r s ’ ’ ’ 3.30 2 @ 32.626 2 @ MQ r r r r SD ’ > @ s @ % ’ > @ s @ ’ > @ ’ > @ s 1 1 2 2 @ MQ Biometrische und Ökonometrische Methoden II ! Lösungen 2 T U M - W

(1)

SD_" ' >@s@ 1 r_i

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' >@s@ 2

r

' >@ 2@MQ_R

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s_d ' 2@MQ_R r

' 2@32.62 6

' 3.30

MATHEMATIK UND STATISTIK,INFORMATIONS- UND DOKUMENTATIONSZENTRUM

Biometrische und Ökonometrische Methoden II ! Lösungen 2

1. a) Zunächst wird die Tafel der Varianzanalyse mit der optionalen Ausgabe der Mittelwerte erzeugt.

MTB > Retrieve 'H:\STUDENT\MINITAB\WIRSING.MTW'.

Retrieving worksheet from file: H:\STUDENT\MINITAB\WIRSING.MTW Worksheet was saved on 1/27/1997

MTB > ANOVA 'Ertrag' = 'Stufe';

SUBC> Means Stufe.

Analysis of Variance (Balanced Designs) Factor Type Levels Values

Stufe fixed 3 1 2 3 Analysis of Variance for Ertrag

Source DF SS MS F P Stufe 2 243.09 121.55 3.73 0.049 Error 15 489.36 32.62

Total 17 732.45 Means

Stufe N Ertrag 1 6 13.633 2 6 16.633 3 6 22.483

Die Grenzdifferenz SD (Significant Difference) ist bei balanzierten Designs allgemein:_"

Die verschiedenen Tests unterscheiden sich lediglich durch die Wahl der Fraktile >.

Die wahren Mittelwertsunterschiede sind betragsmäßig:

Stufe 2 Stufe 3 Stufe 1 3.00 8.85

Stufe 2 5.85

Die Standardabweichung der Mittelwertsdifferenzen ist im balanzierten Fall bei allen Vergleichen identisch:

(2)

2 2 2

2

vgl. Tab. A.6: Fraktilen der studentisierten Spannweitenverteilung in PRECHT/KRAFT: Biostatistik 2, S. 415

*

Fraktile beim Fisher-Test: > = tn!a;1!"/2 = t18!3;1! 0.025 = t15;0.975 = 2.1315.

MTB > InvCDF 0.975;

SUBC> T 15.

Inverse Cumulative Distribution Function Student's t distribution with 15 DF P( X <= x) x

0.9750 2.1315

Fraktile beim Bonferroni-Test: 3@2/2 = 3 Mittelwertsvergleiche, "´ = "/3 = 0.05/3 = 0.0167,

> = tn!a;1!"´/2 = t18!3;1! 0.0083 = t15;0.9917 = 2.6957.

MTB > InvCDF 0.9917;

SUBC> T 15.

Inverse Cumulative Distribution Function Student's t distribution with 15 DF P( X <= x) x

0.9917 2.6957

Fraktile beim Tukey-Test : > = q^* a,n!a;1!"/ = q3,15;0.95/ = 3.67/ = 2.5951.

Die Grenzdifferenzen berechnen sich dann mit s = 3.30 zu:_d

Test Fraktile Grenzdifferenz SD_5%

Fisher LSD Bonferroni FSD Tukey HSD

t_15;0.975 = 2.1315 t_15;0.9917 = 2.6957 q_3,15;0.95/ = 2.5951

2.1315 @ 3.30 = 7.03 2.6957 @ 3.30 = 8.90 2.5951 @ 3.30 = 8.56

Mit dem Fisher- und Tukey-Test läßt sich ein auf " = 5% signifikanter Mittelwertsunter- schied zwischen Stufe 1 (100 mm) und Stufe 3 (200 mm) sichern, da die wahre Mittel- wertsdifferenz von 8.85 größer ist als die jeweilige Grenzdifferenz von 7.03 bei Fisher und 8.56 bei Tukey. Mit dem Bonferroni-Test kann kein signifikanter Mittelwertsunterschied auf 5% Signifikanzniveau gesichert werden. Die beiden anderen Mittelwertsvergleiche zwischen Stufe 1 und 2 sowie Stufe 2 und 3 zeigen bei keinem Test Sigifikanz auf dem 5%-Niveau.

b) Da sich Stufe 1 und 2 sowie Stufe 2 und 3 auf 5% bei keinem Test unterscheiden, kann auf " = 1% auch kein Unterschied gesichert werden. Beim Vergleich Stufe 1 und 3 zeigt der Bonferroni-Test keine Signifikanz auf " = 5% und damit auch keine auf " = 1%. Es ist also lediglich der Vergleich Stufe 1 und 3 auf " = 1% mit Fisher und Tukey durchzuführen.

