Theoretische Chemie I

Theoretische Chemie I

Wichtige Grundlagen der linearen Algebra

L¨ osungen (Teil 1)

Aufgabe 1: Basissatz

Ein einfaches Beispiel sind orthonormierte Basisvektoren,

~e₁ =



 1 0 0



 , ~e₂ =



 0 1 0



 , ~e₃ =



 0 0 1



 .

In dieser Basis gilt f¨ur die Koeffizienten a₁, a₂, a₃: a₁ = 1 , a₂ = 2 , a₃ = 3 Aber es gibt beliebig viele andere M¨oglichkeiten, z. Bsp.

~e₁ =



 3 0 0



 , ~e₂ =



 0 1 0



 , ~e₃ =



 0 0 6



 .

In dieser Basis gilt f¨ur die Koeffizienten a₁, a₂, a₃: a₁ = 1

3 , a₂ = 2 , a₃ = 1 2 Aufgabe 2: Matrizendarstellung

a) Nur das i-te Element eines n-dimensionalen, orthonormalen Einheitsvektor~e_i ist ungleich 0 ((~e_i)_j =δ_ij). Somit gilt f¨ur das Produkt der Multiplikation~e_i^†O~e_j:

~e_i^†O~e_j =X

kl

(~e_i^†)_kO_kl(~e_j)_l=X

kl

δ_ikO_klδ_jl =O_ij

Aus den Summen ¨uberk und l bleib jeweils ein einziges Element, das ungleich 0 ist.

b) Setze die Definition~a =P

i

a_i~e_i ein und multipliziere von links mit~e^†_k: X

i

a_i~e^†_kO~e_i = X

j

b_j~e^†_k~e_j

Da~e^†_k~e_j =δ_kj, bleibt aus der Summe ¨uberj nur ein Element ¨ubrig:

X

i

ai~e^†_kO~ei = bk

Wie in Aufgabe a gezeigt gilt~e^†_kO~e_i =O_ki und somit:

bk =X

i

Okiai

Aufgabe 3: Kommutatoren

AB =





1 1 0 1 2 2 0 2 −1









1 −1 0

−1 0 0

1 0 1



=





0 −1 0

1 −1 2

−3 0 −1





BA =





1 −1 0

−1 0 0

1 0 1









1 1 0 1 2 2 0 2 −1



=





0 −1 −2

−1 −1 0

1 3 −1





[A,B] = AB−BA=





0 0 2

2 0 2

−4 −3 0





Aufgabe 4: Adjungierte und hermitesche Matrizen

a) Mit Hilfe der Definition der Matrixmultiplikation soll gezeigt werden, dass f¨ur das Produkt C=AB gilt (AB)^†=B^†A^†.

C_ij^† =C_ji^∗ = (X

k

AjkBki)^∗ =X

k

A^∗_jkB_ki^∗ =X

k

A^†_kjB_ik^†

Da die Matrixelemente A^†_kj und B_ik^† Zahlen sind, gilt das Kommutativgesetz:

C_ij^† = X

k

B_ik^†A^†_kj

C^† = B^†A^† b) Mit A=A^† und B =B^† gilt:

C=AB und C^† =B^†A^† =BA

Das Produkt ist also hermitesch (C = C^†), wenn AB = BA, was genau die Definition daf¨ur ist, dass A und B kommutieren.

Aufgabe 5: Spur

Auch in dieser Aufgabe wird wieder das Kommutativgesetz verwendet:

a)

Tr(AB) =X

i

(AB)_ii =X

ij

A_ijB_ji=X

ij

B_jiA_ij =X

j

(BA)_jj = Tr(BA) b)

Tr(ABC) =X

i

(ABC)_ii = X

ijk

A_ijB_jkC_ki

= X

ijk

C_kiA_ijB_jk = Tr(CAB)

= X

ijk

B_jkC_kiA_ij = Tr(BCA)

Aufgabe 6: Unit¨are Transformation

A −→^U B B = U^†A U U^†U = U U^†=1

a) von links U, von rechts U^†, um ausnutzen zu k¨onnen, dass U^†U=U U^†=1:

UBU^† = U U^†AU U^† UBU^† = A

b) mit det(AB) = detA·detB und U^†U=U U^† =1:

det(B) = det(U^†UB)

= det(U^†)·det(UB) = det(UB)·det(U^†)

= det(UBU^†) = det(A) c) vgl. Aufgabe 5

Tr(A) = Tr(UBU^†) = Tr(U^†UB) = Tr(B)