Freies ideales Quantengas

Statistische Mechanik, SS21: ¨ Ubung 3

Abgabefrist: Mi., 5. Mai 2021, 8:00 a.m.

Besprechung: Fr., 7. Mai 2021

Freies ideales Quantengas

Wir betrachten ein freies ideales Quantengas. Die Teilchenenergien sind unabh¨angig vom Spin und sein g-fach entartet. Teilchen- und Energiedichte sind gegeben durch:

N

V =g 4π (2π¯h)³

Z ∞ 0

dp p²

e^β(−µ)∓1, (1)

E

V =g 4π (2π¯h)³

Z ∞ 0

dp p²(p)

e^β(−µ)∓1. (2)

F¨ur Fermionen (Bosonen) gilt das untere (obere) Vorzeichen.

Bsp. 1: Quantenkorrektur zum klassischen idealen Gas

13 Punkte Wir betrachten nicht-relativistische Teilchen mit =p²/(2m)und niedrige Besetzungszahlen (verd¨unntes Gas), d.h.e^−β(−µ)1.

(a) Zeige, dass in diesem Grenzfall gilt:

1

e^β(−µ)∓1 ≈ze^−β±z²e^−2β (3)

mit der Fugizit¨atz =e^βµ 1.

L¨osung:

Wir beginnen mit der geometrischen Reihe

∞

X

l=0

x^l = 1

1−x f¨ur |x|<1, (4) die wir so umformen wollen, dass sie die linke Seite von Gl. (3) ergibt. F¨ur Bosonen betrachten wir

∞

X

l=0

1 x

l

= 1

1− _x¹ = x

x−1 f¨ur |x|>1 (5) und stellen fest, dass diese Reihe minus 1 das gew¨unschte Ergebnis

∞

X

l=1

1 x

l

= 1

1− ¹_x −1 = x−x+ 1

x−1 = 1

x−1 f¨ur |x|>1 (6)

liefert. F¨ur den Fall der Fermionen, w¨ahlen wir ein negatives Vorzeichen f¨ur x, sodass wir

∞

X

l=1

−1 x

l

= 1

1 + ¹_x −1 = x−x−1

x+ 1 =− 1

x+ 1 f¨ur |x|>1 (7) erhalten. F¨ur |x| 1 k¨onnen die Reihen in Glgn. (6) und (7) durch endliche Summen

1

x−1 ≈ 1 x + 1

x² und (8)

1

x+ 1 ≈ 1 x − 1

x² (9)

gen¨ahert werden. Setzen wir nun x=z⁻¹e^β ein, erhalten wir die gesuchte N¨aherung 1

z⁻¹e^β±1 =ze^−β±z²e^−2β. (10) (b) Berechne N/V und E/V in f¨uhrender Ordnung in z. Zeige, dass N = gzV /λ³ mit

λ=p

2π/(mkT)¯h, undE = ³₂N kT. L¨osung:

Die Teilchendichte f¨ur nicht-relativistische Teilchen (Fermionen und Bosonen) ist N

V ≈g 4π (2π¯h)³z

Z ∞ 0

dp e^−βp

2

2m , (11)

wobei wir in f¨uhrender N¨aherung lediglich den ersten Term der rechten Seite von Gl. (3) ber¨ucksichtigen. Mit der Substitution

x= βp²

2m, p=

r2mx

β , dp= 1 2

r2m

βxdx (12)

erhalten wir

N

V ≈g 4π (2π¯h)³z

2m β

³₂ 1 2

Z ∞ 0

dx x¹²e^−x

| {z }

=Γ(³₂)=

√π 2

(13)

wobei das nun dimensionslose Integral die Gamma-Funktion mit halbzahligem Argument ist. Durch Zusammenfassung der Vorfaktoren erhalten wir

N

V ≈g 4π (2π¯h)³z

2m β

³₂ 1 2

√π

2 (14)

= gz

¯ h³

m 2πβ

³₂

, (15)

wobei mit der thermischen Wellenl¨ange λ = ¯h q2πβ

m die Teilchenzahl als N = V ^gz_λ3

ausgedr¨uckt werden kann.