LSD = t_1% _15;0.995 @ s = 2.9467 @ 3.30 = 9.72, HSD = q_d _1% _3,15;0.99/ @ s = 3.42 @ 3.30 = 11.29_d Damit kann kein signifikanter Unterschied gesichert werden. Einfacher: Der p-Wert in der Tafel der Varianzanalyse aus Aufgabe a) ist 0.049. Dadurch existieren keine signifikanten Mittelwertsunterschiede auf " = 1%.

(3)

1/r_i%1/r_j

6¯y_i ! ¯y_j ± SD>_1!" ' 6¯y_i ! ¯y_j ± >@s_d>_1!"

>

µ₁ ! µ₃ 0 6¯y₁ ! ¯y₃ ± LSD>_95% ' 6!8.85 ± 7.03>_95% ' 6!15.88,!1.82>_95%

µ₁ ! µ₃ 0 6¯y₁ ! ¯y₃ ± FSD>_95% ' 6!8.85 ± 8.90>_95% ' 6!17.75,0.05>_95%

µ₁ ! µ₃ 0 6¯y₁ ! ¯y₃ ± HSD>_95% ' 6!8.85 ± 8.56>_95% ' 6!17.41,!0.29>_95%

µ₁ ! µ₃ < 0 ] µ₁ < µ₃ c) Bei unbalanzierten Designs ist bei der Berechnung der Standardabweichung der Differen-

zen der Term i.a. verschieden und damit auch die Grenzdifferenzen.

d) Das Vertrauensintervall für eine multiple Mittelwertsdifferenz lautet allgemein:

, wobei die Fraktile der jeweiligen Verteilung ist.

Mit den Grenzdifferenzen aus a) folgt für die Vertrauensintervalle der Mittelwertsdifferen- zen von Stufe 1 und 3:

Fisher Bonferroni Tukey

Bei Fisher und Tukey liegt die Mittelwertsdifferenz 0 nicht im 95%-Vertrauensintervall.

Damit ist ein signifikanter Mittelwertsunterschied auf " = 5% gesichert. Man kann sogar noch weiter schließen, da beide Intervallsgrenzen negativ sind: . Bei Bonferroni liegt 0 im Vertrauensintervall, die beiden Mittelwerte 1 und 3 sind also nicht signifikant verschieden. Man beachte, daß das Bonferroni-V.I. wesentlich weiter als das Fisher-V.I. oder Tukey-V.I. ist. Der Bonferroni-Test sowie ist also wesentlich strenger bzw.

konservativer, d.h. er liefert weniger Signifikanzen.

e) MTB > Oneway 'Ertrag' 'Stufe';

SUBC> Fisher 5;

SUBC> Fisher 1.667;

SUBC> Tukey 5.

One-Way Analysis of Variance Analysis of Variance for Ertrag

Source DF SS MS F P Stufe 2 243.1 121.5 3.73 0.049 Error 15 489.4 32.6

Total 17 732.4 Level N Mean StDev 1 6 13.633 5.776 2 6 16.633 5.560 3 6 22.483 5.795 Pooled StDev = 5.712

Fisher's pairwise comparisons Family error rate = 0.117 Individual error rate = 0.0500 Critical value = 2.131

Intervals for (column level mean) - (row level mean) 1 2

2 -10.027 4.027

3 -15.877 -12.877 -1.823 1.177

(4)

2 -11.884 5.884

3 -17.734 -14.734 0.034 3.034

Tukey's pairwise comparisons Family error rate = 0.0500 Individual error rate = 0.0202 Critical value = 3.67

2 -11.558 5.558

3 -17.408 -14.408 -0.292 2.708

MINITAB berechnet die Vertrauensintervalle für alle paarweisen Mittelwertsdifferenzen.

Man lehnt die Nullhypothese, daß zwischen zwei bestimmten Mittelwerten kein Unter- schied besteht, genau dann ab, wenn der Wert 0 nicht in das Vertrauensintervall der entsprechenden Mittelwertsdifferenz fällt. Wenn das Vertrauensintervall 0 enthält, kann man keinen Unterschied sichern

Die beiden Zahlen in der i-ten Spalte und j-ten Zeile sind die untere und obere Grenze des Vertrauensintervalls der Mittelwertsdifferenzen von i und j.

