Test von Erwartungswerten

:₀

Ablehnungs- bereich c

Nichtablehnungs- bereich

Ablehnungs- bereich c2

Nichtablehnungs- bereich Ablehnungs-

bereich

c1 :₀

Test von statistischen Hypothesen

Statistische Hypothesen

Null- und Alternativhypothese Testfehler

Test von Erwartungswerten

z-Test für den Mittelwert bei bekanntem F t-Test für den Mittelwert bei unbekanntem F

t-Test zum Mittelwertsvergleich zweier unabhängiger Stichproben bei unbekanntem F_x = F_y

t-Test zum Mittelwertsvergleich zweier verbundener Stichproben bei unbekanntem F_d

t-Test zum Mittelwertsvergleich zweier unabhängiger Stichproben bei unbekanntem F_x … F_y (Welch-Test) z-Test zum Mittelwertsvergleich zweier unabhängiger

Stichproben bei bekanntem F_x und F_y

z-Test zum Mittelwertsvergleich zweier verbundener Stichproben bei bekanntem F_d

Test von Varianzen

P²-Test der Varianz

F-Test zum Vergleich zweier Varianzen

Analyse von Häufigkeiten und Kontingenztafeln

P²-Test zur Prüfung von Häufigkeiten bzw. Verteilungen P²-Test zur Prüfung auf Unabhängigkeit

P²-Test bei einer einfachen Zweiwegklassifikation

Statistische Hypothesen

Nullhypothese

z.B. H : µ = µ_{0 0} Alternativhypothese

z.B. H : µ < µ oder µ > µ1 0 0 einseitig

H : µ … µ_{1 0} zweiseitig

Ablehnungsbereiche einseitig:

zweiseitig:

X X

"

:₀ c :₁

$

t₀'x&µ₀ s/ n

x'960.7 g, s'46.5 g

t₀'x&µ₀ s/ n

'960.7&1000.0 46.5/ 7

' &2.263 <&1.943' &t_6;0.95

Fehler bei statistischen Tests t-Test für den Mittelwert bei unbekanntem F

Ausfall des Tests H richtig₀ H falsch₀ Voraussetzung: Normalverteilung, F unbekannt

Nichtablehnung von H₀

richtige Entschei- Fehler 2. Art Testgröße:

dung mit der mit der

Sicherheitswahr- Wahrscheinlichkeit scheinlichkeit

1 ! " $

Ablehnung von H₀

Fehler 1. Art richtige Entschei-

mit der dung mit der

Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit

" 1 ! $

": Fehler 1. Art, Risiko 1. Art, Signifikanzniveau

$: Fehler 2. Art, Risiko 2. Art

1 ! $: Macht, Güte oder Power des Tests

Dichte von , Dichte von ,

falls H zutrifft0 falls H zutrifft1

H :0 µ = µ0

H :1 Ablehnung von H , wenn

µ < µ₀ t < !t

µ > µ0

µ … µ₀

0 0 n!1;1!"

t > t₀ n!1;1!"

|t | > t0 n!1;1!"/2

Kopfgewicht von Chinakohl

Kopf i 1 2 3 4 5 6 7

Gewicht [g] 920 975 1030 910 955 925 1010

H : µ = 1000 g gegen H : µ < 1000 g auf " = 5%_{0 1}

H wird auf dem Signifikanzniveau " = 5% zugunsten von H abgelehnt._{0 1} Zum Signifikanzniveau von 5% ist also statistisch gesichert, daß das Kopfgewicht kleiner als 1 kg ist.

z₀'x&µ₀ F/ n

U'49.66 V, F'0.5 V

z₀'U&µ_U F_U/ n

'49.66&50 0.5/ 10

' &2.15, also |z₀|'2.15> 1.96'u_0.975

t₀' n_xn_y(n_x%n_y&2)

n_x%n_y @ x&y

(n_x&1)s_x²%(n_y&1)s_y² t₀' n@ x&y

s_x²%s_y²

für n_x'n_y'n

µ_x< µ_y µ_x> µ_y µ_x…µ_y

t₀<&t_n

x%n_y&2;1&"

t₀> t_n

x%n_y&2;1&"

|t₀| > t_n

x%n_y&2;1&"/2

H'697.3 g, s_H'36.8 g, N'628.5 g, s_N'47.4 g

t₀' n@ H&N s_H²%s_N²

' 8@697.3&628.5 36.8²%47.4²

'3.24

z-Test für den Mittelwert bei bekanntem F t-Test zum Mittelwertsvergleich zweier unabhän-

Voraussetzung: Normalverteilung, F bekannt Testgröße:

H :0 µ = µ0

H :1 Ablehnung von H , wenn

µ < µ₀ z < !u µ > µ0

µ … µ₀

0 0 1!"

z > u_{0 1!"}

|z | > u_{0 1!"/2} = 8_1!"