Ahnlich gehen wir bei der Energiedichte vor und erhalten durch die Substitution¨ E

V ≈g 4π (2π¯h)³z 1

2m Z ∞

0

dp p⁴e^−βp

2

2m (16)

=g 4π (2π¯h)³z 1

2m 2m

β ⁵₂

1 2

Z ∞ 0

dx x³²e^−x

| {z }

=Γ(⁵₂)=³

√π 4

(17)

= 3 2

gz λ³

1

β (18)

= 3 2

N V

1

β , (19)

wobei wir Gl. (15) im letzten Schritt eingesetzt haben. Somit ist E = ³₂N kT. (c) Berechne nun den Korrekturterm der Ordnungz². Zeige:

N ≈gV λ³

z± z² 2^3/2

(20) E ≈gV

λ³ 3 2kT

z± z² 2^5/2

(21)

≈ 3 2N kT

1∓ 1 2^5/2

λ³N gV

(22) Im letzten Schritt wurde verwendet, dass in f¨uhrender Ordnung gilt z ≈ ^λ_gV^3N, siehe Teilaufgabe (b). Mit der BeziehungP = ²₃^E_V erhalten wir damit auch die Quantenkorrektur zur idealen Gasgleichung P V =N kT.

L¨osung:

Wir betrachten nun den zweiten Term in Gl. (3) und substituieren diesmal y = ^βp_m², sodass f¨ur das Integral der Teilchendichte

± 1 2π²¯h³

Z ∞ 0

dp p²e^−βp

2

m =± 1

2π²¯h³ m

β ³₂

1 2

Z ∞ 0

dy y¹²e^−y (23)

=± 1 4π²¯h³

m β

³₂ √ π

2 (24)

=± 1

2³²λ³ (25)

gilt. Somit ist die Teilchenzahl N ≈g_λ^V3

z± ^z23

inklusive des ersten Korrekturterms.

F¨ur die Energiedichte lautet das Integral f¨ur den Korrekturterm

± 1 2π²¯h³

1 2m

Z ∞ 0

dpp⁴e^−βp

2

m =± 1

2π²¯h³ 1 2m

m β

⁵₂ 1 2

Z ∞ 0

dyy³²e^−y (26)

=± 1 4π²¯h³

m β

³₂ 3√

π

4 (27)

=±3 2

1

2³²βλ³ (28)

sodass die Energie

E ≈ 3 2

gz

βλ³V ± 3 2

1 2⁵²

gz²

βλ³V (29)

= 3 2

gV βλ³

z± z²

2⁵²

(30) ist. Wir schreiben den Term in der Klammer um als

E ≈ 3 2

gV λ³ kT

z± z²

2³² ∓ z² 2⁵²

. (31)

und identifizieren die ersten zwei Terme mit der Teilchenzahl N aus Gl. (25). F¨ur den letzten Term nutzen wir die N¨aherung z² ≈ ^λ_g⁶2^NV²², die in unserer N¨aherung bis zur quadratischen Ordnung in z g¨ultig ist. Damit erhalten wir

E ≈ 3 2N kT

1∓ 1

2⁵² λ³N

gV

. (32)

Bsp. 2: Relativistisches Gas

12 Punkte Wir betrachten nun masselose oder relativistische Teilchen mitmc² kT und somit =cp, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Weiters nehmen wir an, dass das chemische Potential verschwindet, µ= 0. Diese Situation findet wichtige Anwendungen in der Kosmologie.

(a) Zeige, dass f¨ur Bosonen gilt

(N/V)_Boson =gζ(3) π²

kT

¯ hc

3

(33) (E/V)_Boson =gπ²

30 (kT)⁴

(¯hc)³ (34)

und f¨ur Fermionen:

(N/V)_Fermion = 3

4(N/V)_Boson, (E/V)_Fermion= 7

8(E/V)_Boson. (35)

L¨osung:

Die Teilchendichte f¨ur relativistische Bosonen ist N

V

Boson

= g

2π²¯h³ Z ∞

0

dp p²

e^βcp−1. (36)

Wir substituieren nun x=βcp und erhalten N

V

Boson

= g

2π²¯h³ 1 (βc)³

Z ∞ 0

dx x² e^x−1

| {z }

=2ζ(3)

(37)

=gζ(3) π²

kT

¯ hc

3

(38) wobei ζ die Riemannsche Zetafunktion ist. Die Energiedichte ist

E V

Boson

= g

2π²¯h³ Z ∞

0

dp cp³

e^βcp−1 (39)

= gc 2π²¯h³

1 (βc)⁴

Z ∞ 0

dx x³ e^x−1

| {z }

=^π₁₅⁴

(40)

=gπ⁴ 30

(kT)⁴

(¯hc)³ , (41)

wobei wir die gleiche Substitution verwenden.

F¨ur Fermionen gilt

N V

Fermion

= g

2π²¯h³ Z ∞

0

dp p²

e^βcp+ 1 (42)

= g

2π²¯h³ 1 (βc)³

Z ∞ 0

dx x² e^x+ 1

| {z }

=^3ζ(3)₂

(43)

=g3ζ(3) 2π²

kT

¯ hc

3

(44)

= 3 4

N V

Boson

(45)

f¨ur die Teilchendichte und E

V

Fermion

= g

2π²¯h³ Z ∞

0

dp cp³

e^βcp+ 1 (46)

= gc 2π²¯h³

1 (βc)⁴

Z ∞ 0

dx x³ e^x+ 1

| {z }

=^7π₁₂₀⁴

(47)

= 7 8

E V

Boson

(48) f¨ur die Energiedichte.

