www.strobl-f.de/uebw17.pdf
Ubungsaufgaben weitere Themen ¨ W
Potenzen 17
1. Machen Sie sich die Rechenregeln von grundw17.pdf mit Zahlenbeispielen klar!
2. Vereinfachen Sie soweit m¨oglich:
(a) −5−4 (d)(144 + 25)12 −(14412 + 2512)
(b) (−2)−6 (e) 4
q√3
x2 (c) (5a2x)3·(2x2)4 : (ax)2 (f)
x 5
−n
: (5x)n (g) x6−x3
x4 (h) x6−x3
x4−x (i) (2x+ 8)3
(2x+ 4)5 (j) (−k)3x−2
x−4x−5 : k−4x 4a2x−1 (k) (x3−2x)−n−1
(x−2)−n−1 (l) (√
x−3)·2x− 12x−12 ·x2 (m) 76x+ 54x+ 32x
(n) a8x4·2a4−2a4xa8·4x3 (a8x4)2
(o) (x2−1)2·(−2x−6)−(−x2−6x−1)·2(x2−1)·2x (x2−1)4
(p) x12 · 13x−23 −(x13 −1)·12x−12
x122
3. Im einem Buch ist zu lesen, dass es ber 6 Trilliarden m¨ogliche Sudokus gibt.
Schreiben Sie diese Zahl mit Hilfe einer Zehnerpotenz.
Berechnen Sie dann, wie lange ein Computer pro Sudoku ben¨otigen d¨urfte, um alle Sudokus an einem Tag auszudrucken.
4. Geben Sie die Oberfl¨ache eines W¨urfels mit VolumenV an und verwenden Sie hierf¨ur verschiedene Schreibweisen.
5. In der Tonleiter bei temperierter Stimmung entspricht eine Quinte eine Frequenz- verh¨altnis von 12√
27 : 1, bei reiner Stimmung von3 : 2.
Berechnen Sie die Werte mit dem Taschenrechner. Um wie viel % weicht hier die temperierte Stimmung von der reinen Stimmung ab?
www.strobl-f.de/lsgw17.pdf
L¨osungen weitere Themen W
Potenzen 17
1. Zum Beispiel23·25 = 2·2·2 · 2·2·2·2·2 = 28 = 23+5, 2235 = 212 = 2−2 = 23−5, 23·53 = 2·2·2·5·5·5 = 2·5·2·5·2·5 = (2·5)3, 2533 = 2·2·25·5·5 = (25)3
(23)5 = (2·2·2)5 = (2·2·2)·(2·2·2)·(2·2·2)·(2·2·2)·(2·2·2) = 215 = 23·5 2. (a) −5−4 =−514 =−6251
(b) (−2)−6 = (−2)1 6 = +641 = 641
(c) (5a2x)3·(2x2)4 : (ax)2 = 125aa62xx32·16x8 = 2000aa2x62x11 = 2000a4x9 (d) (144 + 25)12 −(14412 + 2512) = √
169−(√
144 +√
25) = 13−(12 + 5) =−4 (e) 4
q√3
x2 =h(x2)13i
1
4 =x2·13·14 =x16 =√6 x (f) (x5)−n: (5x)n= (x1
5)n ·(5x)1n = 5xnn · 5n1xn = xn1·xn = x12n =x−2n (g) x6x−x4 3 = x3(xx34−1) = x3x−1
(h) xx64−x−x3 = xx(x3(x33−1)−1) =x2
(i) (2x+8)(2x+4)35 = [2(x+4)][2(x+2)]35 = 2235(x+4)(x+2)35 = 4(x+2)(x+4)35
(j) (−k)x−43xx−5−2 : 4ak−42x−1x = −k3xx24x5 · 4ak2−4x−1x =−k3x7x·x·4a2k4 =−4k7a2x5 (k) (x(x−2)3−2x)−n−1−n−1 = (x(x−2)3−2x)n+1n+1 =x(xx−22−2)
n+1
Hier kann nicht gek¨urzt werden; dies w¨are nur m¨oglich beim Nennerx2−4 = (x+ 2)(x−2).
(l) (√
x−3)·2x− 12x−12 ·x2 =x12 ·2x−6x− 12x1,5 = 2x1,5−6x−12x1,5 =
= 1,5x1,5 −6x= 1,5√
x3−6x
(m) 76x+ 54x+ 32xkann nicht vereinfacht werden.
(n) a8x4·2a(a4−2a8x4)42xa8·4x3 = 2a12xa416−8ax812x4 = −6aa1612x8x4 =−a46x4 =−6a−4x−4 (o) (x2−1)2·(−2x−6)−(−x2−6x−1)·2(x2−1)·2x
(x2−1)4 = (x2−1)(−2x−6)+(x2+6x+1)·4x
(x2−1)3 =
= −2x3−6x2+2x+6+4x(x2−1)3 3+24x2+4x = 2x3+18x(x2−1)2+6x+63
(p) x
1
2·13x−23−(x13−1)·12x−12
x12
2 =
=
1 3x−16−1
2x−16+12x−12
x = −
1
6x−16+12x−12
x = −
1 6x−16
x +
1 2x−12
x =−16x−76 +12x−32 3. 6 Trilliarden =6·1021
Zeit pro Sudoku:24h: (6·1021) = 10421·3600s= 144001021 s= 1,44·1010214 s= 1,44·10−17s.
4. Mit der Kantenl¨angeaistV =a3, alsoa =√3 V, Oberfl¨ache alsoO = 6a2 = 6√3
V2 = 6√3
V2 = 6V 23. 5. Temperierte Stimmung: 12√
27 : 1≈1,4983, reine Stimmung3 : 2 = 1,5.
Relative Abweichung: 1,4981−1,51,5 ≈ −0,00113 = −0,113 %, die Frequenz ist bei der temperierten Stimmung um ca. 0,113 % kleiner.
