Theoretische Chemie I

Theoretische Chemie I

Wichtige Grundlagen der linearen Algebra

Ubungen (Teil 1) ¨

Necesse est maximorum minima esse initia (Notwendigerweise sind die kleinsten Dinge die Anf¨ange der gr¨oßten) Publius Syrus Grundlagen:

Eine (r x c) Matrix M besteht aus r Zeilen und cSpalten,

M=









m₁₁ m₁₂ ... m_1c m₂₁ m₂₂ ... m_2c ... ... ... ...

m_r1 m_r2 ... m_rc









(1)

Die Multiplikation einer (r_a x c_a) MatrixA und einer (r_b x c_b) MatrixB, wobei gelten mussca=rb, ergibt eine (ra x cb) Matrix D mit den Matrixelementen

D_ij =

ca

X

k=1

a_ikb_kj . (2)

n-dimensionale Vektoren k¨onnen wie (n x 1) Matrizen behandelt werden. Das Skalarpro- dukt zweier n-dimensionaler Vektoren~a und~b

~a·~b=

n

X

k=1

a_kb_k , (3)

kann auch beschrieben werden als Multiplikation zweier (n x 1) Matrizen A und B, wobei die AdjungierteA^† der Matrix A gebildet werden muss,

(a)^†_ij =a^∗_ji , (4)

die f¨ur reelle Matrizen (a^∗_ji = a_ji) der Transponierten entspricht. Das Ergebnis der Multiplikation ist dann eine (1 x 1) Matrix

C = A^†B , c11 =

n

X

k=1

a1kbk1 . (5)

Aufgabe 1: Basissatz

Jeder Vektor a kann durch Angabe von Einheitsvektoren (Basisvektoren) ei und den jeweiligen Koeffizienten a_i dargestellt werden:

~a=a=a1~e1+a2~e2+a3~e3 =

3

X

i

ai~ei (6)

W¨ahlen Sie einen einfachenSatz von Basisvektoren und geben Sie die Koeffizienten a_i des Vektors



 1 2 3





in dieser Basis an!

Aufgabe 2: Matrizendarstellung

Orthonormale Basisvektoren haben die Eigenschaft:

~e_i·~e_j =~e_i^†~e_j =δ_ij =

1 wenn i=j

0 wenn i6=j (7)

Eine Matrix O kann, wie ein Vektor auch, aus den Basisvektoren durch Angabe von Einheitsvektoren und Koeffizienten dargestellt werden.

Zeigen Sie, dass f¨ur eine beliebige MatrixO in dieser Basis

O=





O₁₁ O₁₂ O₁₃ O₂₁ O₂₂ O₂₃ O₃₁ O₃₂ O₃₃



 (8)

gilt:

a) ~e_i^†O~e_j =O_ij,

b) wennO a=b⇒b_i =P

j

O_ija_j.

Aufgabe 3: Kommutatoren

Der Kommutator zweier Matrizen A und B ist gegeben durch:

[A,B] =AB−BA (9)

Berechnen Sie den Kommutator f¨ur:

A=





1 1 0

1 2 2

0 2 −1



 B =





1 −1 0

−1 0 0

1 0 1



 (10)

Aufgabe 4: Adjungierte und hermitesche Matrizen a) Zeigen Sie, dass gilt:

(A B)^† =B^†A^† (11)

Hinweis!: Definition der Matrizenmultiplikation C=AB =⇒ C_ij =X

k

A_ikB_kj (12)

Eine selbstadjungierte Matrix nennt man hermitesch: A^†=A

b) Zeigen Sie, falls das Produkt zweier hermiteschen Matrizen A und B auch her- mitesch ist, dassA und B kommutieren (d.h. [A,B] = 0)!

Aufgabe 5: Spur

Die Spur(eng.: trace) einer quadratischen Matrix ist gegeben durch TrA=X

i

A_ii (13)

und ist damit die Summe der Diagonalelemente dieser Matrix.

Beweisen Sie:

Tr (A B) = Tr (B A) (14)

Tr (A B C) = Tr (C A B) = Tr (B C A) (15) Aufgabe 6: Unit¨are Transformation

Mit einer unit¨aren Transformation U kann man eine (quadratische) Matrix (z.B. A) in eine andere Matrix (z.B. B) umwandeln:

A−→^U B mit B=U^†A U (16) Diese Transformation hat die Eigenschaft:

U^†U=U U^† =1 (17) a) Wie kann manB zu A transformieren?

b) Zeigen Sie, dass die Determinanten der beiden Matrizen gleich sind!

Hinweis! Es gilt: det(AB) = detA·detB

c) Zeigen Sie, dass sogar die Spuren der beiden Matrizen gleich sind!