F¨ur die Einteilchen-Zust¨ande gilt: H1|λi = λ|λi wobei H1 der Hamiltonoperator eines Teilchens ist

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III (Theorie F – Statistische Mechanik) SS 17

Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterl¨osung: Blatt 7

PD Dr. Igor Gornyi, Janina Klier Besprechung: 09.06.2017

1. Besetsungszahlen in einem Fermi-Gas: (9+5=14 Punkte) Betrachten Sie ein Fermi-Gas im großkanonischen Ensemble. Die Teilchen sind unun- terscheidbar und unabh¨angig. Wir bezeichnen mitn_λ die Zahl der Teilchen, die sich im Quantenzustand λ befinden.

Bemerkung (Grundlagen aus der Vorlesung):

In einem Fermi-Gas

n_λ =

1, wennλbesetzt ist

0, wennλleer ist ⇒ n_λ =n²_λ. F¨ur die Einteilchen-Zust¨ande gilt:

H₁|λi = _λ|λi

wobei H₁ der Hamiltonoperator eines Teilchens ist. Die Vielteilchen-Zust¨ande geben wir in der Besetzungszahldarstellung an:

|Ψi = |n₁, n₂, ..., n_λ, ....i

wobei nλ angibt, wie viele Teilchen sich im Einteilchen-Zustand |λi befinden.

Damit ist dann sowohl die Gesamtenergie und als auch die Gesamtteilchenzahl eindeutig durch dien_λ charakterisiert:

E({n_λ}) = X

λ

_λn_λ N({n_λ}) = X

λ

n_λ.

Man kann dann die Zustandssumme im großkanonischen Ensemble wie folgt berechnen:

Z_G= X

{n_λ}

e^{−β[E({nλ})−µN({nλ})]} = X

{n_λ}

e^{−βPλnλ(λ−µ)} = X

n1,n2,...

e^{−βn1(1−µ)}e^{−βn2(2−µ)} . . .

⇒ Z_G = Y

λ

Z_λ mit Z_λ = X

nλ

e^{−βnλ(λ−µ)}.

F¨ur Fermionen kann n_λ nur die Werte 0 oder 1 annehmen (Pauli-Prinzip), dann kann man Z_λ einfach berechnen:

Z_λ = 1

|{z}n_λ=0

+e^{−β(λ−µ)}

| {z }

n_λ=1

.

Die großkanonische Zustandsfunktion lautet:

W({n_λ}) = 1

Z_Ge^{−β(E({nλ})−µN({nλ}))}

und gibt die Wahrscheinlichkeit an, das System in einem Zustand {n_λ} zu finden. Weil Zustandsoperator und Zustandssumme faktorisieren, ist die Wahrscheinlichkeit, dass

|λi mit nλ Teilchen besetzt ist, gegeben durch:

W(n_λ) = 1

Z_λe^{−βnλ(λ−µ)} (a) Beweisen Sie, dass hn²_λi=hn_λi und hn_λ1n_λ2i=hn_λ1ihn_λ2i.

L¨osung:

Die mittlere Besetzungszahl eines Zustands ist durch hn_λi = 1

Z_λ X

nλ

n_λe^{−βnλ(λ−µ)} = e^{−β(λ−µ)}

Z_λ = 1

e^β(λ−µ) + 1

gegeben. Wegenn_λ ={0,1}gilt bei Fermionenn²_λ = n_λund deswegen offensichtlich W(n²_λ) = W(n_λ). Damit folgt:

hn²_λi = 1 Z_λ

X

n_λ

n²_λe^{−βnλ(λ−µ)} = e^{−β(λ−µ)}

Z_λ = 1

e^β(λ−µ) + 1, womit hnλi = hn²_λigezeigt ist:

hn²_λi=X

nλ

n²_λW_λ(n_λ) =X

nλ

n_λW_λ(n_λ) = hn_λi

Nun untersuchen wir die Korrelation zweier Besetzungszahlen. F¨urλ₁ 6=λ₂ gilt:

