Theoretische Chemie I

Theoretische Chemie I

Wichtige Grundlagen der linearen Algebra

Ubungen (Teil 2) ¨

Mathematik ist das Alphabet, mit dessen Hilfe Gott das Universum beschrieben hat Galileo Galilei

Aufgabe 1: Eigenwerte und Eigenvektoren Gegeben sei die folgende symmetrische Matrix:

F=

3 1 1 3

(1) a) Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von F.

Man kann generell eine hermitesche Matrix durch eine Unit¨artransformation diagonal- isieren. Die Diagonalelemente sind dann die Eigenwerte der Matrix.

Im Falle einer reellen hermiteschen Matrix kann man sie als symmetrisch bezeichnen.

Die diagonalisierende Transformation heißt dannorthogonal.

Den Diagonalisierungsvorgang k¨onnen wir i.A. folgendermaßen darstellen:

U₁₁ U₂₁ U12 U22

| {z }

U^†

O₁₁ O₁₂ O12 O22

| {z }

O

U₁₁ U₁₂ U21 U22

| {z }

U

=

ω₁ 0 0 ω2

| {z }

o

(2)

In unserem Fall habe dieU-Matrix folgende Form:

U=

cosθ sinθ sinθ −cosθ

(3) Sie wird auch “Rotationsmatrix” genannt.

b) Bilden Sie das Produkt U^†OU.

c) Zeigen Sie nun, dass die MatrixO nur dann durchUdiagonalisiert werden kann, wenn gilt:

1

2(O₁₁−O₂₂) sin(2θ)−O₁₂ cos 2θ = 0 (4) d) Berechnen Sie θ₀, die L¨osung der Gleichung (4), als Funktion von O₁₁,O₁₂ und

O₂₂.

e) Benutzen Sie dieses Ergebnis um die Matrix Fzu diagonalisieren.

Wir wollen die somit diagonalisierte Matrix analog f nennen.

f) Zeigen Sie, dass man aus f² durch unit¨are Transformation F² erh¨alt.

Tipp: Beachten Sie Gleichung (12) aus dem ersten ¨Ubungsblatt.

Aufgabe 2: Inhomogenes lineares Gleichungsystem

Ziel: Man m¨ochte das (inhomogene) lineare Gleichungssystem,

Q^ω ~x=~c (5)

mit Q^ω = (A−ω1),~x= L¨osung,~c= Inhomogenit¨at und vorgegebenem ω l¨osen.

Um dies zu erreichen, kann man das Gleichungssystem von links mit

G^ω = (Q^ω)⁻¹ = (A−ω1)⁻¹ (6) multiplizieren, und kann die Komponenten x_i der L¨osung leicht aus dem Produkt

xi =X

j

G^ω_ijcj (7)

bestimmen.

• Zeigen Sie, dass gilt:

(G^ω)_ij =X

k

U_ikU_jk^∗

a_k−ω (8)

Dabei sind a_k die Eigenwerte der Matrix A und U ist die (unit¨are) Matrix der Eigenvektoren von Q^ω.

Hinweis: UmG^ω zu erhalten diagonalisieren Sie zuerstQ^ω := (G^ω)⁻¹ mit Hilfe vonU.

Die so erhaltene Matrix k¨onnen Sie dann invertieren und anschließend wieder mit U r¨ucktransformieren (s. dazu auch Aufgabe 6, Blatt 1).

Aufgabe 3: Taylorreihe

Eine ∞-fach differenzierbare Funktion f(x) l¨asst sich durch eine Taylorreihe, f(x) =f(a) + (x−a) d

dxf(x)

x=a+ (x−a)² 2!

d² dx²f(x)

x=a+· · · (9)

⇒f(x) =

∞

X

n=0

(x−a)ⁿ n!

dⁿ dxⁿf(x)

x=a, (10)

um x=a entwickeln.

Entwickeln Sie folgenden Funktion bis zur 4.Ordnung um a= 0:

a) f(x) = cos(x) um a= 0 b) f(x) = exp(−x) uma = 0

Aufgabe 4: Lagrange Multiplikatoren (Optimierung mit Nebenbedingungen)

Mit Hilfe der Methode der Lagrange Multiplikatoren kann das Extremum einer Funk- tion bestimmt werden, deren Variablen durch Nebenbedingungen voneinander abh¨angen.

Dies findet z.B. sp¨ater in der Vorlesung bei der Hartree-Fock Methode Anwendung.

Hier wird die Energie unter der Nebenbedingung der Orthogonalit¨at der Orbitale min- imiert.

Die Extremwerte der Funktionu=f(x, y) mit der Nebenbedingungφ(x, y) = 0 werden aus den drei Gleichungen

∂

∂x[f(x, y) +λφ(x, y)] = 0, (11)

∂

∂y[f(x, y) +λφ(x, y)] = 0, (12)

∂

∂λ[f(x, y) +λφ(x, y)] =φ(x, y) = 0, (13) mit den Unbekannten x, y, λ bestimmt (λ sind die Lagrange Multiplikatoren).

Optimieren Sie nun die Funktion

f(x, y) = x²+ 2y² (14)

unter der Nebenbedingung

x+y= 3. (15)