp(m*x + k)/(1+ exp(m*x+k)), xlim=c(1200, 2400), add=T, col=2)

Die Koeffiziente

Die logistische Regressionskurve

Die 50% Grenze (Umkipppunkt) Die 50% Grenze (Umkipppunkt)

= zu welchem F2-Wert, ist ein Urteil für "I" genauso wahrscheinlich wie ein Urteil für "U"?

) (

) (

1

k mx

e

y e



 

Es kann bewiesen werden, dass dies mit

-k/m in dieser Formel

gegeben wird (in diesem Beispiel ist y die Proportion, p, und x ist F2werte)

-k/m

1516.723

abline(v=-k/m, lty=2, col="blue")

6. Zwei unabhängige Variablen.

Hier sind genau dieselben Daten aber zusätzlich nach männlich-weiblich aufgeteilt.

female lost 1950 1960 1971 1980 1993 2005

n n 16 9 8 8 4 1

y n 14 9 7 5 0 1

n y 0 6 10 7 10 15

y y 5 15 16 13 22 19

lost

high low 1950 30 5 1960 18 21 1971 15 26 1980 13 20 1993 4 32 2005 2 34

In 1971 waren 26 Tokens [lost] und 15 [lo:st]

von diesen 26 waren 10 von Männern und 16 von Frauen

erzeugt.

8M, 7F

(a) Gibt es einen Trend?

Also weniger [lo:st] in

späteren Jahren? (b) Ist die Proportion [lost]/[lo:st] in

M und F unterschiedlich verteilt?

female lost 1950 1960 1971 1980 1993 2005

n n 16 9 8 8 4 1

y n 14 9 7 5 0 1

n y 0 6 10 7 10 15

y y 5 15 16 13 22 19

Dies ist ein Problem der mehrfachen Logistic Regression:

logodds (lo:st) = b

+ b

year + b

Geschlecht (also in diesem Fall eine Linie im 3D-Raum)

Geschlecht

Year logodds(lo:st)

Und eine gerade Linie in einem 3D-Raum

(b

ist das Intercept,

b

und b

die Neigungen)

pfad = "das Verzeichnis wo ich lost2.txt gespeichert habe"

lost2 = as.matrix(read.table(paste(pfad, "lost2.txt", sep="/")))

high low 0.0 16 0 10.0 9 6 21.0 8 10 30.0 8 7 43.0 4 10 55.0 1 15 0.1 14 5 10.1 9 15 21.1 7 16 30.1 5 13 43.1 0 22 55.1 1 19

M

W

1950 1960 1971 1980 1993 2005 1950 1960 1971 1980 1993 2005

} }

high = Spalte 1 = /lo:st/

low = Spalte 2 = /lOst/

Daten-Vorbereitung

J = c(jahr, jahr)

G = c(rep(0, 6), rep(1, 6)) J

G

[1] 0 10 21 30 43 55 0 10 21 30 43 55

[1] 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

Zuerst eine Abbildung…

p = lost2[,1]/apply(lost2, 1, sum) interaction.plot(J, G, p)

0.00.40.8

J

mean of p

0 10 21 30 43 55

G m f

Nimmt die Proportion von

/lo:st/ in späteren Jahren ab?

(Die Unterschiede zwischen m und f ignorieren).

Ja Nein Vielleicht

Unterscheiden sich m und f in der Proportion von /lo:st/?

(Die Unterschiede in den Jahrgängen ignorieren).

Ja Nein Vielleicht

Modell berechnen…

mehrg = glm(lost2 ~ J + G, binomial)

g2 = glm(lost2 ~ J, binomial) anova(g2, test="Chisq")

Analysis of Deviance Table

Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL 11 89.557 year 1 61.121 10 28.436 5.367e-15

Wenn wir übrigens G weglassen, dann müssten wir

trotz der anderen Aufteilung der Daten das gleiche

Ergebnis wir vorhin bekommen:

Coefficients:

(Intercept) J Gm

1.87754 -0.07524 1.20282

Degrees of Freedom: 11 Total (i.e. Null); 9 Residual Null Deviance: 89.56

Residual Deviance: 15.61 AIC: 51.51

logodds(lo:st) = 1.87754 - 0.07524J+ 1.20282G mehrg = glm(lost2 ~ J + G, binomial)

anova(mehrg, test="Chisq")

Df Deviance Resid.Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL 11 89.557 J 1 61.121 10 28.436 5.367e-15 G 1 12.822 9 15.613 3.425e-04

M und F unterscheiden sich in der Proportion von lo:st/lOst, 

(1) = 12.82, p < 0.001

Die Proportion von 'lo:st' nimmt in späteren Jahren ab,



(1) = 61.12, p < 0.001.

mehrg

Mit 2 oder mehr Variablen soll auch geprüft werden, ob sie miteinander interagieren.

Eine Interaktion zwischen den unabhängigen Variablen – in diesem Fall Geschlecht und Jahrgang – liegt vor, wenn sie eine unterschiedliche Wirkung auf die abhängige

Variable ausüben wie in 1 und 2, aber nicht in 3 und 4

7. Die Interaktion zwischen 2 Variablen

1950 2000

prop(lo:st)

1950 2000 1950 2000 1950

2000 prop(lo:st) prop(lo:st) prop(lo:st)

1 2 3 4

m

f

Wenn eine Interaktion vorliegt, dann können signifikante Ergebnisse in einer der unabhängigen Variablen nicht uneingeschränkt akzeptiert werden.

zB wenn eine Interaktion vorkommt, gibt es vielleicht eine Wirkung von Jahrgang auf die Proportion von /lo:st/ nur in Männern aber nicht in Frauen usw.