MINITAB gibt zwei Irrtumswahrscheinlichkeiten aus. Die Experimentweise Irrtumswahr- scheinlichkeit (family error rate) ist die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit, mindestens ein falsches Vertrauensintervall unter allen möglichen zu erhalten, d.h. sie ist die simultane Irrtumswahrscheinlichkeit des gesamten multiplen Testproblems/Experiments. Die Einzelirrtumswahrscheinlichkeit (individual error rate) ist die Irrtumswahrscheinlichkeit, daß irgendein Vertrauensintervall falsch ist, d.h. daß unabhängig von den anderen Mittelwertsvergleichen eine einzelne multiple Hypothese, daß zwei Mittelwerte gleich sind, irrtümlich abgelehnt wird. Sie ist also die Irrtumswahrscheinlichkeit für einen einzelnen Vergleich zweier Mittelwerte im Gesamtproblem.

Beim Fisher-Test ist das V.I. der Mittelwertsdifferenz von Mittelwert 1 und 3 wie in c) {!15.877, !1.823}. Der kritische Wert (Critical value = 2.131) ist genau die 97.5%Fraktile der t-Verteilung bei 15 Freiheitsgraden. Beim LSD-Test ist die simultane Irrtumswahrscheinlichkeit (family error rate) sehr viel größer als die individuelle Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% (hier 11.7%).

(5)

Beim Bonferroni-Test gibt man von vornherein eine kleinere individuelle Irrtumswahr- scheinlichkeit "/m bei Fisher an, sodaß der simultane Fehler des Gesamttestproblems auf jeden Fall kleiner (oder gleich) 5% bleibt. Es treten wie in c) keine signifikanten Unter- schiede auf.

Beim Tukey-Test wird das angegebene Niveau von 5% auch simultan für den Gesamttest eingehalten (family error rate). Die individuelle Irrtumswahrscheinlichkeit ist entsprechend kleiner als 5% (nämlich jeweils 2.02%).

Die Testergebnisse von MINITAB bestätigen die Handrechnung. Bei Fisher und Tukey bestehen jeweils signifikante Unterschiede zwischen den Bewässerungsstufen 1 und 3, bei Bonferroni gibt es keine signifikanten Unterschiede auf dem 5%-Niveau.

f) Die Grenzdifferenz ist die Hälfte der Länge des jeweiligen Vertrauensintervalls der Mittelwertsdifferenzen, also bei z.B. bei Tukey HSD = (5.558 ! (!11.558)) / 2 = 8.558.5%

g) MTB > Oneway 'Ertrag' 'Stufe';

SUBC> MCB 5 +1.

[ ... ]

Hsu's MCB (Multiple Comparisons with the Best) Family error rate = 0.0500

Critical value = 2.07

Intervals for level mean minus largest of other level means Level Lower Center Upper

1 -15.667 -8.850 0.000 2 -12.667 -5.850 0.967 3 -0.967 5.850 12.667

Auf 5% Signifikanzniveau kann Stufe 1 nicht den höchsten Ertrag haben, da die obere Grenze des Vertrauensintervalls 0 ist.

(6)

2 2. a) MTB > Oneway 'Zunahme' 'Futter';

SUBC> Fisher 0.05.

One-Way Analysis of Variance Analysis of Variance for Zunahme

Source DF SS MS F P Futter 4 146.20 36.55 4.83 0.005 Error 25 189.17 7.57

Total 29 335.37

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev

Level N Mean StDev ---+---+---+--- 1 6 11.333 2.066 (---*---)

2 6 14.333 3.266 (---*---)

3 6 17.167 2.787 (---*---) 4 6 13.167 2.563 (---*---)

5 6 16.833 2.927 (---*---) ---+---+---+--- Pooled StDev = 2.751 12.0 15.0 18.0

Intervals for (column level mean) - (row level mean) 1 2 3 4 2 -6.272

0.272

3 -9.105 -6.105 -2.562 0.438

4 -5.105 -2.105 0.728 1.438 4.438 7.272

5 -8.772 -5.772 -2.938 -6.938 -2.228 0.772 3.605 -0.395

Beim Fisher LSD-Test unterscheiden sich auf dem 5%-Niveau die Mittelwerte 1 - 3, 1 - 5, 3 - 4 und 4 - 5.

b) Die individuelle Irrtumswahrscheinlichkeit (Individual error rate) ist 5%, die multiple Irrtumswahrscheinlichkeit (Family error rate) ist 26.8% und 100% ! 26.8%

ist 73.2%.

c) Nach dem Additionstheorem der Normalverteilung ist die Varianz der Mittelwertsdifferenz gleich der Summe der Varianzen der Mittelwerte. Unter der Annahme homogener Varian- zen und eines balanzierten Designs ist die Varianz der Mittelwertsdifferenz dann doppelt so groß wie die Varianz eines Mittelwerts. Die Standardabweichung der Mittelwerts- differenz ist dann nur um den Faktor größer als die eines einzelnen Mittelwerts.

