Gruppentheoretische Methoden der Physik

(1)

Priv.-Doz..Dr.HolgerCartarius,UniversitätStuttgart

Gruppentheoretische Methoden der Physik

Stuttgart,Wintersemester2015/2016 Revision:13.Juli2016 FürHinweiseaufDruckfehlerundKommentarejederArtbinichdankbar.1 1HenriMenke,henrimenke@gmail.com

(2)

(3)

Inhaltsverzeichnis

1BedeutungderGruppentheorieineinfachenBeispielen1 1.1EineinfachesBeispiel(DrehungumeineAchse)1 1.2VerschiedeneDarstellungen2 1.3EineersteKonsequenz3 1.4EinweiteresBeispiel4 1.5FragenandieseVorlesung4 2MathematischeGrundlagen5 2.1Gruppen5 2.1.1Axiome5 2.1.2Beispiele5 2.1.3ErsteFolgerungen6 2.1.4Untergruppen6 2.2Morphismen7 2.2.1Gruppenhomomorphismus7 2.2.2WeitereDefinitionen8 2.2.3Beispiele8 2.2.4Verallgemeinerung9 2.3DieSymmetrieinderGruppentheorie9 2.3.1Gruppenwirkung9 2.3.2SymmetrieundSymmetriegruppe10 2.3.3Gruppendarstellung10 2.4Nebenklassen10 2.5OrbitsundBahnen13 2.5.1Einführung13 2.5.2Linkstranslation13 2.6Normalteiler14 2.7Konjugationsklassen15 2.7.1KonjugationeinesElements15 2.7.2DasKlassenprodukt17 2.8NeueGruppenausalten17 2.8.1DirektesProdukt17 2.8.2Verallgemeinerung18 2.8.3SemidirekteGruppen18 2.8.4Beispiel20 3BeispielefürGruppenundderenAnwendungen21 3.1ZurDrehgruppeO(3)21 3.1.1ZurDrehgruppeSO(3)22 3.1.2DieGruppeSU(2)undihrBezugzuSO(3)23 Gruppentheorieiii

(4)

Literatur

[1]M.Hamermesh.GroupTheoryanditsApplicationtoPhysicalProblems.Addison-Wesley,1964.

[2]M.Tinkham.GroupTheoryandQuantumMechanics.DoverPublicationsInc.,2003.

[3]W.MillerJr.SymmetryGroupsandtheirApplications.AcademicPress,1972.

[4]W.LudwigundC.Falter.SymmetriesinPhysics.Springer,1988.

[5]R.Gilmore.Liegroups,Liealgebrasandsomeoftheirapplications.Wiley,1974.

[6]M.Böhm.Lie-GruppenundLie-AlgebreninderPhysik.Springer,2011.

[7]B.C.Hall.LieGroups,LieAlgebras,andRepresentations.2.Aufl.Springer,2015.

[8]U.Mosel.Fields,Symmetries,andQuarks.2.Aufl.Springer,1999.

Gruppentheorie103 Inhaltsverzeichnis

3.1.3EinephysikalischeKonsequenz253.1.4MitSpiegelungen:O(3)263.2SymmertienimaffinenRaum:E(3)273.2.1DeraffineRaum273.2.2EinigeElemente(Symmetrieoperationen)ausE(3)283.2.3Anmerkungen303.3DiskreteSymmetrienimR3313.3.1DiePunktgruppen313.3.2EigentlicheunduneigentlichePunktgruppen323.3.3DieDoppelgruppen33

4Darstellungen354.1LineareundMatrixdarstellung354.1.1Darstellung354.1.2Matrixdarstellung364.1.3ÄquivalenzvonDarstellungen364.1.4UnitäreRepräsentation374.1.5NeueDarstellungenausalten374.2ReduzibleundirreduzibleDarstellungen384.2.1InvarianteUnterräume384.2.2UnitäreinvarianteUnterräume394.3BedeutendemathematischeGrundlagen394.3.1Schur-Lemmata404.3.2Orthogonalitätsrelationen404.3.3SatzvonBurnside414.4Charaktere414.4.1Definition424.4.2Folgerungen424.4.3Orthogonalitätsrelationen434.4.4CharaktereundKlassen434.4.5DiereguläreRechtsdarstellung444.4.6Beispiel:ZyklischeGruppen454.5ReelleDarstellungen464.6ProduktvonDarstellungenundClebsch-Gordan-Reihe474.6.1Produktdarstellungen474.6.2Clebsch-Gordan-Reihe484.7MethodederProjektionsoperatoren494.7.1Projektionsoperatoren494.7.2ProjektionenundDarstellungen494.7.3ErzeugungeinersymmetrieangepasstenBasis504.8SymmetrischeundantisymmetrischeDarstellungen514.8.1ÄußeresProduktvonDarstellungen514.8.2AnwendungaufdieSymmetrisierungvonDarstellungen51

ivGruppentheorie

(5)

INDEX —R— Rechtsnebenklasse,12 reduzibel,38 reduziertesMatrixelement,64 reguläreRechtsdarstellung,44 Repräsentant,11 —S— selbstkonjugiert,16 semidirektesProdukt,19 Spur,42 Strukturfunktion,68 Strukturkonstanten,71 —T— transitiv,13 treu,35

—U— Untergruppe,6 Untergruppenkriterium,6 —V— vollreduzibel,38 vollständigreduzierbar,38 —W— Wigner-Eckart-Theorem,64 Wirkung,9 —Z— Zentralisator,16 Zentrum,16 102Gruppentheorie