(b) Die kosmische Hintergrundstrahlung wird durch ein thermisches Gas von Photonen be- schrieben. Die Temperatur der kosmischen Hintergrundstrahlung betr¨agt heute 2.7 K.

(i) Berechne die Anzahl an Photonen pro cm³.

(ii) Ungef¨ahr 1 s nach dem Urknall hatte das Universum eine Temperatur von kT ≈ 1 MeV. Berechne die Anzahl an Photonen sowie die Anzahl an Elektronen pro cm³ zu diesem Zeitpunkt. Warum kann man die Formel nicht verwenden, um die Elektronanzahl heute zu berechnen?

Hinweis: F¨ur Photonen giltg = 2(2 Spinrichtungen bzw. 2 Polarisationen), f¨ur Elektronen gilt g = 4 (2 Spinrichtungen je Teilchen und Antiteilchen).

L¨osung:

Die Boltzmannkonstante ist k≈8,617·10⁻⁵eV K⁻¹ und¯hc≈1,973·10⁻⁵eV cm. Damit ist (i) die Teilchendichte des Mikrowellenhintergrunds

N V

CMB

≈21,202 π²

8,617·2,7 1.973

3

cm⁻³ ≈400 cm⁻³, (49) (ii) die Teilchendichte der Photonen eine Sekunde nach dem Urknall

N V

Photonen

≈21,202 π²

10⁶ 1.973

3

cm⁻³ ≈3,17·10³¹cm⁻³ (50) und die Teilchendichte der Elektronen

N V

Elektronen

= 23 4

N V

Photonen

≈4,76·10³¹cm⁻³. (51) Ein Wert f¨ur die Elektronenzahl heute kann mit diesen Formeln nicht bestimmt werden, da sie nicht gleichverteilt im Phasenraum sind.

Bonusaufgabe: Gleichgewichtsverteilungen

10 Punkte In dieser Aufgabe werden wir die Bose-Einstein- und die Fermi-Dirac-Verteilungen herleiten.

Abbildung 1: Energieintervalle

Betrachte ein System von N nicht-wechselwirkenden, ununterscheidbaren Teilchen in einem Volumen V und einer GesamtenergieE. Die Entropie des System ist gegeben durch

S(N, V, E) = k_Bln Ω(N, V, E) , (52) wobeiΩ(N, V, E)die Anzahl der unterschiedlichen Mikrozust¨ande ist, die zu einem Makrozu- stand (N, V, E)geh¨oren. Wir teilen das Energiespektrum in viele Energieintervalle, wie in der Abbildung dargestellt, ein. εi beschreibt die mittlere Energie der Energieniveaus und gi 1 die Anzahl an Niveaus im i-ten Intervall. Jedes Intervall enth¨alt n_i Teilchen. Es gelten die folgenden Bedinungen:

X

i

ni = N

X

i

ε_in_i = E . (53)

Sei w(i) die Anzahl unterschiedlicher Mikrozust¨ande im i-ten intervall. Dann ist die Anzahl unterschiedlicher Mikrozust¨ande der Verteilung{n_i}

W{ni}=Y

i

w(i) (54)

und

Ω(N, V, E) = X

{ni}

0W{n_i} , (55)

wobei das Symbol ⁰ anzeigt, dass in der Summe nur Mengen {ni} enthalten sind, die Glei- chung (53) erf¨ullen. Es kann gezeigt werden, dass in diesem Fall

ln



 X

{n_i}

0W{n_i}



 (56)

vom gr¨oßten Term in der SummeW{n^∗_i}dominiert wird.n^∗_i sind die wahrscheinlichsten Werte der Verteilungszahlen n_i.

(a) w(i) ist der Anzahl unterschiedlicher M¨oglichkeiten, in welchen die n_i gleichen und un- unterscheidbaren Teilchen auf den g_i Niveaus desi-ten Intervalls verteilt werden k¨onnen.

Zeige dass

w(i) =

n_i+g_i−1 n_i

(57) f¨ur Bosonen und

w(i) = g_i

n_i

(58) f¨ur Fermionen.