Justierung eines Voltmeters

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

U [V] 49.8 50.1 48.9 49.4 51.0 48.8 49.3 49.4 49.9 50.0 (laut Hersteller)

H : µ = 50 V gegen H : µ … 50 V auf " = 5%_{0 U 1 U}

H wird auf dem Signifikanzniveau " = 5% zugunsten von H abgelehnt._{0 1} Zum Signifikanzniveau von 5% ist also statistisch gesichert, daß der mittlere Meßwert vom Sollwert abweicht.

giger Stichproben bei unbekanntem F

= F

Voraussetzung: Normalvert., Unabh., F_x = F_y unbekannt Testgröße:

H :0 µ = µx y

H :1 Ablehnung von H , wenn0

Schweinemast

Protein mittlere tägliche Gewichtszunahme [g]

hoch H_i 715 683 664 659 660 762 720 715

niedrig N_i 684 655 657 531 638 601 611 651

H : µ = µ gegen H : µ > µ auf " = 1%_{0 H N 1 H N}

> 2.624 = t14;0.99

H wird auf " = 1% zugunsten von H abgelehnt._{0 1}

t₀' d s_d/ n

d'1.58 h, s_d'1.23 h

|t₀|'/0000 /0000 d s_d/ n

'1.58@ 10 1.23

'4.06 >3.25't_9;0.005

t₀' x&y s_x²/n_x%s_y²/n_y

FG' (s_x²/n_x&s_y²/n_y)² s_x⁴/(n_x²(n_x&1))%s_y⁴/(n_y²(n_y&1)) FG'(n&1)@(s_x²%s_y²)²

s_x⁴%s_y⁴

für n_x'n_y'n

t-Test zum Mittelwertsvergleich zweier verbunde- t-Test zum Mittelwertsvergleich zweier unabhän-

ner Stichproben bei unbekanntem F

giger Stichproben bei unbekannten und

Voraussetzung: Normalvert., Abhäng., F_d unbekannt Testgröße:

H :0 µ = µ bzw. µ ! µ = µ = 0x y x y d

H :1 Ablehnung von H , wenn

µ < µ bzw. µ < 0_{x y d} t < !t µ > µ bzw. µ > 0x y d

µ … µ bzw. µ … 0_{x y d}

0 0 n!1;1!"

t > t₀ n!1;1!"

|t | > t0 n!1;1!"/2

Schlafmittel

Schlafverlängerung [h]

A_i 1.9 0.8 1.1 0.1 !0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4

B _i 0.7 !1.6 !0.2 !1.2 !0.1 3.4 3.7 0.8 0.0 2.0

d i 1.2 2.4 1.3 1.3 0.0 1.0 1.8 0.8 4.6 1.4

H : µ = µ bzw. µ = 0 gegen H : µ … µ bzw. µ … 0 auf " = 1%_{0 A B d 1 A B d}

H wird auf dem Signifikanzniveau " = 1% zugunsten von H abgelehnt._{0 1} Zum Signifikanzniveau von 1% ist also statistisch gesichert, daß sich die beiden Schlafmittel unterscheiden.

verschiedenen F

… F

(Welch-Test)

Voraussetzung: Normalvert., Unabh., F_x … F_y unbekannt Testgröße:

Freiheitsgrade:

H :0 µ = µx y

H :1 Ablehnung von H , wenn µ < µ_{x y} t < !t

µ > µx y

µ … µ_{x y}

0 0 FG;1!"

t > t_{0 FG;1!"}

|t | > t0 FG;1!"/2

Pilze

Two Sample T-Test and Confidence Interval Two sample T for Auster vs Braun

N Mean StDev SE Mean Auster 10 6.210 1.370 0.43 Braun 12 5.225 0.393 0.11

95% CI for mu Auster - mu Braun: ( -0.01, 1.98) T-Test mu Auster = mu Braun (vs not =):

T= 2.20 P=0.053 DF= 10

z₀' x&y F²_x/n_x%F²_y/n_y

t₀' d F_d/ n

P²₀'(n&1)@s² F²₀

P²₀'(n_A&1)@sA²

F²_A

'9@1.370² 1²

'16.89Ý16.92'P²_9;0.95

P²₀'(n_B&1)@s_B² F²_B

'11@0.393² 1²

'1.70< 3.82'P²_11;0.025

z-Test zum Mittelwertsvergleich zweier unabhän- P -Test der Varianz

giger Stichproben bei bekanntem F

und F

Voraussetzung: Normalvert., Unabh., F_x und F_y bekannt Testgröße:

H :₀ µ = µ_{x y}

H :₁ Ablehnung von H , wenn µ < µx y z < !u

µ > µ_{x y} µ … µ_{x y}

0 0 1!"

z > u_{0 1!"}

|z | > u_{0 1!"/2} = 8_1!"

z-Test zum Mittelwertsvergleich zweier verbund- ener Stichproben bei bekanntem F

= F

Voraussetzung: Normalvert., Abhäng., Fd bekannt Testgröße:

H :₀ µ = µ bzw. µ ! µ = µ = 0_{x y x y d}

H :₁ Ablehnung von H , wenn

µ < µ bzw. µ < 0_{x y d} z < !u µ > µ bzw. µ > 0x y d

µ … µ bzw. µ … 0_{x y d}

0 0 1!"

z > u_{0 1!"}

|z | > u_{0 1!"/2} = 8_1!"