Inhaltsverzeichnis 5AnwendungenvonGruppenundderenDarstellungeninderPhysik53 5.1EntartungeninSpektren53 5.1.1DieSymmetrieeinesHamiltonoperators53 5.1.2InvarianteUnterräumeundEntartung53 5.1.3Standardbeispiel:TeilchenimZentralpotential54 5.1.4WeiteresBeispiel(TeilchenimKristallfeld)56 5.2SymmetriereduktiondesEigenwertproblems57 5.2.1LösendurchDiagonalisiereneinerMatrixdarstellung57 5.2.2Störungsrechnung60 5.3ÜbergangsmatrixelementeundAuswahlregeln60 5.3.1Tensoroperatoren61 5.3.2Beispiele61 5.3.3Operatorprodukte63 5.3.4Wigner-Eckart-Theorem64 5.3.5Anmerkungen65 6Liegruppen67 6.1WassindLiegruppen?67 6.1.1VergleichmitdiskretenGruppen67 6.1.2AlgebraischetopologischeunddifferenzierbareEigenschaften68 6.2LiegruppeundLiealgebra69 6.2.1LiealgebraeinerMatrixgruppe70 6.2.2LinkstransporteinesTangentialvektors70 6.2.3KommutatorundLiealgebra71 6.2.4DerumgekehrteWeg:VonderLiealgebrazurLiegruppe72 6.3DieLiegruppenSU(1)73 6.3.1Cartan-Weyl-BasisderLiealgebraSU(n)73 6.3.2Beispiele75 6.3.3EigenzuständeundWurzelsystem76 6.3.4LeiteroperatorenundWurzelvektoren77 6.3.5SU(2)78 6.3.6SU(3)79 7AnwendungenderLiegruppen83 7.1SU(3)-KlassifikationvonQuarks,MesonenundBaryonen83 7.1.1Vorbemerkungen83 7.1.2Quarkmodell84 7.1.3Mesonen86 7.2NichtabelscheEichtheorien87 7.2.1Vorbemerkung:U(1)-EichtheoriedesElektromagnetismus88 7.2.2ErweiterungzueinernichtabelschenYang-Mills-Eichtheorie90 7.2.3SpontaneSymmetriebrechungundEnglert-Brout-Higgs-Mechanismus92 7.2.4DieelektroschwacheWechselwirkungfürLeptonen96 7.2.5StarkeWechselwirkung99 7.2.6ZusammenfassungzumStandardmodell100 Gruppentheoriev

(6)

Index

—Sonstige—Äquivalenzklasse,11äquivalent,36äquivalentmodulo,11

—A—Automorphismengruppe,9Automorphismus,8

—B—Bahn,13Bild,7

—C—Cartan-Unteralgebra,74Casimir-Operatoren,76

—D—Darstellung,2DimensionderGruppe,68direkteProdukt,17

—E—einfach,15endlichePunktgruppe,31endlicheRaumgruppe,31Endomorphismus,8Epimorphismus,8

—F—Faktorgruppe,14Faktormenge,12Fundamentaldarstellung,79

—G—Gruppe,1GruppederinnerenAutomorphismen,16

—H— halbeinfach,15Homomorphismus,7

—I—invariant,38invarianteUntergruppe,14invarianterUnterraum,2f.invariantesMaß,37irreduzibel,38irreduziblenTensoroperatoren,61isomorph,2Isomorphismus,8Isospin,83

—K—Kern,7Klassenprodukt,17kongruent,30Konjugationsklasse,16

—L—Leiteroperatoren,75lineareDarstellung,10Linkstranslation,13linkstransportierteVektor,70

—M—Monomorphismus,8

—N—nicht,14Normalisator,16Normalteiler,14

—O—Orbit,13Ordnung,12

—P—Projektion,12

Gruppentheorie101 Inhaltsverzeichnis

7.2.7Unddarüberhinaus?100

viGruppentheorie

(7)

|NichtabelscheEichtheorien mit Dµ=∂µ−iqcGµ(7.56b) Gµ=1 2λaGa µ(7.56c) Gµν=∂µGν−∂νGµ−iqc[Gµ,Gν](7.56d) Qa=1 2λa=SU(3)-Generatoren(7.56e) EsgibtachtSU(3)-Generatoren,üblicheDarstellungdurchGell-Mann-Matrizen,vgl.(??) und(??). Darausfolgt,esgibtachtAustauschfelder,inderQuantisierungachtAustauschteilchen, dieGluonen. Experimentellfindetman,dassnurderFarb-Singulett-Zustandrealisiertwird.Teilchen sindfarbneutral. DieschwacheWechselwirkungkoppeltebenfallsandieQuarksundändertdenFlavor- freiheitsgrad.AuchhierkoppeltwiedernurderlinkshändigeAnteil. 7.2.6ZusammenfassungzumStandardmodell DasStandardmodellbestehtaus ñFermionen:LeptonenoderQuarks ñBosonen:Austauschfelder DieAustauschfelderwerdenauslokalenEichinvarianz-ForderungenineinerEichtheorie derForm U(1)⊗SU(2) |{z} elektroschwacheWW⊗SU(3) |{z} Quantenchromodynamik gewonnen. 7.2.7Unddarüberhinaus? EsgibtungeklärteFragen. Beispiel1:GroßeVereinheitlichung.DieasymptotischeErwartungbesagt,dassbeihohen EnergiendieWechselwirkungenununterscheidbarsein.DiehöhereSymmetriebenötigt eineneueGruppe. D|U(1)⊗SU(2)⊗SU(3) Notwendigist,dassU(1)⊗SU(2)⊗SU(3)alsUntergruppenenthaltenseinmüssen.Bei EinschränkungenderSymmetrienmusseineDarstellungderhöherenGruppeexistieren, diesichaufdieverwendetenDarstellungendereinzelnenWechselwirkungaufteilenlässt. ModelledafürsindSU(5)undSO(10). Beispiel2:GravitationlässtsichindieserFormnichteinbinden.Dasfundamentale Problemist,dassdieSymmetriederEinsteinschenFledgleichungenGL(4)ist.Diese hatkeineendlichdimensionaleDarstellung.Eskönnenalsokeineendlichdimensionalen SpinorenψfürdieFeldergefundenwerden. 100Gruppentheorie