L¨osung:

Abbildung 2: M¨ogliche Anordnung von 10 Kugeln (=b Bosonen) und 4 Trennlinien in 5 Intervalle (=b Energieintervalle)

Wie in Abb. 2 gezeigt, kann man die Verteilung der n_i ununterscheidbaren Bosonen auf g_i Niveaus veranschaulichen als Anordnung von n_i Kugeln und g_i −1 Trennlinien. Aus insgesamt n_i +g_i −1 Elementen werden also n_i f¨ur die Bosonen gew¨ahlt, wobei die Reihenfolge aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Bosonen keine Rolle spielt, also

w(i) =

ni+gi−1 n_i

= (ni+gi−1)!

n_i!(g_i−1)! . (59) Bei Fermionen kann jedes Niveau nur ein Mal besetzt sein. Es werden also ausgi Niveaus n_i besetzt, wobei die Reihenfolge wieder keine Rolle spielt, also

w(i) = g_i

ni

= g_i!

ni!(gi−ni)!. (60)

(b) Nutze Stirling’s N¨aherung f¨ur die Fakult¨at ln(x!) ∼ xlnx−x um einen Ausdruck f¨ur ln(W{n_i}) f¨ur Bosonen und Fermionen zu finden unter der Annahme, dass g_i, n_i 1 ist.

L¨osung:Aus der Definition von W{ni} erhalten wir ln(W{n_i}) = ln Y

i

w(i)

!

=X

i

ln(w(i)). (61)

Setzen wir nun die Anzahl der M¨oglichkeiten die Bosonen zu verteilen ein, erhalten wir ln(w(i)) = ln

(n_i+g_i−1)!

n_i!(g_i−1)!

(62) mit dem Ergebnis von Teilaufgabe (a). F¨ur den Fall, dass ni, gi 1, ist die Stirling- N¨aherung anwendbar und ergibt

ln(w(i))≈(n_i+g_i−1) ln(n_i+g_i −1)−(n_i+g_i−1)

−niln(ni) +ni−(gi−1) ln(gi −1) + (gi−1) (63)

=(n_i+g_i−1) ln(n_i+g_i −1)−n_iln(n_i)−(g_i−1) ln(g_i−1) (64)

≈(n_i+g_i) ln(n_i+g_i)−n_iln(n_i)−g_iln(g_i) (65)

. (66)

Ahnlich gehen wir f¨¨ ur Fermionen vor:

ln(w(i))≈g_iln(g_i)−g_i −n_iln(n_i) +n_i−(g_i−n_i) ln(g_i−n_i) + (g_i−n_i) (67)

=g_iln(g_i)−n_iln(n_i)−(g_i−n_i) ln(g_i−n_i). (68) (c) Bestimme die Gleichgewichtsverteilungn^∗_i f¨ur Bosonen und Fermionen durch Maximieren der Entropie unter den Bedingungen (53) mithilfe der Lagrange-Multiplikatoren αundβ.

Was ist die physikalische Bedeutung von α und β?

Hinweis: L¨ose

δln(W{n_i})−

"

αX

i

δn_i+βX

i

ε_iδn_i

#

= 0 . (69)

L¨osung: Aus den Hinweisen des Aufgabentextes erhalten wir f¨ur die Entropie

S(V, N, E) =kln(Ω(N, V, E)) (70)

=kln



 X

{n_i}

0W{ni}



 (71)

≈ln(W{n^∗_i}). (72)

Wir maximieren die Entropie unter den Nebenbedingungen (53) und erhalten δS−αX

i

δn_i−βX

i

δn_iε_i = 0 (73)

⇒δln(W{n_i})−αX

i

δn_i −βX

i

ε_iδn_i = 0. (74) Weiter erhalten wir unter Verwendung von Gl. (61)

X

i

(δln(w(i))−αδn_i−βε_iδn_i) = 0. (75) Nun k¨onnen wir die Ergebnisse von Teilaufgabe (b) verwenden. F¨ur Bosonen ist

δln(w(i)) = ∂ln(w(i))

∂n_i δn_i (76)

= (ln(n_i+g_i) + 1−ln(n_i)−1)δn_i (77)

= ln

1 + g_i ni

δn_i (78)

und somit

X

i

ln

1 + gi

n_i

−α−βε_i

δn_i = 0, (79)

wobei der Term in Klammern die Gleichgewichtsverteilung ni

g_i = 1

e^α+βεi −1 (80)

ergibt.

F¨ur Fermionen gehen wir gleichermaßen vor, also erhalten wir aus δln(w(i)) = ∂ln(w(i))

∂n_i δni (81)

= (ln(gi−ni) + 1−ln(ni)−1)δni (82)

= ln

−1 + g_i n_i

δn_i (83)

die Gleichung

X

i

ln

−1 + g_i n_i

−α−βε_i

δn_i = 0, (84)

und schließlich die Verteilung

n_i

g_i = 1

e^α+βεi + 1. (85)

Der Lagrange-Multiplikator β entspricht also dem Faktor _kT¹ und α ist −_kT^µ mit dem chemi- schen Potential µ.