Das Newtonsche Näherungsverfahren, Teil 3 mathphys-online

mathphys-online

Das Newtonsche Näherungsverfahren, Teil 3

Aufgabe (aus Abschlussprüfung 2011, 12 Technik A II, Berufliche Oberschule)

Gegeben ist die reelle Funktion f mit dem Funktionsterm f x( ) 3 e^{2 x} 1 e^{2 x}

 mit x ∈ IR und deren Graph (vgl. Diagramm).

Der Graph der Funktion f besitzt den Wendepunkt W(0/2) und die Wendetangente w x( ) 2 x. Weiterhin ist die Stammfunktion F von f gegeben: F x( )=3 x ln 1





a) Der Graph von f, die Tangente w und die Gerade mit der Gleichung x=u mit u∈ IR und u2 schließen ein Flächenstück Au ein.

Kennzeichnen Sie für u=2 das Flächenstück A2 im Schaubild und berechnen Sie seine Flächenmaßzahl A.

b) Bestimmen Sie mit dem Newton-Verfahren u näherungsweise so, dass das Flächenstück Au gleich große Flächenanteile oberhalb und unterhalb der x-Achse besitzt.

Überprüfen Sie die Näherung durch Vergleich der Flächen.

Teilaufgabe a)

3 2 1 0 1 2 3 4 5

2

1 1 2 3 4 5

Fläche Graph von f Wendetangente Wendepunkt

x-Achse

y-Achse

2

___________________________

Newton-Verfahren, Teil 3 Anwendungsaufgabe Seite 1 von 4

mathphys-online

A21 0

2

x f x( )



 d

= =F 2( ) F 0( ) =





 





 

Teilfläche 1: A21 ln 2( ) ln e





Teilfläche 2: A22 0

2

x w x( )



 d

 A22  2

Gesamtfläche: A2 A21 A22 A2 0.675

Teilaufgabe b)

3 2 1 0 1 2 3 4 5

4

3

2

1 1 2 3 4 5

obere Teilfläche 1 Graph von f Wendepunkt obere Teilfläche 2 untere Teilfläche Wendetangente

x-Achse

y-Achse

2 u

___________________________

Newton-Verfahren, Teil 3 Anwendungsaufgabe Seite 2 von 4

mathphys-online

Fläche oberhalb der x-Achse:

Ao u( ) A2 2

u

x f x( )



 d



 Ao u( )  3 u  ln 2( ) ln e





Fläche unterhalb der x-Achse:

Au u( ) 2

u

x w x( )



 d



 Au u( ) (u2)²

 2

Bedingung: Ao Au= ⇔ Ao Au =0

Graphische Darstellung der Flächenmaßzahlfunktionen:

0 2 4 6 8 10

2 4 6 8 10

Obere Teilfläche Untere Teilfläche

Flächenmaßzahlfunktionen

u

A(u)

2

Gesucht ist der Schnittpunkt der beiden Maßzahlfunktionen.

J u( ) Ao u( ) Au u( ) J u( ) 3 u ln 2( ) ln e





 2  2



Ableitungsfunktion: J' u( ) u

J u( ) d d

5 2 e ^{2 u} e^{2 u}  1

  u





___________________________

Newton-Verfahren, Teil 3 Anwendungsaufgabe Seite 3 von 4

mathphys-online

Newton-Verfahren:

Startwert: u0 4

1. Näherung: u1 u0 J u0

 

J' u0

 



 u1 4.693

2. Näherung: u2 u1 J u1

 

J' u1

 



 u2 4.551

3. Näherung: u3 u2 J u2

 

J' u2

 



 u3 4.545

Wählen Sie die obere Grenze u:

3 2 1 0 1 2 3 4 5

4

3

2

1 1 2 3 4 5

x-Achse

y-Achse

2 u

u4.500

Ao u( ) 3.193

Au u( ) 3.125

Mit dem Wert aus der dritten Näherung:

Ao u3

 

Au u3

 

___________________________

Newton-Verfahren, Teil 3 Anwendungsaufgabe Seite 4 von 4