BedeutungderGruppentheorieineinfachenBeispielen|1

1 Bedeutung der Gruppentheorie in einfachen Beispielen

1.1EineinfachesBeispiel(DrehungumeineAchse) WirbetrachteneinendreidimensionaleneuklidischenVektorraum,gekennzeichnetmittels V3miteinerOrthonormalbasis,gegebendurch{ê1,ê2,ê3}.IndiesemRaumbetrachten wirnuneineDrehungumeineAchseˆn. DieseDrehungenbildeneineGruppe SO(2)={g(ϕ),0≤ϕ<2π}(1.1) wobeig(ϕ)ersteinmalabstrakteGruppenelementesind,derenWirkungaufdieBasisvek- torenlautet

3X0 êêê=g(ϕ)=D(g(ϕ)).(1.2)ⁱ^jjii j=1 DietransformiertenBasisvektorenwurdehierinderursprünglichenBasisentwickelt. 3BetrachtenwirnundieWirkungaufeinenVektorv∈V 3X v=vêii i=1 3X 0v=g(ϕ)v=vg(ϕ)êii i=1 3X(1.2) ê=^j j=1

3X i=1Dji(g(ϕ))vi(1.3a) ˆe1

ˆe2

ˆe³

ˆn ñ1DerdreidimensionaleeuklidischeVektorraumwirdaufgespanntdurchdreiorthogonale Basisvektoren,dieauchalsx-,y-undz-Achsebezeichnetwerden.EineDrehachsewirddurch einebeliebigeSuperpositiondieserBasisvektorenbeschrieben. 2015-10-151

(8)

AnwendungenderLiegruppen|7

7.2.4.4MassedesElektrons

Experimentellbekannt:DasNeutrino(mν1eV)istwesentlichleichteralsdasElektron(me≈511keV).DasbrichtdieSymmetriedesDubletts(vL,eL).UrsprünglichwurdedasNeutrinoalsmasselosangenommen.EichinvarianterWegdemElektronseineMassezugeben:KopplungandasHiggs-Feld,Yukawa-Kopplungsterm

LY=−qe v√2 ¯ee 1+ ϕv (7.54)

DamitistdiegesamteLagrangedichte

L=L0+LH+ X

i∈{e,µ,τ} (LY,i+Lint,i)(7.55)

7.2.5StarkeWechselwirkung

Teilchen,diederstarkenWechselwirkungunterliegenheißenHadronen.Siesindzusam-mengesetztausQuarks,vgl.??.AusExperimentenistbekannt,dassessechsQuarksgibt.

ñ1.Generation:u(up),d(down)

ñ2.Generation:c(charm),s(strange)

ñ3.Generation:t(top),b(bottom)

Ebenfallsexperimentellbekanntistdie∆++-Resonanz,welcheausdreiup-QuarksbestehtundSpin3/2hat,d.h.ms,Quark=+1/2.AlleQuantenzahlensindidentisch.DiesisteinwiderspruchzuFermionenundeineweitereQuantenzahlistnotwendig,derFarbfreiheitsgradmitdreiverschiedenenWerten(rot,grün,blau).DiestarkeWechselwirkungmussandenFarbfreiheitsgradansetzen,daauchdie∆++-Resonanzbetroffenist.InderQuantenchromodynamikistdieFarbedieLadung.AnsatzüberlokaleEichinvarianzausSU(3).ZustandsraumeinesQuarks

ψα,f,c∈C4|{z}Dirac-Spinor,α ⊗C6|{z}Flavor,f ⊗C3|{z}Farbe,c

EinelokaleichinvarianteLagrangedichtelässtsichdanneinführennachdemMuster.

L=− 110π GaµνGaµν+ X

f ¯ψf(iγµDµ+mf)ψf(7.56a)

2016-07-1399 1.2|VerschiedeneDarstellungen

also

v0j= 3X

i=1 Dji(g(ϕ))vi(1.3b)

odermitv=(v1,v2,v3)Ùfolgtv0=D(g(ϕ))v(1.3c)

mitderMatrixgruppeM={D(g(ϕ))|0≤ϕ<2π}.(1.4)

DieseistisomorphzuSO(2)undistaußerdemeinekonkreteDarstellungderabstraktenGruppeSO(2).DiesehängtoffensichtlichvonderBasis{ˆei}ab.DieFrageist,obesbesonderseinfacheDarstellungengibt.

1.2VerschiedeneDarstellungen

Wählenwirê3kˆnundê1,ê2⊥ˆn, dannzerfälltV3ineinedirekteSumme

V3=V1⊕V2(1.5a)V1=hê3i(1.5b)V2=hê1,ê2i.(1.5c) DabeisindV1undV2invarianteUnterräume.

v∈V1→g(ϕ)v∈V1füralleϕ,w∈V 2→g(ϕ)w∈V 2füralleϕ,

oder

SO(2)V1⊂V1, SO(2)V2⊂V2.

IndieserBasishabendieDarstellungsmatrizendieForm

D=  cosϕ−sinϕ0sinϕcosϕ0001 .(1.6)

WiemansiehthabensieBlockdiagonalform,d.h.Dwurdereduziertaufeine1×1-undeine2×2-Darstellung.FüreinenreellenVektorraumistdieseDarstellungirreduzibel,d.h.eineweitereZerlegungistnichtmöglich.