W_λ1λ2(n_λ1λ2) = W_λ1(n_λ1)W_λ2(n_λ2), Wie oben berechnen wir wieder:

hn_λ1n_λ2i= 1 Z_λ1

1 Z_λ2

X

nλ1, nλ2

n_λ1n_λ2e^{−βnλ1(λ1−µ)}e^{−βnλ2(λ2−µ)}

= 1

Z_λ1Z_λ2e^{−β(λ1+λ2−2µ)} = 1

(e^β(λ1−µ) + 1)(e^β(λ2−µ) + 1)

Dann benutzen wir das Ergebnis f¨urhn_λi:

hn_λ1ihn_λ2i = 1

e^β(λ1−µ) + 1 · 1 e^β(λ2−µ) + 1 womit die Relation hnλ1nλ2i = hnλ1ihnλ2igezeigt ist.

hn_λ1n_λ2i= X

nλ1nλ2

n_λ1n_λ2W_λ1λ2(n_λ1λ2) = X

nλ1nλ2

n_λ1n_λ2W_λ1(n_λ1)W_λ2(n_λ2)

=X

nλ1

nλ1Wλ1(nλ1)X

nλ2

nλ2Wλ2(nλ2) =hnλ1ihnλ2i.

Die Besetzungszahlen der Einteilchen-Niveaus in einem idealen Fermi-Gas sind also nicht korreliert.

(b) Zeigen Sie, dass f¨ur die Schwankung der Gesamtteilchenzahl (∆N)² =hN²i − hNi² (i) ∆N

hNi 6 1

phNi; (ii) ∆N

hNi →0 f¨urT →0 undhNi= konst.

L¨osung: F¨ur die Gesamtteilchenzahl gilt hNi=X

λ

hn_λi,

hNi² = X

λ

hnλi

!2

=X

λ

hnλi²+ X

λ16=λ₂

hnλ1ihnλ2i,

hN²i=

* X

λ

nλ

!2+

=X

λ

hn²_λi+ X

λ16=λ₂

hnλ1nλ2i.

Mit den oben berechneten Relationen erhalten wir (∆N)² ≡ hN²i − hNi² =X

λ

hn²_λi − hn_λi²

=X

λ

hn_λi[1− hn_λi], deswegen

(∆N)² =hNi −X

λ

hnλi² 6hNi.

Letztendlich

∆N 6p

hNi ⇒ ∆N

hNi 6 1 phNi. WennT = 0, dann hn_λi= 0,1, deswegen

∆N(T = 0) = 0

und ∆N

hNi →0 f¨urT →0 undhNi= konst.

2. Prinzip der maximalen Entropie in einem Quantengas: (5+5+6=16 Punkte) In dieser Aufgabe wird die Entropie eines idealen Quantengas in einem beliebigen Zu- stand des Systems (der im Allgemeinen kein Gleichgewichtszustand ist) diskutiert. Da- bei soll gezeigt werden, dass die Bose- und Fermi-Verteilungsfunktionen aus dem Prinzip der maximalen Entropie abgeleitet werden k¨onnen.

Wir betrachten ein Quantengas aus N 1 nichtwechselwirkenden Bosonen oder Fer- mionen. Wir w¨ahlen ein Energie-Fenster ∆E, so dass ∆E klein im Vergleich zur Ge- samtenergie E des Systems ist. Dann kann man Einteilchen-Zust¨ande λ mit Energien j∆E < _λ < (j + 1)∆E zur Gruppe j zusammenfassen. Jede Gruppe enth¨alt ν_j 1 Einteilchen-Zust¨ande, die vonN_j 1 Teilchen besetzt werden. Die Entropie des makro- skopischen Zustands ist dann durch die Verteilung auf die einzelnen Gruppen gegeben:

S =k_BX

j

ln [Γ_j(N_j)]

Hier ist Γ_j(N_j) die Anzahl der M¨oglichkeiten N_j Teilchen auf dieν_j Zust¨ande in Grup- pe j zu verteilen.

