Bsp. 1: Schwankung der Besetzungszahlen im Quantengas

Statistische Mechanik, SS21: ¨ Ubung 4

Abgabefrist: Mi., 12. Mai 2021, 8:00 a.m.

Besprechung: Fr., 14. Mai 2021

Bsp. 1: Schwankung der Besetzungszahlen im Quantengas

6 Punkte (a) Leiten Sie

(∆n_j)² =−kT ∂ n_j

∂ε_j (1)

f¨ur die Schwankung∆nj der Besetzungszahlennj eines idealen Quantengases ab. Dabei steht j = (~p, s_z) f¨ur die Quantenzahlen eines Einteilchenzustands.

L¨osung. Die Definition der Schwankung ∆nj lautet

(∆n_j)² =n²_j −n_j². (2) Zur Berechnung der Erwartungswerte ben¨otigen wir die Großkanonische Zustandssumme

Y =X

r

e^{−β(Er−µNr)} (3)

wobei r ein Index f¨ur Mikrozust¨ande ist. In diesem Fall es durch die Besetzungszahlen der einzelnen Zust¨ande gegebenr ={n_j}={n₁, n₂, . . . , n_j, . . .}. Es gilt

N_r =X

j

n_j E_r =X

j

_jn_j n_j =

(0,1 f¨ur Fermionen

0,1,2, . . . f¨ur Bosonen (4) und wir erhalten

Y =X

r

e^{−β(1−µ)n1}e^{−β(2−µ)n2}. . . e^{−β(j−µ)nj}. . . (5)

=X

n1

e^{−β(1−µ)n1}X

n2

e^{−β(2−µ)n2}· · ·X

nj

e^{−β(j−µ)nj}. . . (6) Das bedeutet f¨ur den Erwartungswert

n_j =X

r

P_rn_j = 1 Y

X

r

e^{−β(Er−µNr)}n_j (7)

= 1 Y

X

n1

e^{−β(1−µ)n1}· · ·X

nj

n_je^{−β(j−µ)nj}· · ·=−1 Y

∂Y

∂(β_j). (8)

n²_j =X

r

P_rn²_j = 1 Y

X

n1

e^{−β(1−µ)n1}· · ·X

nj

n²_je^{−β(j−µ)nj}. . . (9)

∂ n_j

∂_j = 1 Y

X

n1

e^{−β(1−µ)n1}· · ·X

nj

(−βnj)nje^{−β(j−µ)nj}. . . (10) +

∂

∂_j 1 Y

X

n1

e^{−β(1−µ)n1}· · ·X

nj

nje^{−β(j−µ)nj}. . . (11)

=−βn²_j − 1 Y²

∂Y

∂_j X

n1

e^{−β(1−µ)n1}· · ·X

nj

n_je^{−β(j−µ)nj}. . . (12)

=−βn²_j +βnj2

(13)

⇒(∆n_j)² =n²_j −n_j² =−1 β

∂n_j

∂_j =−kT∂n_j

∂_j (14)

(b) Bestimmen Sie die relative Schwankung (∆n_j)²/n_j² f¨ur ein Fermi- und ein Bosegas.

L¨osung. Bekanntermaßen ist der Erwartungswert der Besetzungszahl f¨ur das Fermi- (Bose-)Gas durch die Fermi-(Bose-)Funktion gegeben

n_j = 1

e^β(j−µ)±1 (15)

Unter Verwendung der Relation aus Teil (a) ergibt sich (∆n_j)² =− ∂n_j

∂β_j = e^β(j−µ)

(e^β(j−µ)±1)² (16)

= e^β(j−µ)±1

(e^β(j−µ)±1)² ∓ 1

(e^β(j−µ)±1)² =n_j ∓n_j². (17) Also gilt

⇒ (∆n_j)² n_j² = 1

n_j ∓1 (18)

mit − f¨ur Fermionen,+ f¨ur Bosonen

Bsp. 2: Einstein-Modell

6 Punkte (a) Berechnen Sie die spezifische W¨arme von Gitterschwingungen mit dem Ansatz z_E(ω) = δ(ω−ω_E) f¨ur das Frequenzspektrum. Mit einer geeignet gew¨ahlten Frequenz ω_E liefert dieses Einstein-Modell eine N¨aherung f¨ur den Beitrag der optischen Phononen.