22015-10-15

(9)

|NichtabelscheEichtheorien 7.2.4.2SpinoreninderelektroschwachenWechselwirkung Manfindetexperimentell: ñEsgibtdreiGenerationenvonLeptonen 1.e,νe 2.µ,νµ 3.τ,ντ ñNeutrinoskommennurlinkshändigvor.Daherführtmanein:Denrechtshändigen TeildesElektronsalsSinguletteR∈C4 R(Dirac-Spinor),unddasDublettfürden linkshändigenAnteildesElektronsunddasNeutrino(νL,eL)Ù=L∈C4 L⊗C2.Analog fürdiezweiteunddritteGeneration. 7.2.4.3Wechselwirkungen DerrechtshändigeTeildesElektronskannnichtmitNeutrinoskoppeln,dastutaberder linkshändigeTeil.DaslegtfolgendeFormderLagrangedichtenahe. Lint=¯LiγµDµL+¯eRiγµDµeR(7.52a) L=Lint+LH|{z} Higgsanteil+L0 |{z} Freifeldanteil(7.52b) DµL= ∂µ+iqX lrl 2W^{l µ}+iq01 2Bµ L(7.52c) DµeR= ∂µ+iq01 2Bµ eR(7.52d) ListSU(2)⊗U(1)-eichinvariant,eRistalsSingulettnurU(1)-eichinvariant. SortierenanalogzuAbschnitt??. Lint=−q √ 2(¯vLγµeL)W+ µ−q √ 2(¯eLγµvL)W− µ −1 2q cosθwh (¯vLγµvL)−q(1−2sin2 θw)¯eLγµeL+2qsin2 θw(¯eRγµeR)i Zµ +gsin2θw(¯eγµe)Aµ+Ableitungen(7.53a) wobeidieersteZeiledergeladeneStrom,diezweiteZeilederneutraleStromunddie dritteZeilederelektromagnetischeStromistmit W± µ=1 √ 2(W1 µ∓iW2 µ)(7.53b) Zµ=cosθwW3 µ−sinθwBµ(7.53c) Aµ=sinθwW3 µ+cosθwBµ(7.53d) DerneutraleStromwarvorderTheorienichtbekannt,wurdepostuliertundspäter gefunden. 982016-07-13

BedeutungderGruppentheorieineinfachenBeispielen|1 BetrachtenunBasisvektorenineinerkomplexenErweiterung ê+1=1 √ 2(ê1−iê2)(1.7a) ê=⁰ ê³

(1.7b) ê−1=−1 √ 2(ê1+iê2)(1.7c) Hierfolgt g(ϕ)ê+1(1.6) = (1.7a)1 √ 2  cosϕ−sinϕ0 sinϕcosϕ0 001    1 −i 0  

=1 √ 2

  cosϕ+isinϕ cosϕ−icosϕ 0

  =cosϕ+isinϕ

  1 −i 0

  

=eiϕê+1(1.8a) oderfüralleVektoren g(ϕ)êm=eimϕêm.(1.8b) Mansiehtalso,dasssichdieDarstellungimKomplexenweiterreduzierenlässtaufdrei 1×1-Darstellungen. D(g(ϕ))(1.8b) =

  eiϕ 1 e−iϕ

  

.(1.9) 1.3EineersteKonsequenz BetrachteeinenaxialsymmetrischenhermiteschenOperatorHimkomplexenV3,d.h. H=D†(g(ϕ))HD(g(ϕ)),0≤ϕ<2π(1.10) undeinunitäresProdukt hv1|v2i=v† 1v2=3X i=1v† 1,iv2,i. Esfolgt hêm|H|eni(1.10) =hêm|D†HD|êni =hDêm|H|Dêni =ei(n−m)ϕhêm|H|êni.(1.11) DieeinzigemöglicheLösungfürn≠mist hêm|H|êni(1.11) =0.(1.12) SymmetrieangepassteBasenerzeugenHamiltonmatrizeninBlochform,d.h.invariante UnterräumezwischendenenMatrixelementeverschwinden. 2015-10-153

(10)

7.2.4.1VorbetrachtungzurChiralität

ErhaltungsgrößefürmasseloseFermionen.Dirac-GleichungfürmasseloseFermionen

(iγ0∂0+iγj∂j)ψ=0(7.47a)

oderinKomponenten

i 0−110 !∂∂t uv !=−i 0∇·σ∇·σ0 !uv !(7.47b)

∂∂t −vu != −(∇·σ)v(∇·σ)u !

Ansatzfüru

u= u1u2 != u01ei(k·x−˜ω1t)u02ei(k·x−˜ω2t) !(7.48)

˜ω1u01

˜ω

2u 02 !(7.47b)=(7.48) k·σ u01u 02 !

Wählespeziell:k=kez

˜ω1u01˜ω2u02 !=kσ3u01u02 !=k u01u02 !(7.49a)

somit

˜ω1=−˜ω2=k=ω(7.49b)

DamitgibteszweiLösungen:

u1= 10 !

k e i(kz−ωt)(7.50a)

u2= 01 !

k e−i(kz+ωt)(7.50b)

DerSpinistimmerparallelzurAusbreitungsrichtung.SolcheTeilchennenntmanrechts-händig.Fürvfindetmangenaudasgegenteilige(linkshändig).FürmassebehafteteTeil-chensinddaskeineEigenzuständedesHamiltonoperatorsmehr,trotzdemlassensichdieTeilchendanachsortieren.ZugehörigeProjektoren:

PR= 12 (1+γ5)(7.51a) PL= 12 (1−γ5)(7.51b) mitγ5=γ5=iγ0γ1γ2γ3= 1001 !(7.51c)

2016-07-0697 1.5|FragenandieseVorlesung

1.4EinweiteresBeispiel

SeiH=− 22m ∇2+V(r)

einSO(3)-invarianterOperator.DannkönnendieEigenfunktionengeschriebenwerdenals

ψn`m(r,ϑ,ϕ)=Rn`(r)Y`m(ϑ,ϕ)(1.13) mitEigenwertenEn`.Siespanneneinen(2`+1)-dimensionalenEntartungsraumV(`)auf,welcherEigenraumzuHist.Mit

g∈SO(3):gr=R(g)r(1.14)

bedeuteteineDrehungdesZustandes

gψn`m(r)=ψn`m(R −1(g)r)= `X

m0=` ψn`m0(r)D (`)m0m

wobeiD (`)nuneine(2`+1)-dimensionaleirreduzibleDarstellungvonSO(3)ist.EshandeltsichdabeiumeinesymmetriebedingteEntartung.

