Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog für die Veranstaltung Energiemethoden der Me- chanik abgedruckt, aus dem jede zweite Woche Aufgaben für die Große Übung, die Tutorien und das eigenständige Arbeiten ausgewählt werden. Lösungen zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungefähr eine Woche nach Bearbeitung veröffentlicht. Leider schleichen sich manchmal in die veröffentlichten Lösungen Fehler ein. Wir bemühen uns, diese möglichst zügig zu beseitigen.
Jeder Student ist aber in erster Linie selbst verantwortlich. Darum selbständig rechnen! Wer gerne noch mehr Aufgaben (mit Musterlösungen) rechnen möchte, sei auf die breite Auswahl an Aufga- benbüchern verwiesen.
Inhaltsverzeichnis
1 Prinzip der virtuellen Verrückungen 2
2 Lagrangesche Gleichungen 5
3 Verfahren von Ritz 15
4 Sätze von Castigliano 21
5 Prinzip der stationären Wirkung, Hamiltonsches Prinzip 25
6 Methode der finiten Elemente 28
1 Prinzip der virtuellen Verrückungen
1. Die abgebildete Konstruktion besteht aus drei starren Bal- ken (AB, BC und CD) und einer Stütze, die in der Mitte des Balkens AB angebracht ist.
Zur Dimensionierung der Stütze soll die Kraft in der Stütze bestimmt werden.
Führen Sie die Berechnungen auf zwei verschiedenen Wegen durch:
(a) Schneiden Sie frei und berechnen Sie die gesuchte Kraft mittels Kräfte- und Momentengleichgewichten.
(b) Nutzen Sie das Prinzip der virtuellen Verückungen zur Bestimmung der gesuchten Kraft.
Geg.:F,l
0 0 1 1 00 00 11 11 0 1 00 11 0 1 0 0
1 1
00 11 00 00 11 11 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 00 11 00 00 11 11 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
AB
C D
E
F l l
1 2l
2. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizzierten Stellung auf die Kolbenfläche die Gaskraft FG. Wie groß ist das erforderliche Moment MA, wenn die Rei- bungskräfte vernachlässigt werden können und statisches Gleichgewicht vorausgesetzt wird?
Geg.:FG,l,α
A MA FG
α l
3. Für die skizzierte Klappbrücke soll unabhängig vom WinkelϕGleichgewicht herrschen. Ermit- teln Sie die Kraft F2 mit dem Prinzip der vir- tuellen Verrückungen.
Geg.:a,b,c,F1
F1
F2
a
b
b c
ϕ ϕ
4. Die skizzierteRobervalsche Waage befindet sich in der gezeigten Lage im statischen Gleichgewicht.
(a) Ermitteln Sie die KraftF2mit Hilfe von Kennt- nissen aus der Technischen Mechanik I.
(b) Bestimmen Sie nun nocheinmal F2 mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit.
Geg.:b,c,d,h,F1
F1 F2
d
b b
c h h
5. Das skizzierte System starrer Körper besteht aus einem geraden Balken und einem verzweigten Träger. Die Kraft F2 greift direkt an dem die beiden Systemteile verbindenden Gelenk an. Er- mitteln Sie das Einspannmoment MA mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit!
Geg.:a,b,c,F1,F2
c F1
F2
a a
b
A B
6. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizzierten Stellung auf die Kolbenfläche die GaskraftFG. Auf die rechte Stange wirkt das Antriebsmoment MA. Bestim- men Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen die Gleichgewichtslage (Winkelα), wenn die Reibungs- kräfte vernachlässigt werden.
Geg.:FG,l,MA
A MA FG
α l
7. Bestimmen Sie mit der Methode der virtuellen Verrückungen für fol- genden Kragbalken die Lagerreaktionen.
Geg.:q0,l
0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1
q0
l 8. Bestimmen Sie für das skizzierte System mit Hil-
fe der Methode der virtuellen Arbeit / Leistung / Verrückungen
(a) die Lagerkraft im Punkt B (b) alle Schnittlasten.