Dagegen bestimmt der Faktor 2 den Vergleich der Überlappung der Vertrauensintervalle für die einzelnen Mittelwerte.

(7)

d) MTB > Oneway 'Zunahme' 'Futter';

SUBC> Tukey 0.05.

Tukey's pairwise comparisons Family error rate = 0.0500 Individual error rate = 0.00702

1.660

3 -10.494 -7.494 -1.173 1.827

4 -6.494 -3.494 -0.660 2.827 5.827 8.660

5 -10.160 -7.160 -4.327 -8.327 -0.840 2.160 4.994 0.994

Mit dem Tukey-Test können im Gegensatz zum Fisher-Test auf dem 5%-Niveau lediglich zwei signifikante Mittelwertsdifferenzen gesichert werden und zwar 1 - 3 und 1 - 5. Der Tukey-Test ist also konservativer als der Fisher-Test. Dies liegt an der geringeren individuellen Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.7% bei Tukey im Vergleich zu 5% bei Fisher. Der Tukey-Test hält jedoch das multiple Niveau von 5%. Futtermischung 1 bringt gegenüber 3 und 5 jeweils eine geringere Gewichtszunahme, da die untere und obere Grenze des Vertrauensintervalls negativ sind, denn µ ! µ < 0, und damit µ < µ , sowie µ ! µ < 0,₁ ₃ ₁ ₃ ₁ ₅ also µ < µ . Es sind demnach auch einseitige Tests durchführbar.₁ ₅

e) MTB > Oneway 'Zunahme' 'Futter';

SUBC> Fisher 0.005.

Fisher's pairwise comparisons Family error rate = 0.0367 Individual error rate = 0.00500

1.888

3 -10.722 -7.722 -0.945 2.055

4 -6.722 -3.722 -0.888 3.055 6.055 8.888

5 -10.388 -7.388 -4.555 -8.555 -0.612 2.388 5.222 1.222

Bei Bonferroni muß zum individuellen Niveau 5%/10 = 0.5% getestet werden, weil 5@4/2

= 10 Mittelwertsvergleiche durchgeführt werden. Er hält zwar multiples Niveau, ist aber noch konservativer als Tukey.

(8)

f) MTB > GLM 'Zunahme' = Futter;

SUBC> Pairwise Futter;

SUBC> Tukey.

General Linear Model

Tukey Simultaneous Tests Response Variable Zunahme

All Pairwise Comparisons among Levels of Futter

Futter = 1 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted Futter of Means Difference T-Value P-Value 2 3.000 1.588 1.889 0.3488 3 5.833 1.588 3.673 0.0092 4 1.833 1.588 1.154 0.7764 5 5.500 1.588 3.463 0.0151 Futter = 2 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted Futter of Means Difference T-Value P-Value 3 2.833 1.588 1.7840 0.4045 4 -1.167 1.588 -0.7346 0.9463 5 2.500 1.588 1.5742 0.5267 Futter = 3 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted Futter of Means Difference T-Value P-Value 4 -4.000 1.588 -2.519 0.1184 5 -0.333 1.588 -0.210 0.9995 Futter = 4 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted Futter of Means Difference T-Value P-Value 5 3.667 1.588 2.309 0.1754 MTB > GLM 'Zunahme' = Futter;

SUBC> Control Futter;

SUBC> Levels 1;

SUBC> Dunnett.

General Linear Model

Dunnett Simultaneous Tests Response Variable Zunahme Comparisons with Control Level Futter = 1 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted Futter of Means Difference T-Value P-Value 2 3.000 1.588 1.889 0.2066 3 5.833 1.588 3.673 0.0041 4 1.833 1.588 1.154 0.6088 5 5.500 1.588 3.463 0.0069

Der Tukey- und der Dunnett-Test sichern Mittelwertsunterschiede auf " = 5% zwischen 1 ! 3 und 1 ! 5 bei p-Werten von 0.92% und 1.51% bzw. 0.41% und 0.69%.