1.5FragenandieseVorlesung

WirkannmandiesymmetriebedingtenEnartungenverstehen?Wiekannmandiesemathematischfassen?WelcheInformationenbenötigeich,umvoneinerSymmetriesprechenzukönnen?WelcheBeziehungengibteszwischendenGruppen?Wasfolgtphysikalischdaraus?WiekannichGruppentheorienutzen,ummirProblemezuvereinfachen?WelcheAussagensindsofortmöglich,wennicheineSymmetriegruppekenne?

42015-10-15

(11)

|NichtabelscheEichtheorien Manerhält: L(7.44) = (7.45b)(7.45c)1 2[(∂µϕ)(∂µϕ)+µ2ϕ2] −1 4

2X i=1[(∂µWiν−∂νWiµ)(∂µWiν−∂νWiµ)−1 2q2v2WiµW^{i µ}] −1 4

2X i=1[(∂µZν−∂νZµ)(∂µZν−∂νZµ)−1 2(q2+(2q0)2)v2ZµZµ] −1 4(∂µAν−∂νAµ)(∂µAν−∂νAµ)+TermehöhererOrdnung(7.46) 7.2.3.3PhysikalischeInterpretation DieLagrangedichteenthält: ñeinmasselosesAustauschfeldAµ ñzweiFelderWiµ,i=1,2mitderMasseqv ñeinFeldZµmitderMassep q2+(2q0)2v Damitgelingtes,einetheoretischeBeschreibungfürdieelektromagnetische(Aµ)und dieschwacheWechselwirkung(W1µ,W2µ,Zµ)aufzustellen,dieauseinereichinvarianten Lagrangedichtestammt.DasführtaufdasGlashow-Weinberg-Salam-Modellderelek- troschwachenWechselwirkung.AberdasgelangnurdurchdasEinführendesmassiven Feldesϕ. ñSkalarfeldmitMasse ñHiggs-Feld ñAnregungdiesesFeldes:Higgs-Boson SolldasModellrichtigsein,mussdasHiggs-Bosongefundenwerden.Entdeckungam CERN2011undNobelpreisinPhysik2013anEnglertundHiggs. 7.2.4DieelektroschwacheWechselwirkungfürLeptonen Wirhabengesehen:ForderungenaneinelokaleEichinvarianzerlaubendiesystemati- scheEinführungvonWechselwirkungsfeldern.DieseFelderkönnenmasselosseinoder überdenMechanismusvonEnglert,BroutundHiggseineMasseerhaltenundtrotzdem dieEichinvarianzgarantieren.AufdiesenAnsätzenlässtsichdasStandardmodellder Elementarteilchenphysikaufbauen.HierdieelektroschwacheWechselwirkung. 962016-07-06

MathematischeGrundlagen|2

2 Mathematische Grundlagen

2.1Gruppen 2.1.1Axiome 2.1DefintionEineGruppeisteinPaar(G,·)bestehendauseinerMengeGundeinerAbbildung G×G→G (g,h)→g·h mitfolgendenEigenschaften: 1.Füralleg,h,k∈Ggiltg·(h·k)=(g·h)·k(Assoziativgesetz). 2.EsgibteinElemente∈G,sodassfüralleg∈Ggilte·g=g(Linkseinselement). 3.Zujedemg∈Gexistierteing0∈GmitderEigenschaftg0·g=e(Linksinverses g0=g−1).Ï 2.2DefintionEineGruppeGheißtabelschoderkommutativ,wennfüralleg,h∈Ggilt g·h=h·gÏ 2.1.2Beispiele 1.„Generalized-Linear“-GruppenGL(n),OrthogonaleGruppenO(n),Spezielleortho- gonaleGruppenSO(n),SpzielleunitäreGruppenSU(n),UnitäreGruppenU(n). 2.(Z,+),(Q,+),(R,+),etc.Beachte,dassdieseGruppenvielezusätzlicheEigenschaf- tenhaben,dienichtalleGruppenhaben. 3.(Q\{0},·),etc. 4.DieMengebijektiverAbbildungen f:M→M,MMMg f◦g

f 5.Permutationen 12345 f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)! 2015-10-225

(12)

DieLagrangedichte(7.35a)istSU(2)-eichinvariant,daherkannmaneinespezielleWahltreffen,ohneetwasanderPhysikzuändern,wählespeziell

φ=eiεa(x)Sa˜φ (7.40)= 0(v+ϕ(x))/ √2 !(7.41)

ϕ(x)istdieeinzigeAnregung,diephysikalischeinenEffekterzeugt.SieentsprichteinerAnregung,dieEnergiebenötigt.EingesetztindieLagrangedichte

L (7.35a)=(7.41) 12 (∂µφ)(∂µφ)− 14 µ2v2 1+ ϕv 2− 18 λ2v4 1+ ϕv 4− 14 GµνG µν− 14 FµνFµν

+ q24 WaµWµ b(φ†σaσbφ)+ qq02 WaµBµ(φ†σaφ)+ qq02 BµWaµ(φ†σaφ)

+ q022 BµBµ(v+ϕ)2+···(7.42)

Dieselassensichvereinfachen,da

σaσb+σbσa=0(7.43a)(σa)2=1(7.43b) φ†σ1φ=φ†σ2φ (7.41)=0(7.43c) φ†σ3φ (7.41)=− (v+ϕ(x))22 (7.43d)

Esfolgt

L (7.42)=(7.43)(7.37) 12 (∂ µϕ)(∂µϕ)+ 12 µ 2ϕ 2− 14 G µνGµν− 14 FµνF µν+ q28 v 2(W 1µWµ 1+W 2µWµ 2)