(a) Berechnen Sie Γ_j(N_j) und die Entropie f¨ur Fermionen. Dr¨ucken Sie Ihr Ergebnis in Abh¨angigkeit vonν_j und der mittleren Teilchenzahl der Gruppej,n_j =N_j/ν_j, aus.

L¨osung:

Wir betrachten diej-te Gruppe von Zust¨anden. Das heißt, dass wir N_j Fermionen in ν_j Zust¨ande platzieren m¨ussen. Jeder Zustand kann nur durch ein Fermion be- setzt werden. Deshalb ist die Anzahl der M¨oglichkeiten die Fermionen zu platzieren gleich der Anzahl an M¨oglichkeiten N_j Zust¨ande aus denν_j verf¨ugbaren Zust¨anden auszuw¨ahlen:

Γ_j(N_j) = ν_j!

N_j!(ν_j −N_j)!. (1) Wir k¨onnen daher die Entropie mit der asymtotischen N¨aherung

lnn!≈nlnn−n, n 1. (2)

schreiben als S=k_BX

j

ln [Γ_j(N_j)]

=k_BX

j

[ν_jlnν_j−N_jlnN_j−(ν_j−N_j) ln(ν_j−N_j)−ν_j +N_j+ (ν_j −N_j)]

=k_BX

j

[(ν_j−N_j +N_j) lnν_j −N_jlnN_j−(ν_j−N_j) ln(ν_j −N_j)] =

=−k_BX

j

N_jlnN_j νj

+ (ν_j−N_j) lnν_j−N_j νj

=−k_BX

j

ν_j[n_jlnn_j+ (1−n_j) ln(1−n_j)]. (3) (b) Wiederholen Sie die Rechnung aus der Aufgabe (a) f¨ur Bosonen.

L¨osung:

Im Fall von Bosonen kann jeder Zustand maximalNj-fach besetzt sein. Die Anzahl der M¨oglichkeiten,N_j Bosonen in ν_j Zust¨ande zu verteilen ist identisch zur Anzahl der M¨oglichkeiten, N_j identische B¨alle in ν_j Boxen zu verteilen.

Das erste Element muss eine Box (Zustand) sein. Dann bleiben N_j +ν_j −1 Ele- mente, die in irgendeiner Weise angeordnet werden m¨ussen. Allerdings sind die Anordnungen identisch, die durch Permutation von Boxen oder durch Permutati- on von B¨allen ineinander ¨uberf¨uhrt werden k¨onnen, wir m¨ussen deshalb durch die Anzahl m¨oglicher Permutationen N_j! und (ν_j −1)! teilen. Damit

Γ_j(N_j) = (Nj+νj−1)!

N_j!(ν_j −1)! (4)

Wir berechnen die Entropie analog zur vorherigen Teilaufgabe. Das Ergebnis lautet S =X

j

ν_j[(1 +n_j) ln(1 +n_j)−n_jlnn_j]. (5) (c) Bei festgehaltenen E und N benutzen Sie das Prinzip der maximalen Entropie im

Gleichgewicht um die Fermi- und Bose-Verteilungsfunktionen zu erhalten.

L¨osung:

Um die Fermi-und Bose-Statistik aus der Prinzip der maximalen Entropie herzulei- ten, beginnen wir mit

S=−k_BX

j

ν_j[n_jlnn_j + (1−n_j) ln(1−n_j)] (6) Wir halten die GesamtteilchenzahlP

jNj =νjnj und die GesamtenergieP

jEjνjnj

in unserem System fest und benutzen Lagrangemultipikatoren um diese Randbe- dingungen in Betracht zu ziehen, insbesondere m¨ussen wir

−k_BX

j

ν_j[n_jlnn_j + (1−n_j) ln(1−n_j)]−λ_NX

j

ν_jn_j−λ_EX

j

ν_jE_jn_j. (7) maximieren. Ableiten nach n_j f¨uhrt zu

−lnn_j + ln(1−n_j)−λ_N −E_jλ_E = 0. (8) Die L¨osung

n_j = 1

1 + exp (λN +EjλE) (9)

ist die Fermi-Verteilung mit der TemperaturT = 1/kBλE und chemischen Potential µ=−k_BT λ_N.