2

Voraussetzung: Normalverteilung Testgröße:

H :₀ F² = F₀²

H :1 Ablehnung von H , wenn F² < F₀² P < P

F² > F₀² P > P

F² … F₀² P > P oder P < P

0 02 2n!1;"

02 2n!1;1!"

02 2n!1;1!"/2 02 2n!1;"/2

Pilze

Austernpilze: s = 1.370, Braunkappen: s = 0.393A B

H : F_{0 A} = 1 gegen H : F_{1 A} > 1 auf " = 5%

Nullhypothese kann auf 5% Signifikanzniveau nicht verworfen werden.

p-Wert ist etwas größer als 5%.

H : F_{0 B} = 1 gegen H : F_{1 B} … 1 auf " = 5%

H ist auf 5% Signifikanzniveau abzulehnen und H anzunehmen. Zum0 1

Signifikanzniveau von 5% ist also statistisch gesichert, daß die Standard- abweichung verschieden von 1 ist. Der p-Wert ist kleiner als 0.2%

(P²_11;0.001 = 1.83).

F₀'s_x² s_y²

F₀'s_A² s_B²

'1.370² 0.393²

'12.15> 3.78'F_9,10;0.975> F_9,11;0.975

P²₀'j

r

i'1

(B_i&E_i)² E_i

(B_i&E_i)² E_i

F-Test zum Vergleich zweier Varianzen P -Test zur Prüfung von Häufigkeiten

Voraussetzung: Normalverteilung, Unabhängigkeit Testgröße:

Testgröße:

H :₀ F_x² = F_y²

H :₁ Ablehnung von H , wenn Fx < Fy F < F

2 2

F_x² > F_y² F_x² … F_y²

0 0 m!1,n!1;"

F > F0 m!1,n!1;1!"

F > F₀ m!1,n!1;1!"/2 oder F > F0 m!1,n!1;"/2

Pilze

Austernpilze: s = 1.370, Braunkappen: s = 0.393_{A B} H : F_{0 A} = F_B gegen H : F_{1 A} … F_B auf " = 5%

H ist auf 5% Signifikanzniveau abzulehnen.Die Streuungen sind also0

auf " = 5% signifikant verschieden.

2

H :₀ X - F(x)

H :₁ Ablehnung von H , wenn

X ß F(x) P₀2 > P2r!k!1;1!" ⁰

Mendelsches Kreuzungsexperiment mit Erbsen

RrGg × RrGg

Gameten RG Rg rG rg

RG RRGG RRGg RrGG RrGg Rg RRGg Rrgg RrGg Rrgg rG RrGG RrGg rrGG rrGg rg RrGg Rrgg rrGg rrgg

Erbsen pi Bi Ei

rund,gelb 9/16 315 313 0.0162

rund, grün 3/16 108 104 0.1349

kantig, gelb 3/16 101 104 0.1013 kantig, grün 1/16 032 035 0.2176

556 556 0.4700

P₀2 = 0.47 Ý P2_3;0.99 = P24!0!1;1!0.01 = P2r!k!1;1!", p = 1.00 ! 0.07 = 0.93 Wegen des hohen p-Werts von 93% besteht Grund zu der Annahme, daß das theoretische Spaltungsverhältnis auch zutrifft.

ÿ ÿ

!

!

!

!

!

! ÿ ÿ ÿ ÿ

!

! ÿ ÿ ÿ ÿ

!

!

!

!

ÿ ÿ

P²₀'j

k

i'1

j

l

j'1

(B_ij&E_ij)² E_ij

'n@ j

k

i'1

j

l

j'1

B_ij² B_i.@B_.j&1

P²₀' n@(a@d&b@c)² (a%b)@(c%d)@(a%c)@(b%d)

P²₀'200@(20@80&5@95)²

115@85@25@175 '5.92> 3.84'P²_1;0.95

P

-Test zur Prüfung auf Unabhängigkeit P -Test bei einer einfachen Zweiwegklassifikation

Kontingenztafel Vierfeldertafel

2. Merkmal 2. Merkmal

1. Merkmal 1 2 j l 3 1. Merkmal 1 2 3

1 2

i B B B B B

k B B B B B

B₁₁ B B B B

B₂₁ B B B B

i1

k1 12 22

i2

k2

1j 2j

ij

kj

1l 2l

il

kl

1.

2.

i.

k.

3 B_.1 B_.2 B_.j B_.l B = n_..

Testgröße:

H :₀ Unabhängigkeit

H :₁ Ablehnung von H , wenn Abhängigkeit P₀2 > P2(k!1)(l!1);1!" ⁰

2

1 a + b

2

a b

c d c + d

3 a + c b + d n

Testgröße:

H :0 Unabhängigkeit

H :1 Ablehnung von H , wenn Abhängigkeit P₀² > P²_1;1!" ⁰

Medikamente

Medikament ohne Erfolg mit Erfolg 3 A

B

20 095 115

05 080 085

3 25 175 200

Auf 5% Signifikanzniveau ist Medikament A verschieden von B.