Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theoretische Festk¨orperphysik Klassische Theoretische Physik III WS 2020/2021
Prof. Dr. M. Garst Blatt 9
Dr. B. Narozhny Abgabe 15.01.2021, Besprechung 19-20.01.2021
1. Elektromagnetische Induktion:
Ein d¨unner Leiter bildet eine Parabel in der xy-Ebene (y = ax2). Ein homogenes, konstantes externes Magnetfeld zeigt entlang derz-Achse. Zur Zeitt= 0 beginnt ein waagrecht ausgerichteter Draht, der die beiden Parabelst¨ucke verbindet, vom Schei- telpunkt aus mit einer konstanten Beschleunigung w nach oben zu gleiten (siehe Bild).
Finden Sie die elektromotorische Kraft in der Schleife als Funktion von y.
Nach der Lenz’schen Regel, fließt der Strom in der Schleife im Gegenuhrzeigersinn.
Von dem Faraday’schen Gesetz finden wir die EMK ξ=
dΦ dt
, wobei
dΦ = B·dS =−2Bxdy, y=ax2, x= ry
a dy
dt =p 2wy.
Deswegen
ξ = 2B ry
a dy dt =By
r8w a .
(a) Eine quadratische Drahtschleife mit der Seitenl¨ange a liegt im ersten Quadran- ten der xy-Ebene, mit einer Ecke im Ursprung. In diesem Bereich wirkt ein un- gleichm¨aßiges zeitabh¨angiges MagnetfeldB(y, t) =ky3t2ez (wobei k eine Konstante ist). Bestimmen Sie die in der Schleife induzierte elektromotorische Kraft.
Die EMK ist nochmals
ξ=
dΦ dt
, wobei
Φ = Z
dxdyB =kt2
a
Z
0
dx
a
Z
0
dy y3 = 1 4kt2a5. Deswegen
ξ= 1 2kta5.
2. Ladekondensator:
Ein dicker Draht (Radius a), f¨uhrt einen konstanten Strom I, der gleichm¨aßig ¨uber seinen Querschnitt verteilt ist. Ein schmaler Spalt im Draht, mit der Breite w a, bildet einen Parallelplattenkondensator, wie in der Abbildung dargestellt. Der Strom I f¨uhrt zu einer zeitlich ver¨anderlichen Fl¨achenladungsdichte σ(t) am Kondensator.
Nehmen Sie an, dass σ(t) = 0 bei t = 0.
(a) Bestimmen Sie die elektrischen und magnetischen Felder im Spalt als Funktionen der Abst¨ande von der Achse und der Zeit t.
F¨ur wa
E = 4πσ
4π0ez, σ = Q πa2. Die Ladung ist
Q=It, deswegen
E = 4It 4π0a2ez.
Das MagnetfeldB =Beϕ finden wir mithilfe des Amperschen Gesetzes:
I
∂F
B·dl= 1 c
Z
F
df
4πµ0 4πj +1
c
∂E
∂t
.
Als die Fl¨acheF, w¨ahlen wir den Kreis mit Radiuss, der um diez-Achse zentriert ist. Da es kein Strom in Spalt gibt
2πsB =πs21 c 1 c
∂Ez
∂t ⇒ B = 2Is a2c
1 4π0c, sodass in SI
B = µ0Is 2πa2.
(b) Ermitteln Sie die Energiedichte und den Poynting-Vektor S im Spalt. Beachten Sie insbesondere die Richtung von S.
Die Energiedichte wem = 4π0
8π
E2+ 1 µ00B2
= 1 4π0
2I2 πc2a4
(ct)2+ (s/2)2 .
Der Poynting-Vektor S = c
4π 4π
cµ0E×B= 2I2st πa4
1
4π0ez×eϕ =− 1 4π0
2I2st πa4 er.
(c) Pr¨ufen Sie, ob Ihr Ergebnis die Kontinuit¨atsgleichung innerhalb des Spaltes erf¨ullt Wir berechnen die zwei Ableitungen:
∂wem
∂t = 1 4π0
4I2t πa4,
∇·S =− 1 4π0
2I2t
πa4∇·(ser) = − 1 4π0
4I2t πa4. Die Summe davon ergibt
∂twem+∇·S = 0.
(d) Bestimmen Sie die Gesamtenergie im Spalt als Funktion der Zeit. Berechnen Sie die Gesamtenergie, die in den Spalt fließt, durch Integration des Poynting-Vektors
¨uber die entsprechende Fl¨ache. Pr¨ufen Sie, ob die Leistungsaufnahme gleich der Steigerungsrate der Energie im Spalt ist.
Die Gesamtenergie im Zylinder von Radius b Wem =
Z
dV wem = 2πw Z
sds wem
= 2πw 1 4π0
2I2 πc2a4
b
Z
0
ds s
(ct)2+ (s/2)2
= 1 4π0
2I2wb2 c2a4
(ct)2+ b2 8
.
Die Leistungsaufname durch die Oberfl¨ache des Zylinders Pin=−
Z
S·df = 1 4π0
2I2t
πa4ber·(2πbwer) = 1 4π0
4I2wb2t a4 . Es folgt
∂Wem
∂t =Pin.
3. Drehmoment auf Stromverteilung:
Ein geladener Parallelplattenkondensator (mit gleichm¨aßigem elektrischem Feld E = Eez) befindet sich in einem gleichm¨aßigen Magnetfeld B=Bex.
(a) Bestimmen Sie den elektromagnetischen Impuls im Raum zwischen den Platten.
Die Impulsdichte
Πem = 1
c2S = 1 c2
c 4π
4π
cµ0E×B= 4π cµ0
EB 4πcey. Der Impuls
pem= 4π cµ0
EB 4πcAdey.
(b) Nun wird ein widerstandsf¨ahiger Draht zwischen den Platten, entlang der z-Achse, angeschlossen, so dass sich der Kondensator langsam entl¨adt. Der Strom durch den Draht erf¨ahrt eine magnetische Kraft; wie hoch ist der Gesamtimpuls, der w¨ahrend der Entladung an das System abgegeben wird?
Von Impulserhaltung: gleich als pem. Berechnung:
p=
∞
Z
0
Fdt=
∞
Z
0
dt Il×B =Bdez×ex
∞
Z
0
dt I.
Da
I =−dQ dt , finden wir
p=Bdey[Q(0)−Q(∞)] =BQdey. Die ursprungliche Ladung finden wir vom elektrischen Feld
E = 4πσ
4π0ez, σ = Q
A ⇒ Q=4π0
EA 4π . Letztendlich
p= 4π0
4π EBAdey ⇒ p=pem.
