Prof. Dr. Volker Kaibel
Dipl.-Comp.-Math. Matthias Walter Wintersemester 2014/2015
Kombinatorische Optimierung – Blatt 11
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise14/kombopt/
Pr¨asentation in der ¨Ubung am 27.01.2015
Aufgabe 1
Seien G= (V, E) ein Graph, c∈QE+ Kapazit¨aten und T ⊆V mit ∣T∣ gerade eine Knoten- teilmenge. EinT-ungerader Schnitt ist ein Schnittδ(S)mit ∣S∩T∣ungerade. Wir wollen die c-minimale Kapazit¨at f(G, c, T) eines T-ungeraden Schnittes in G finden. Mit der Notation GS (f¨ur S ⊆V) sei der Graph gemeint, der aus G entsteht, wenn alle Knoten ausSmiteinander zu einem einzelnen Knoten identifiziert werden, wobei Kanten erhalten bleiben und Mehrfachkanten erlaubt seien.
SeienT1, T2⊆V Mengen gerader Kardinalit¨at und seienδ(S1)einc-minimalerT1-ungerader Schnitt und ∣S1∩T2∣gerade.
(i) Zeige zun¨achst f¨ur beliebige T2-ungerade Schnitte δ(X), dass man durch Komple- mentieren von S1 bzw. X erreichen kann, dass ∣(S1∪X) ∩T2∣ und ∣(S1∩X) ∩T1∣ ungerade sind.
(ii) Zeige damit (und mit Hilfe der Submodularit¨atseigenschaft der Schnittfunktion), dass es einen c-minimalen T2-ungeraden Schnittδ(S2)gibt, der δ(S1) nicht kreuzt (d.h. es gilt S1 ⊆S2 oderS2⊆S1 oderS1∩S2= ∅).
Betrachte nuns, t∈T und einenc-minimalens-t-Schnittδ(S)inG. Beweise die folgenden Rekursionen:
(iii) Falls∣S∩T∣ ungerade ist, gilt f(G, c, T) =min(c(δ(S)), f(G{s,t}, c, T ∖ {s, t})). (iv) Falls ∣S ∩T∣ gerade ist, gilt f(G, c, T) = min(f(GS, c, T ∖S), f(GV∖S, c, T ∩S)).
Nutze hierf¨ur die Aussage (ii).
Die obigen Betrachtungen f¨uhren unmittelbar zu einem rekursiven Algorithmus.
(v) ¨Uberlege Dir, wie viele Rekursionsschritte dieser maximal ben¨otigt.
Aufgabe 2
Wir betrachten die im Folgenden auf verschiedene Arten definierte Menge I.
(a) Gegeben eine m×n Matrix A ¨uber einem K¨orper F.I sei die Menge aller Mengen I⊆ [n], so dass die Spalten in I linear unabh¨angig ¨uberF sind.
(b) Gegeben ein a∈Rn+ und α∈R+. I ist die Menge aller Mengen I ⊆ [n]mit ∑
i∈I
ai ≤α.
(c) Gegeben sei ein Graph G= (V, E). I sei die Menge aller stabilen Mengen S in G, d.h. Mengen S⊆V mit E(S) = ∅.
(d) Gegeben sei ein Graph G. I sei die Menge aller Kantenmengen von W¨aldern (= Teilgraphen ohne Kreis) in G.
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(e) Gegeben sei ein zusammenh¨angender GraphG.I sei die Menge aller Kantenmengen F, f¨ur die G∖F zusammenh¨angend ist.
(f) Gegeben seienr∈Nund eine MengeE.Isei die Menge aller h¨ochstensr-elementigen Teilmengen von E.
F¨ur jede der obigen Mengen I, beweise oder widerlege die Axiome (1) und (2) sowie nach Wahl (3) oder (3’):
(1) ∅ ∈ I
(2) Ist X∈ I und gilt Y ⊆X, so gilt auch Y ∈ I.
(3) Sind X, Y ∈ I und gilt ∣Y∣ > ∣X∣, so existiert y∈Y ∖X mit X∪ {y} ∈ I.
(3’) F¨ur jede MengeT existiert eine nat¨urliche Zahlr(T)mit der folgenden Eigenschaft:
Alle inklusions-maximalen Teilmengen X⊆T mit X∈ I haben Kardinalit¨atr(T).