+ 18 v2(qW3µ−2q0Bµ)(qWµ 3−2q0Bµ)(7.44) Einzigunschönistnoch,dassdieFelderBundW3gekoppeltsind.DaslässtsichjedochmitneuenParameternentkoppeln.

tanϑw= 2q0q ,ϑw=Weinberg-WinkelqW3µ−2q0Bµ= qcosϑw (cosϑwW3µ−sinϑwBµ)|{z}Zµ (7.45a) mitdemFeldZµ=cosϑwW3µ−sinϑwBµ(7.45b)

unddemdazu„orthogonalen“Feld

Aµ=sinϑwW3µ+cosϑwBµ(7.45c)

2016-07-0695 2.1|Gruppen

6.Abstrakt:VerknüpfungüberGruppentafeln

·eabc

eeabcaaecbbbceaccbae

DieTafeldereinfachstennichttrivialenGruppesiehtwiefolgtaus

·egeeggge

2.1.3ErsteFolgerungen

DiefolgendenEigenschaftenlassensichausderDefinition2.1folgern.

ñDasLinksinverseistäquivalentzumRechtsinversen.

ñDasLinkseinselementistäquivalentzumRechtseinselement.

ñZug,h∈Gexistiertgenaueinx∈Gmitg·x=hundgenaueiny∈Gmity·g=h.

ñKürzungsregel:ax=ay=⇒x=yundua=va=⇒u=v.

ñ∀a,b∈G,(a−1)−1=a,(a·b)−1=b−1a−1.

2.1.4Untergruppen

2.3DefintionEineUntergruppeHvonG,geschriebenalsH<G,isteinenichtleereTeil-mengeHvonG,diebezüglichdesGruppenproduktsabgeschlossenist.Dabeimussgeltene∈Hundwennh∈H,dannmusauchh−1∈Hsein.Ï 2.1TheoremDasUntergruppenkriterium.EinenichtleereTeilmengeHistUntergruppevonG,genaudann,wenng,h∈H=⇒g·h−1∈H

füralleg,h∈H.DieBezeichnungistH<G.Ï

¸Beispiel1.Diebeidentrivialen(oderauchuneigentlichen)Untergruppen({e},·)<GundG<G.Alleanderenheißen„echt“oder„eigentlich“.

2.(Z,+)<(Q,+)<(R,+)<(C,+).

3.SU(n)<U(n)<GL(n).

4.SO(2)<SO(3).µ

62015-10-22

(13)

|NichtabelscheEichtheorien ñµ2<0,Formalµ∈iR,alsoimaginäreMassevonφ,aberkeinProblem,dawirdie physikalischeBedeutungspäteranderenTermenzuordnen.HiernureineRechen- größe.Grundzustandbei q φ†φ=v 2=1 2|µ| |λ|(7.37) DieserGrundzustandistunendlichentartet,dennjedesφ=(φ1,φ2)Ùmitp φ†φ= v/2hatdieselbeEnergie. −202

0

510 φ†φ

† V(φ

φ)

DerGrundzustandbrichtdieSymmetriedesPotentials,denndiedsesistfürjedes p φ†φidentisch,währendderGrundzustandeinespezielleRealisierungauswählen kann,z.B. φ0=h0|φ|0i=0 v/√ 2! (7.38) DiesnenntmanspontaneSymmetriebrechung. WirbetrachtennunAnregungenausdemspeziellenVakuumzustandφ0 ˜φ=φ0+ϕ1+iϕ2 ϕ3+iϕ2! (7.38) =0 v/√ 2! +ϕ1+iϕ2 ϕ3+iϕ4! (7.39) In(7.39)sindvierAnregungenϕ1,...,ϕ4erkennbar,abernur,wennsichp φ†φändert, istfürdieseeineEnergienotwendig.Beispiel:φ3=const,φ4=const. −2 0 2−202 −4

−2

0 ϕ1ϕ2 In(7.39)gibtesdreiRichtungenindenenderBetragsichnichtändert.Daswirdsichtbar, wennmanφgeeignetschreibt. ˜φ(7.39) =e−iεa(x)Sa0 (v+ϕ(x))/√ 2! (7.40) 942016-06-29

MathematischeGrundlagen|2 GG0 imf kerfe e0

f f ñ2ZuDefinition2.5. 2.2Morphismen MorphismensindAbbildungenzwischenMengengleichenStruktur,welchedieStruktur bewahren.WirbetrachtendashieranderStrukturderGruppe. 2.2.1Gruppenhomomorphismus 2.2.1.1Definitionen 2.4DefintionSeien(G,·)und(G0,◦)Gruppen.EineAbbildung f:G→G0 heißtHomomorphismus,wennfüralleg1,g2∈Ggilt f(g1·g2)=f(g1)◦f(g2). SchreibweisebeiabelschenGruppen: f(g1+g2)=f(g1)+f(g2).Ï 2.5Defintion(KernundBildeinesHomomorphismus).DerKerneinesHomomorphismusost dasUrbilddesneutralenElementse0∈G0 kerf={g∈G|f(g)=e0}=f−1(e0). DasBildvonfbestehtausdenElementenvonG0,dieeinUrbildinGhaben imf=f(G)={f(g)|g∈G}.Ï 2015-10-227

(14)

7.2.3.2MassiveFelderdurchspontaneSymmetriebrechung

DieLagrangedichteL=(∂ µφ) †(∂µφ)−V(φ †φ)(7.34a)fürDublettφ= φ1φ2 !(7.34b)

istinvariantunterglobalenU(1)undSU(2)-Transformationen.

U(1):(e−iq0λφ)†(e−iq0λφ)=φ†eiq0λe−iq0λφ=φ†φ SU(2):(e−iq0λaSaφ)†(e−iq0λaSaφ)=φ†eiq0λaSae−iq0λaSaφ=φ†φ giltfürjedesV(φ†φ).LokalU(1)⊗SU(2)-eichinvariant.Aus(7.22)und(??)wissenwir,dassdieganzeLagrangedichtelokalU(1)⊗SU(2)-eichinvariantwirdwennwireinführen.