L¨osung. F¨ur die spezifische W¨arme berechnen wir zun¨achst die Innere Energie.

E(T, V) =E_r =E₀(V) +X

m,~k

_kn¯~k,m=E₀(V) + 3N Z ∞

0

dω z(ω)_kn_k,m (19)

Dabei ist ~k der Wellenvektor der Eigenschwingung. Der Index m = 1,2,3 bezeichnet die Polarisationen. Die Verteilungsfunktion h¨angt jedoch nur _k = ¯hω(k), also nur vom Betrag von~k ab.

¯

n~k,m= ¯n_k = 1

e^βk −1 (20)

Mit dem gegebenen Ansatz z(ω) = δ(ω−ω_E) ergibt sich E(T, V) = E0(V) + 3N hω¯ _E

e^β¯hωE . (21)

Die spezifische W¨arme erhalten wir indem wir nach der Temperatur ableiten.

C_V = ∂E(T, V)

∂T = ∂β

∂T

∂E(β, V)

∂β (22)

=−kβ² 3N¯hω_E

(e^β¯hωE −1)²(−¯hω_E)e^β¯hωE (23)

= 3N k(β¯hω_E)² 1

(e^β¯hωE/2−e^{−β¯hωE/2})² (24)

= 3

4N k (β¯hω_E)²

sinh²(β¯hω_E/2) (25)

(b) F¨ur einen NaCl-Kristall (mit je N Natrium- und Chlor-Atomen) kann das Phononenspek- trum durch

z(ω) = z_D(ω) +δ(ω−2ω_D)

angen¨ahert werden, also durch ein Debye-Spektrum f¨ur die akustischen Phononen und einen Einstein-Term f¨ur die optischen Phononen. Berechnen Sie die spezifische W¨arme f¨ur tiefe und f¨ur hohe Temperaturen.

L¨osung. Die innere Energie l¨asst sich in optischen und akustischen Anteil zerlegen.

E(T, V) = Eopt+Eak ⇒CV =CV,opt+CV,ak (26) Den optischen Anteil haben wir in Teil (a) bereits berechnet.

C_V,opt = 3N k x²_D

sinh²(xD) (27)

mit ωE = ωD and xD = β¯hωD. F¨ur den akustischen Teil ist z(ω) = ^3ω_ω3²

Dθ(ωD −ω).

Damit ist

E_ak =E₀(V) +q_N Z ωD

0

dωω²

ω³_D¯hω 1

e^β¯hω−1 (28)

=E₀(V) + q_N ω_D³

1 (β¯h)⁴¯h

Z x_D(β)

0

dx x³

e^x−1 (29)

=E₀(V) +q_NkT T

T_D

3Z xD(β)

0

dx x³

e^x−1. (30)

• Bei niedrigen Temperaturen, x_D 1, wird das Integral unabh¨angig von physikalis- chen Gr¨oßen.

Z xD(β)

0

dx x³ e^x−1 ≈

Z ∞

0

dx x³

e^x−1 = π⁴

15 (31)

F¨ur die spezifische W¨arme ergibt sich dann C_V,ak ^xD≈¹ ∂

∂T

"

q_NkT T

T_D 3

π⁴ 15

#

= 12π⁴ 5 N k

T T_D

3

. (32)

Insgesamt erhalten wir

C_V =C_V,opt+C_V,ak ^xD≈¹ 3N k

x²_D

sinh²(xD) +4 5

1 x³_D

. (33)

Der erste der beiden Term ist exponentiell unterdr¨uckt, der zweite Term dominiert f¨ur große x_D.

C_V ^xD≈¹C_V,ak ≈ 12π⁴ 5 N k

T T_D

3

(34)

• Bei hohen Temperaturen, x_D 1 und dementsprechend x 1, k¨onnen wir eine Taylor-N¨aherung verwenden.