Die Interaktion zwischen 2 Variablen

0.00.20.40.60.81.0

year

mean of p

0 10 21 30 43 55

geschl m f

dies scheint aber hier nicht

der Fall zu sein.

Die Interaktion zwischen 2 unabhängigen Variablen, A und B, kann in R mit A:B geprüft werden.

Daher in diesem Fall

g = glm(lost2 ~ J + G + J:G, binomial)

Eine Abkürzung dafür (und mit genau demselben Ergebnis) g = glm(lost2 ~ J * G, binomial)

Die Interaktion zwischen 2 Variablen

anova(g, test="Chisq")

Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL 11 89.557

J 1 61.121 10 28.436 5.367e-15 G 1 12.822 9 15.613 3.425e-04 J:G 1 0.017 8 15.596 0.896

d.h. die Interaktion ist nicht signifikant und J:G kann

aus dem Regressionsmodell weggelassen werden.

Start: AIC= 53.49 lost2 ~ J * G

Df Deviance AIC - J:G 1 15.613 51.506

<none> 15.596 53.489 Df Deviance AIC

<none> 15.613 51.506 - G 1 28.436 62.328 - J 1 80.018 113.910

Wir bleiben also bei

Call: glm(formula = lost2 ~ J + G, family = binomial) Residual Deviance: 15.61 AIC: 51.51

library(MASS) stepAIC(g)

Dies wird auch durch stepAIC() bestätigt:

AIC wird kleiner wenn wir

J:G weglassen

Weitere Folien zum Durchlesen...

Aus dem vorigen Beispiel wird auch klar, dass ähnlich wie



Logistic Regression angewandt werden kann, auch wenn die Gruppe nur aus 2 Ebenen besteht.

Gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen M und F?

gmf = glm(lost2 ~ G, "binomial") anova(gmf, test="Chisq")

Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|)

NULL 11 89.557 G 1 9.539 10 80.018 0.002

M und F unterscheiden sich in der Proportion von lo:st/lOst (

(1) = 9.5, p < 0.002).

8. Logistic Regression und zwei Ebenen

0.0 16 0 10.0 9 6 21.0 8 10 30.0 8 7 43.0 4 10 55.0 1 15 0.1 14 5 10.1 9 15 21.1 7 16 30.1 5 13 43.1 0 22 55.1 1 19

m = apply(lost2[1:6,], 2, sum) f = apply(lost2[7:12,], 2, sum) mf = rbind(m, f)

rownames(mf) = c(0, 1)

colnames(mf) = c("high", "low") mf

Wir bekommen dasselbe Ergebnis wenn Logistic Regression auf die entsprechende Tabelle

angewandt wird:

lost2

l.mf = c(0,1)

gmf2 = glm(mf ~ l.mf, "binomial") anova(gmf2, test="Chisq")

high low 0 46 48 1 36 90

= (kodiert nur nach M und F)

und man bekommt dann fast das gleiche Ergebnis mit einem 

-Test, der direkt auf die Tabelle angewandt wird:

chisq.test(mf)

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data: mf

X-squared = 8.6985, df = 1, p-value = 0.003185

Ein 2-Test kann jedoch nicht verwendet

werden, bei einer Gruppenanzahl von > 2 …

Haben (a) Alter und (b) Geschlecht einen Einfluss auf die Proportion von /lo:st/?

Hier sind dieselben Daten aufgeteilt in 2 Altersgruppen sowie M/F

Gruppe 1 = Vokal = high/low

Gruppe 2 = Geschl = M/F (=0/1) Gruppe 3 = Alter = alt/jung

3 Gruppen jeweils 2 Ebenen

high low alt.0 43 35 alt.1 30 15 jung.0 3 13 jung.1 6 75

lost3

Zuerst eine Abbildung high low alt.0 43 35 alt.1 30 15 jung.0 3 13 jung.1 6 75

# Alter kodieren A = c(0, 0, 1, 1)

# Geschlecht kodieren G = c(0, 1, 0, 1)

prop = lost3[,1]/apply(lost3, 1, sum)

interaction.plot(A, G, prop)

im Geschlecht?

ja nein

Signifikanter Einfluss auf lo:st/lOst?

im Alter? vielleicht

ja nein vielleicht Interaktion zwischen A und G? ja nein vielleicht

0.10.20.30.40.50.6

A

mean of prop

0 1

G 01

g = glm(lost3 ~ A * G, binomial) anova(g, test="Chisq")

Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|) NULL 3 67.758 A 1 64.452 2 3.306 9.893e-16 G 1 0.398 1 2.908 0.528 A:G 1 2.908 0 -4.441e-16 0.088

Es gab einen signifikanten Einfluss vom Alter (

(1)=64.2, p <

0.001) aber nicht vom Geschlecht auf die Proportion von

/lo:st/. Die Interaktion zwichen Alter und Geschlecht war nicht

signifikant (p > 0.05).