L (7.34a)=(7.22)(??) (Dµφ)†(Dµφ)−V(φ†φ)− 14 G µνGµν− 14 FµνFµν(7.35a) mitDµ=∂µ−iq0Bµ−iq X

a Wµ a(7.35b)

unddenSU(2)-EichfeldernWµ=Wµ aSa(7.35c)Gµν a=∂µWν a−∂νWµ a+q(Wµ×Wν)(7.35d)

Gµν=  Gµν 1Gµν 2Gµν 3 (7.35e) sowiedemU(1)-EichfeldBµmitFµν=∂µBν−∂νBµ(7.35f)

AlsPotentialwirdangesetzt

V(φ†φ)= 12 µ2φ†φ+ 12 λ2(φ†φ)2(7.36)

Fallunterscheidung:

ñµ2>0,Grundzustandbeiφ†φ=0.

−202 0 20 40 60

φ†φ

V(φ^†φ)

2016-06-2993 2.2|Morphismen

2.2.1.2Folgerungen(o.B.)

ñf(e)=e0,d.h.e∈kerf

ñf(g−1)=(f(g))−1∀g∈G

ñkerf<G

ñimf<G0 ñSeienr:G→G0unds:G0→G00Homomorphismen,dannistauchihreVerkettungs◦r:G→G00einHomomorphismus.GG0G00r

s◦r s

ñG→G0injektiv⇐⇒kerf={e}

2.2.2WeitereDefinitionen

2.6DefintionEinHomomorphismusf:G→G0heißt

ñEpimorphismus,wennfsurjektivist,

ñMonomorphismus,wennfinjektivist,

ñIsomorphismus,wennfbijektivist.

WeitereBezeichnungen:

ñEinHomomorphismusf:G→GheißtEndomorphismus.

ñEinIsomorphismusf:G→GheißtAutomorphismus.

SindzweiGruppenisomorph(esexistierteinIsomorphismusG→G0),soschreibtman

G'G0.Ï

2.2.3Beispiele

ñZ2istdieGruppemitdenganzenZahlen0und1mitderAdditionmodulo2alsVer-knüpfung.DieGruppeG=({1,−1},·)istisomorphzuZ2mitdemIsomorphismus

f:G→Z21,0−1,1

ñDiereellenZahlenlassensichmitderExponentialfunktionaufdiepositivenreellenZahlenabbilden.

f:(R,+)→(R+,·)x,ex

x+y,ex+y=ex·ey

82015-10-22

(15)

|NichtabelscheEichtheorien wobei Aµ=  Aµ1 Aµ2 Aµ3  

ImVergleichzumFaradaytensor(7.20b)fülltderletzteTermaufUrsprung: Aµ∈L(SU(2))→kommutierennicht EntscheidenendephysikalischeKonsequenz. EinelokalSU(2)-invarianteLagrangedichtehatanalog(7.22)dieForm L=iΨ†γµ0 0γµ! ∂µΨ−mc2Ψ†Ψ−1 qX aFµνaFaµν mitΨ†=(¯ψ1,¯ψ2).DerletzteTermenthältnach(7.32b)viertePotenzenderFelderAµ.Die Bewegungsgleichungennach(7.19)enthaltensomitnichtlineareTermeinAµ. Bedeutung:DieFelderwechselwirkenmitsichselbst.SietragenselbstdieLadungan diesiekoppeln.ImUnterschiedkoppelnPhotonenandieelektrischeLadung,tragendiese abernicht. BedeutungderOperatoren:Fµν3misstdenIsospinaus.Fµν±=±(Fµν1±iFµν2)/√ 2 ändertdenIsospin. π0,π−undπ+sindineinereffektivenTheorieinderLagedaszubeschreiben. GenerelleBezeichnung:Theorien,indeneneVektorfelderzumErfülleneinerEichsym- metrieangekoppeltwerdenheißenYang-Mills-Theorien.DieEichfelderheißenYang-Mills- Felder. 7.2.3SpontaneSymmetriebrechungundEnglert-Brout-Higgs-Mechanismus 7.2.3.1DieMasselosigkeitderYang-Mills-Felder DieLagrangedichte(??),insbesonderederFreifeldanteil L=−1 4X aFµνaFaµν ähneltderdeselektromagnetischenFelders(7.20a),teiltinsbesondereeineEigenschaft mitdiesem:DieFelderbesitzenkeineMasse.Mussewürdensiebesitzen,wenndie LagrangedichteeineFormähnlichderaus(7.18)fürmassiveFermionenhätte. L=−1 4X aFµνaFaµν−m2X aAµaAaµ(7.33) WidersprichtdermühevolleinführtenundgefordertenEichinvarianz. MasseloseFelderwidersprechenaberderBeobachtung,z.B.beiderschwachenWech- selwirkung.Sieistkurzreichweitig.KannnurdurchmassiveAustauschteilchenerklärt werden.DieAustauschteilchenmüsstenwiePhotonenbeibeliebigerEnergieauftreten, tunsieabernicht. 922016-06-29

