Statistische Mechanik, SS21: ¨ Ubung 3
Abgabefrist: Mi., 5. Mai 2021, 8:00 a.m.
Besprechung: Fr., 7. Mai 2021
Freies ideales Quantengas
Wir betrachten ein freies ideales Quantengas. Die Teilchenenergien sind unabh¨angig vom Spin und sein g-fach entartet. Teilchen- und Energiedichte sind gegeben durch:
N
V =g 4π (2π¯h)3
Z ∞ 0
dp p2
eβ(−µ)∓1, (1)
E
V =g 4π (2π¯h)3
Z ∞ 0
dp p2(p)
eβ(−µ)∓1. (2)
F¨ur Fermionen (Bosonen) gilt das untere (obere) Vorzeichen.
Bsp. 1: Quantenkorrektur zum klassischen idealen Gas
13 Punkte Wir betrachten nicht-relativistische Teilchen mit =p2/(2m)und niedrige Besetzungszahlen (verd¨unntes Gas), d.h.e−β(−µ)1.
(a) Zeige, dass in diesem Grenzfall gilt:
1
eβ(−µ)∓1 ≈ze−β±z2e−2β (3)
mit der Fugizit¨atz =eβµ 1.
(b) Berechne N/V und E/V in f¨uhrender Ordnung in z. Zeige, dass N = gzV /λ3 mit λ=p
2π/(mkT)¯h, undE = 32N kT.
(c) Berechne nun den Korrekturterm der Ordnungz2. Zeige:
N ≈gV λ3
z± z2 23/2
(4) E ≈gV
λ3 3 2kT
z± z2 25/2
(5)
≈ 3 2N kT
1∓ 1 25/2
λ3N gV
(6) Im letzten Schritt kombinieren wir Gl. (4) und (5) und verwendenz2 ≈ λg62NV22. Mit der Be- ziehung P = 23EV erhalten wir damit auch die Quantenkorrektur zur idealen Gasgleichung P V =N kT.
1
Bsp. 2: Relativistisches Gas
12 Punkte Wir betrachten nun masselose oder relativistische Teilchen mitmc2 kT und somit =cp, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Weiters nehmen wir an, dass das chemische Potential verschwindet, µ= 0. Diese Situation findet wichtige Anwendungen in der Kosmologie.
(a) Zeige, dass f¨ur Bosonen gilt
(N/V)Boson =gζ(3) π2
kT
¯ hc
3
(7) (E/V)Boson =gπ2
30 (kT)4
(¯hc)3 (8)
und f¨ur Fermionen:
(N/V)Fermion = 3
4(N/V)Boson, (E/V)Fermion= 7
8(E/V)Boson. (9) (b) Die kosmische Hintergrundstrahlung wird durch ein thermisches Gas von Photonen be-
schrieben. Die Temperatur der kosmischen Hintergrundstrahlung betr¨agt heute 2.7 K.
(i) Berechne die Anzahl an Photonen pro cm3.
(ii) Ungef¨ahr 1 s nach dem Urknall hatte das Universum eine Temperatur von kT ≈ 1 MeV. Berechne die Anzahl an Photonen sowie die Anzahl an Elektronen pro cm3 zu diesem Zeitpunkt. Warum kann man die Formel nicht verwenden, um die Elektronanzahl heute zu berechnen?
Hinweis: F¨ur Photonen giltg = 2(2 Spinrichtungen bzw. 2 Polarisationen), f¨ur Elektronen gilt g = 4 (2 Spinrichtungen je Teilchen und Antiteilchen).
Bonusaufgabe: Gleichgewichtsverteilungen
10 Punkte In dieser Aufgabe werden wir die Bose-Einstein- und die Fermi-Dirac-Verteilungen herleiten.
Betrachte ein System von N nicht-wechselwirkenden, ununterscheidbaren Teilchen in einem Volumen V und einer GesamtenergieE. Die Entropie des System ist gegeben durch
S(N, V, E) = kBln Ω(N, V, E) , (10) wobeiΩ(N, V, E)die Anzahl der unterschiedlichen Mikrozust¨ande ist, die zu einem Makrozu- stand (N, V, E)geh¨oren. Wir teilen das Energiespektrum in viele Energieintervalle, wie in der Abbildung dargestellt, ein. εi beschreibt die mittlere Energie der Energieniveaus und gi 1
2
Abbildung 1: Energieintervalle
die Anzahl an Niveaus im i-ten Intervall. Jedes Intervall enth¨alt ni Teilchen. Es gelten die folgenden Bedinungen:
X
i
ni = N
X
i
εini = E . (11)
Sei w(i) die Anzahl unterschiedlicher Mikrozust¨ande im i-ten Intervall. Dann ist die Anzahl unterschiedlicher Mikrozust¨ande der Verteilung{ni}
W{ni}=Y
i
w(i) (12)
und
Ω(N, V, E) = X
{ni}
0W{ni} , (13)
wobei das Symbol 0 anzeigt, dass in der Summe nur Mengen {ni} enthalten sind, die Glei- chung (11) erf¨ullen. Es kann gezeigt werden, dass in diesem Fall
ln
X
{ni}
0W{ni}
(14)
vom gr¨oßten Term in der SummeW{n∗i}dominiert wird.n∗i sind die wahrscheinlichsten Werte der Verteilungszahlen ni.
(a) w(i) ist der Anzahl unterschiedlicher M¨oglichkeiten, in welchen die ni gleichen und un- unterscheidbaren Teilchen auf den gi Niveaus desi-ten Intervalls verteilt werden k¨onnen.
3
Zeige dass
w(i) =
ni+gi−1 ni
(15) f¨ur Bosonen und
w(i) = gi
ni
(16) f¨ur Fermionen.
(b) Nutze Stirling’s N¨aherung f¨ur die Fakult¨at ln(x!) ∼ xlnx−x um einen Ausdruck f¨ur ln(W{ni}) f¨ur Bosonen und Fermionen zu finden unter der Annahme, dass gi, ni 1 ist.
(c) Bestimme die Gleichgewichtsverteilungn∗i f¨ur Bosonen und Fermionen durch Maximieren der Entropie unter den Bedingungen (11) mithilfe der Lagrange-Multiplikatoren αundβ.
Was ist die physikalische Bedeutung von α und β?
Hinweis: L¨ose
δln(W{ni})−
"
αX
i
δni+βX
i
εiδni
#
= 0 . (17)
4