Z xD

0

dx x³ e^x−1 ≈

Z xD

0

dx x³

x+ ^x₂² −^x₆³ (35)

≈ Z xD

0

dxx²(1− x 2 +x²

12) (36)

= x³_D 3

1− 3x_D 8 + 1

20x²_D

(37) Das bedeutet f¨ur die spezifische W¨arme

C_V,ak ^xD≈¹ ∂

∂T

"

q_NkT T

T_D 3

1 3

T_D T

3

1− 3 8

T_D T + 1

20 T_D

T

2!#

(38)

= 3N k 1− 1 20

TD

T 2!

. (39)

Machen wir die gleiche N¨aherung f¨ur den optischen Anteil C_V,opt = 3N k x²_D

sinh²(x_D)

xD1

≈ 3N k

1− x²_D 3

(40) so erhalten wir insgesamt

C_V ^xD≈¹ 3N k 1− 1 20

T_D T

2

+ 1− 1 3

T_D T

3!

(41)

= 6N k 1− 23 120

TD

T 2!

. (42)

Bsp. 3: Hawking-Strahlung

13 Punkte Ein Schwarzes Loch is ein Schwarzer K¨orper, daher emittiert es Schwarzk¨orperstrahlung, sogenannte Hawking-Strahlung. Ein Schwarzes Loch der Masse M hat eine Gesamtenergie vonM c², eine Oberfl¨ache von4πr²_s, wobei r_s den Schwarzschild-Radius bezeichnet, und eine Temperatur von

T = hc³

16π²k_BGM . (43)

(a) Sch¨atzen Sie die typische Wellenl¨ange der Hawking-Strahlung, die von einem Schwarzen Loch von einer Sonnenmasse (2×10³⁰ kg) emittiert wird. Vergleichen Sie Ihre Antwort mit der Gr¨oße des Schwarzen Lochs.

L¨osung. Die verwendeten Werte sind

h = 6.63·10⁻³⁴Js, M = 2·10³⁰kg, k = 1.38·10⁻²³ J

K, G= 6.674·10⁻¹¹ m³ kg s² c= 3·10⁸ m

s , Einsetzen in die Formel ergibt

T = 1 16π²

6.63 ˙10⁻³⁴Js 27·10^{24 J}_K

1.38.·10^{−23 J}_K6.674·10⁻¹¹ _{kg s}^m32 2·10³⁰kg (44)

= 6.15·10⁻²·10⁻⁶K (45)

≈6·10⁻⁸K (46)

Die typische Wellenl¨ange, also die bei der das Emissionsspektrum sein Maximum hat, l¨asst sich mit dem Wien’schen Gesetz berechnen.

hν = 2.82·kT ν= c

λ (47)

hν = 2.82·8.617·10⁻⁵ eV

K 6·10⁻⁸K = 1.46·10⁻¹¹eV (48)

⇒λ= hc

2.82kT = 2π1.973·10⁻⁷eVm

1.46·10⁻¹¹eV = 8.5·10⁴m (49) Als Gr¨oße des Schwarzen Lochs verwenden wir den Schwarzschild-Radius r_s= ^2GM_c2

T = hc³

16π²kGM = hc 8π²k

1

r_s = 2π1.973·10⁻⁷ eVm 48π²8.617·10^{−5 eV}_K

1

r_s = 1.8·10⁻⁴km

r_s (50)

⇒ rs

m = 1.8·10⁻⁴ K

T (51)

Bei einer Sonnenmasse

r_s = 0.3·10⁻⁴⁺⁸m = 9000 m (52) λ

r_s ≈28 (53)

(b) Berechnen Sie die Strahlungsleistung eines Schwarzen Lochs von einer Sonnenmasse. Wie viele Photonen werden dabei pro Sekunde emittiert?

L¨osung. Da es sich nach Aufgabenstellung um einen Schwarzen K¨orper handelt k¨onnen wir das Stefan-Boltzmann-Gesetz verwenden.