Die Betrachtung der Bose-Verteilung ist komplett analog.

3. W¨armekapazit¨at des idealen Bose-Gases: (10 Punkte + 10 Bonuspunkte) Betrachten Sie ein ideales Bose-Gas aus spinlosen Teilchen in DDimensionen mit che- mischem Potential µ= 0.

(a) Bestimmen Sie das Temperaturverhalten der W¨armekapazit¨at c_V f¨ur die Dispersi- onsrelation des Teilchens

ε_~p =ε₀· p

p₀ α

, α >0

mit ε₀, p₀ Konstanten und p= |~p|. Die explizite Berechnung des T-unabh¨angigen Koeffizienten ist nicht gefordert.

L¨osung

Innere Energie:

U

V = 1 (2π~)^D

Z

d^Dp ε_~p

e^βε~p−1 = ε₀p^D₀ (2π~)^Dσ_D

Z

dq q^D−1+α

exp (βε₀q^α)−1 (10) wobeiq =p/p₀ und σ_D die Oberfl¨ache einerD-dimensionalen Einheitskugel ist.

Wir substituieren:

z = (βε₀)^1/αq, q=z k_BT

ε₀ 1/α

U

V = ε₀p^D₀ (2π~)^Dσ_D

k_BT ε₀

^D+α_α Z

dzz^D+α−1 e^zα −1

| {z }

AD,α

(11)

wobeiA_D,α ein T-unabh¨angigen Koeffizient ist. Damit folgt:

c_V = ∂U

∂T

V

= D+α

α σ_DA_D,α ε₀p^D₀ (2π~)^D

1 T

k_BT ε₀

^D+α_α

∝T^Dα. (12) (b) 10 Bonuspunkte:

Betrachten Sie nun die Dispersionsrelation ε~p = ∆ + A

2p²₀ p²−p²₀2

,

wobei p₀,A und ∆Ap²₀ Konstanten seien. Bestimmen Sie das f¨uhrende Tempe- raturverhalten der W¨armekapazit¨atcV sowohl f¨urkBT ∆ und ∆kBT Ap²₀. L¨osung:

F¨urk_BT ∆ ist die Energie im Prinzip unabh¨angig vom Impuls und daher k¨onnen wir n¨aherungsweise schreiben

ε_~p = ∆ (13)

Die innere Energie vereinfacht sich zu U ∼ ∆

e^β∆−1 '∆e^{−kB T∆} (14) und die W¨armekapazit¨at ist ebenfalls exponentiell klein.

Die L¨osung ist interessanter f¨ur k_BT ∆. Zur Vereinfachung in diesem Bereich setzen wir ∆ = 0. Die niedrigste Energie ist nicht (wie im vorherigen Problem) bei p= 0, sondern f¨ur Impulse auf der Kugel |~p|=p₀. Wir entwickeln die Impulse um diese Kugel und schreiben mit ~q=~p−p₀~p/p:

U

V ∼ 1

(2π~)^D Z

dq (q−p₀)^D−1 Aq² exp (βAq²)−1 ' p^D−1₀

(2π~)^D Z

dq Aq²

exp (βAq²)−1. (15)

Im letzten Schritt haben wir benutzt, dass kBT Ap²₀. Dies impliziert, dass die relevanten Impulse des Integrals q p₀ befolgen. Das erhaltene Ergebnis ist (f¨ur alle Dimensionen) gleich dem Ergebnis aus 3(a) mitD= 1 und α= 2. Wir k¨onnen daher einfach dieses Resultat benutzen, welches lautet

U ∝T^3/2 (16)

und

c_V ∝T^1/2. (17)

Systeme mit einer erweiterten (D−1)-dimensionalen Manifaltigkeit der niederener- getischen Anregungen verhalten sich effektiv wie ein ein-dimensionales System.