MathematischeGrundlagen|2 2.2.4Verallgemeinerung WirbetrachtenMorphismenallgemein,daher: 2.7DefintionSeienMundM0mathematischeObjektemitderselbenmathematischenStruktur, z.B.eineMenge,Gruppe,Körper,Vektorraum,affinerRaum,topologischerRaumodereine differenzierbareMannigfaltigkeit. EineAbbildungf:M→M0,welchedieStrukturbewahrtheißtMorphismus(oder Abbildung,Homomorphismus,stetigglatteAbbildung). IstderMorphismusbijektiv,soexistiertdieUmkehrabbildungf−1:M0→Mundman nenntihnIsomorphismus. IstM0=M,sobildetdieMengederIsomorphismendieAutomorphismengruppeauf M.Ï InsbesonderedieAutomorphismengruppewirdwichtigwerden,dahereinpaarBeispiele: ñSeiM={1,2,...,n}eineMengemitnObjekten.DannistAutMdieGruppealler bijektivenAbbildungenderMengeaufsich.DiesisthierdiePermutationsgruppe Sn=S(M). ñDieStrukturreduziertgegebenenfallsdieAutomorphismengruppe.SeiM=R3 (linearerVektorraum),dannistAutM=GL(3,R).SieaberM=(R3,·)(euklidischer Vektorraum),dannmussauchdasSkalarprodukterhaltenbleiben,ausGL(3,R) bleibennurdieDrehungenundSpiegelungenübrig,esistalsoAutM=O(3)< GL(3,R3). 2.3DieSymmetrieinderGruppentheorie 2.3.1Gruppenwirkung 2.8DefintionSeiGeineGruppe.DieWirkungvonGaufeineMengeMisteinHomomorphis- mus. h:G→AutM g,h(g) wobeih(g):M→M x,h(g)xÏ Wassagtunsdas?EineGruppewirktaufdieMengeinderArt,dassallemöglichen WirkungenbijektiveAbbildungenderMengeaufsichselbstsind,dassjedemGruppenele- menteinedieserAbbildungenzugeordnetwirdunddassjededieserAbbildungenh(g) einemElementxeindeutigeinneueszuordnet. 2015-10-299

(16)

BeidessindFermionen,alsokorrekteBeschreibungmitDiracspinoren:

ψ= ψprotψneut !∈C2×C4(7.25)

Experimentellbekannt:EsgibtKernreaktionen,diedenNukleonenzustandändern.WirsuchenalsonacheinerBeschreibungfürProzesse

Ψ= ψprotψneut !→ ψ0protψ0neut !=g−1ψprotψneut !(7.26) miteinemg∈SU(2),danormerhaltend.IneinertypischenLagrangedichtefürdiefreieDynamikderFelderΨtretenTermedererstenAbleitung∂µΨauf,vgl.(7.18).DeshalbfordernwirlokaleEichinvarianz.Dieseisterfüllt,wennsichdasfürdieAbleitungenerfüllenlässt.Aus(7.17)wissenwir,dasesmiteinerkovariantenAbleitungfunktioniert

Dµ=∂µ−iqAµ(7.27a)

undderenTransformationsverhalten

˜Dµ=∂µ−iqAµ+ iq g−1∂µg !(7.27b)

DieDarstellungderGruppenelementefolgtdurchExponentialabbildung.

g−1∂µg=eiM∂µe−iM=−i∂µM+ 12! [M,∂µM]− i2! [M,[M,∂µM]]−···(7.28) FürSU(2)istMeineLinearkombinationderPaulimatrizen.DieEntwicklungskoeffizientenmüssendiex-Abhängigkeittragen(x=xµ=(t,x,y,z)Ù).

M=qλaSa,mitSa= σa2 (7.29a)

∂µM (7.29a)=q(∂µλa)Sa(7.29b)

Esfolgt:

g−1(∂µg) (7.29a)(7.29b)=(7.28) −iq(∂µλa)+Kommutatorterme Sa∈L(SU(2))(7.30) Sowohlg−1∂µgalsauchAµsindElementederLiealgebrazuSU(2).ZujedemGeneratorSamusseseinEichfeldAaµgeben,alsoinsgesamtdrei.

Aµ=Aµ aSa(7.31)

AnalogzumFeldtensor(7.20b)gibtesauchhiereinenfürdengilt:

−iqFµν=[Dµ,Dν]=−iq(∂µAν−∂νAµ−iq[Aµ,Aν])=−iqFµν aSa(7.32a)Fµν a=∂µAν a−∂νAµ a+qεabcAbµAν c

=∂µAν a−∂νAµ a+q(Aµ×Aν)a(7.32b)

2016-06-2291 2.4|Nebenklassen

¸BeispielDieMengesei(R3,·)undAut(R3,·)=O(3).DannistdieWirkungaufeinElementr∈(R3,·)

O(3)→Mg,D(g)h(g):(R3,·)→(R3,·)r,D(g)r

wobeiMdieMatrixgruppeausGleichung(1.4)ist.µ

Wennwirdasalsbekanntakzeptieren,könnenwirdieWirkungaufeineFunktionψ(r)definieren,wobeiψ∈(C)(R3)einestetigeFunktionaufdemR3ist.

O(3)→AutC(R3)g,h(g)h(g):C(R3)→C(R3)ψ,h(g)ψ(r)Öψ(D−1(g)r)

2.3.2SymmetrieundSymmetriegruppe

2.9DefintionEswirkeeineGruppeGaufeineMengeM.Seia∈M.DieUntergruppeH={h∈G|ha=a}<GheißtSymmetriegruppe,SymmetrieoderFixpunktegruppevona.Ï

¸BeispielSei∆={x1,x2,x3}eingleichseitigesDreieckundeineGruppeG=SO(3).DannistdieSymmetriegruppeC3={e,c3=R(120°),c23=R(240°)}<SO(2).µ

2.3.3Gruppendarstellung

2.10DefintionEinelineareDarstellungderGruppeGistdieWirkung

G→AutRn=GL(n,R)oderG→AutCn=GL(n,C)oderallgemeinG→AutVmitdemVektorraumV.

Dieswirdspäternochausführlichbehandelt.Ï

2.4Nebenklassen

HäufigwerdenGruppeninÄquivalenzklasseneingeteilt.DafürbenötigenwirÄquivalenz-relationen.

2.11DefintionEineBeziehung∼zwischenzweiElementeng,heinerMengeM(d.h.eineTeilmengevonM×MheißtÄquivalenzrelation,wenngilt:

102015-10-29