P =σAT⁴ (54)

wobei σ die Stefan-Boltzmann-Konstanten bezeichnet.

σ = 5.67·10⁻⁸ W

m²K⁴ (55)

Mit einer Kugeloberfl¨ache vonA= 4πr_s² ergibt sich P = 5.67·10⁻⁸ W

m²K⁴ 4π(3·10³m )²(6·10⁻⁸K )⁴ (56)

= 8.3·10⁻²⁹W (57)

= 5.18·10⁻¹⁰ eV

s (58)

Typischerweise ist, wie wir aus Teil (a) wissen,hν= 1.46·10⁻¹¹eVwas etwa 35 Photonen pro Sekunde entspricht.

(c) Stellen Sie sich ein Schwarzes Loch im leeren Raum vor, das Strahlung emittiert, jedoch Keine absorbiert. W¨ahrend es Energie verliert, sinkt die Masse des Schwarzen Loches; es ,,verdampft” sozusagen. Leiten Sie eine Differentialgleichung f¨ur die Masse des Schwarzen Loches als Funktion der Zeit her und l¨osen Sie diese, um einen Ausdruck f¨ur die Lebens- dauer in Abh¨angigkeit der anf¨anglichen Masse zu erhalten.

Hinweise:

- Die ¨Anderungsrate von M c² enspricht der negativen Strahlungsleistung - Nehmen Sie an das Schwarze Loch ist bei t = 0 entstanden.

L¨osung. Nach Hinweis gilt

c²∂M

∂t =−σAT⁴. (59)

Es folgt

∂M

∂t =−1 c²

2π⁵k⁴ 15h³c²

4π

2GM c²

2

hc³ 16π²kGM

4

(60)

=−32 15

hc⁴ 16⁴π²G²

1

M² (61)

=− 1 30720

hc⁴ π²G²

1

M² ≡ − H

M² (62)

wobei wir H die Hawking-Konstante nennen. Es gilt also

M²dM =−Hdt (63)

Durch integrieren ergibt sich mit der Anfangsmasse M_i Z 0

Mi

M²dM =− Z τ

0

Hdt . (64)

Wir erhalten die Formel f¨ur die Lebensdauer:

−M_i³

3 =−Hτ ⇒τ = M_i³

3H . (65)

(d) Berechnen Sie die Lebensdauer eines Schwarzen Lochs von einer Sonnenmasse und ver- gleichen Sie diese mit dem Alter des Universums, t₀ ∼10¹⁰ Jahre.

L¨osung. F¨ur die Hawking-Konstante verwenden wir H = 1

30720 hc⁴

π²G² = 4·10¹⁵ kg³

s . (66)

Bei einer Sonnenmasse erhalten wir f¨ur die Lebensdauer τ = (2·10³⁰kg )³

12·10¹⁵kg³ s = 0.67·10⁷⁵s . (67) Das ist deutlich l¨anger als das Alter des Universums.

(e) Angenommen ein Schwarzes Loch, das fr¨uh in der Geschichte des Universums entstanden ist, verdampft heute. Was war seine anf¨angliche Masse? Die gr¨oßte Teil der Strahlung, die das Schwarze Loch w¨ahrend seiner Lebensdauer emittiert, wird in der Anfangszeit emittiert. In welchem Teil des elektromagnetischen Spektrums f¨allt diese Strahlung?

L¨osung. Um die Anfangsmasse zu berechnen m¨ussen wir lediglich die Formel aus dem vorherigen Aufgabenteil umstellen.

M_i = (3Hτ)¹³ = (3·4·10¹⁵·10¹⁰·π·10⁷)¹³ kg = 1.6·10¹¹kg (68)

hν = 2.82kT T = hc³

16π²kGM (69)

hν_i = 1.46·10⁻¹¹eV 2·10³⁰

1.6·10¹¹kg = 1.83·10⁸eV = 0.18 GeV (70) Das liegt im Bereich der Gamma-Strahlung.