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Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Sch¨afer

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02. Juni 2008

Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Sch¨afer

Theoretische Physik II — Haus¨ ubung 8

Abgabe: 09. Juni 2008

H23. Drehimpulsoperatoren (8P)

Aus der Vorlesung sind die Differentialoperatoren L ˆ ± = ~ e ±iφ

± ∂

∂θ + i cos θ sin θ

∂φ

, L ˆ z = −i ~ ∂

∂φ bekannt.

i) Zeigen Sie, dass diese die Kommutatoralgebra [ ˆ L + , L ˆ ] = 2 ~ L ˆ z , [ ˆ L z , L ˆ ± ] = ± ~ˆ L ±

erf¨ ullen (4P).

ii) Zeigen Sie, dass aus der Kommutatoralgebra aus i) mit L ˆ x = 1

2 ( ˆ L + + ˆ L ) , L ˆ y = 1

2i ( ˆ L + − L ˆ ) die Drehimpulsalgebra

[ ˆ L j , L ˆ k ] = i ~ X

l

ǫ jkl L ˆ l , j, k, l = x, y, z

folgt (2P).

iii) Zeigen Sie unter Verwendung des Skalarprodukts in Kugelkoordinaten,

hψ|χi = Z ∞

0

r 2 dr Z 2 π

0

dφ Z π

0

sin θdθψ (r, θ, φ)χ(r, θ, φ) ,

dass ˆ L + und ˆ L adjungierte Operatoren sind, ˆ L + = ˆ L (2P).

H24. Kugelfl¨ achenfunktionen (4P) i) Finden Sie ausgehend von

Y 2 − 2 (θ, φ) = r 15

32π sin 2 θe 2

durch wiederholtes Anwenden des Leiteroperators ˆ L + die Kugelfl¨achenfunktionen Y 2 M (θ, φ), M = −1, 0 (2P).

ii) Berechnen Sie Y 21 (θ, φ) und Y 22 (θ, φ) aus der allgemeinen Formel Y LM (θ, φ) = (−1) M Y L−M (θ, φ) (1P).

iii) Zeigen Sie, dass Y 2M (θ, φ) und Y 2 M

(θ, φ ) f¨ ur M 6= M orthogonal sind (1P).

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