1. ¨ Ubung zu Theorie D: Quantentheorie
Universit¨ at Karlsruhe SS 2007
Prof. Dr. Gerd Sch¨ on— Dr. Anna Posazhennikova, PD Dr. Wolfgang Wenzel
www.tfp.uni-karlsruhe.de/Lehre/
Pr¨asentation: Mittwoch, 25.04.2007 in den ¨Ubungen Aufgabe 1: Gauß-Integral
(a) Zeigen Sie, dass
Z ∞
−∞
dxexp
−α 2x2
= r2π
α, wobei α∈Cund Re α >0.
Anleitung: Betrachten Sie das Quadrat des obigen Integrals und benutzen Sie Polarkoordinaten.
(b) Zeigen Sie, dass
Z ∞
−∞
dxexp
−α
2x2+βx
= r2π
α exp β2
2α
, wobei α, β∈Cund Re α >0 .
2 Punkte Aufgabe 2: Fresnel-Formel
Beweisen Sie durch Konturintegration, dass Z ∞
−∞
dxexp iα
2x2
= s2π
|α| √
i α >0, 1/√
i α <0.
1 Punkte Aufgabe 3: Entwicklung eines Gauß’schen Wellenpakets
Betrachten Sie ein eindimensionales Gauß’sches Wellenpaket Ψ(x,0) =
Z ∞
−∞
√dk
2πg(k)e−ikx
mit g(k) =Constexp(−a42(k−k0)2), wobeig(k) eine reelle Funktion ist.
(a) Was ist die normierte Wellenfunktion Ψ(x,0)?
(b) Wie entwickelt sich Ψ(x, t) mit der Zeit wenn das PotenzialV(x, t) = 0 ist? Bestimmen Sie Ψ(x, t). Zur Vereinfachung d¨urfen Sie die Vorfaktoren vor den Exponentialausdr¨ucken ignorieren.
(c) Was ist |Ψ(x, t)|2? Wie w¨achst ∆x(t)? Was passiert beit <0?
(d) Was ist (∆k)2?
4 Punkte