Geg.:F,H,a,b
0 1 0 00 1 11 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 00 000 11 111
a b
F H
A B
9. Ein Gelenkviereck besteht aus drei starren Balken der Länge l. In der Mitte des Balkens AB ist eine Feder der Steifigkeit k angebracht. Die Feder ist stets senkrecht und sei entspannt, wennα= 0 (horizontale Lage der Balken AB und CD).
Bestimmen Sie die Gleichgewichtslage (Winkel αG).
Geg.:F,l,α
0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 00 11 00 00 11 11 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1
00 11 00 00 11 11
A
B
D C
F α
k
10. Bestimmen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit für den skizzierten Balken die Lagerreaktionen.
Geg.:q0,l,a,α
00 11 00 11 0 1 00 00 11 11 0 0 1 1 0 0 1 1
00 00 11 11
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 00 00 11 11 000 111 00 00 11 11
q0
l a
α 11. Für den durch eine Einzelkraft P belasteten skizzierten Bal-
ken ist die Lagerkraft im Punkt C sowie das Schnittmoment im PunktB mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen zu bestimmen.
Geg.:P,l,a,b
0 0 1 1 00 00 11 11
00 0 11
1 0 00 1 11 00
11 0 1 00 11 0 1
b00 11 00 11 0 1 0 1 0 1
l a
A P B C
12. Das abgebildete Fachwerk aus starren Stäben wird mit der KraftF belastet.
(a) Berechnen Sie mit den Basisvektoren e1 und e2
sowie mit Skizze a) die OrtsvektorenrA und rF zu den Angriffspunkten der KräfteAundF. Be- rechnen Sie die VariationenδrAundδrF. Berech- nen Sie die Lagerkraft A mithilfe des PdvV.
(b) Notieren Sie mit Skizze b) den Ortsvektor rF = rS zum gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte F undS. Berechnen Sie die VariationenδrF und δrS. Berechnen Sie die Stabkraft S mithilfe des PdvV, indem Sie S als äußere Last ansehen.
Hinweis:
arctan√33 = 30◦ cos 30◦ = √23
sin 30◦ = 12
1 3a
√1 3a
√1 3a A
S
A
S S
F F
F
a
ϕ
ϕ
ϕ e1
e2
Skizze a) Skizze b) 13. Für das aus starren Stäben bestehende
skizzierte Fachwerk unter der BelastungW sind folgende Größen mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen zu bestimmen:
(a) Die Auflagerkraft im Punkt B, (b) die Stabkraft SBC.
Geg.: W, l, β 00011101 0011010011010101
0000 1111 00 11 0000 1111
00 11 00
11 001101
l l
A B
C
D W
β
14. Das skizzierte Balkensystem ist durch ein Einzelmo- mentM0 und eine Einzelkraft K belastet. Alle Balken sind starr und masselos.
(a) Berechnen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Ver- rückungen das SchnittmomentM an der Stelle C (x=a).
(b) Bestimmen Sie ebenfalls mit Hilfe des Prinzip der virtuellen Verrückungen die Lagerkraft in B.
Geg.:a,b,c,K,M0
0 0 1 1 00 00 11 11 000 111 00 11 0 1 00
11 0 1 00 11 000 111 00 11 00 11 0 1 0 1 0 1 00
11 00 11 000 111 00 11 00 11 0 1 0 1 0 1 00 11
K
M0
a
a b b
c x
z
A C B
15. Die abgebildete Konstruktion aus starren Stäben wird mit der Kraft F belastet und befindet sich im statischen Gleichgewicht.
Berechnen Sie mit demPrinzip der virtuel- len Arbeit die Haltekraft Fk als Funktion des Winkelsϕ.
Geg.:F, l
l 2l
B A
C
ϕ ψ Fk(ϕ)
F
x y
2 Lagrangesche Gleichungen
16. Für eine überschlägige Dimensionierung einer Werkzeugmaschine sind die Eigenfrequenzen des abgebildeten Ersatzsystems von Interesse, für deren Berechnung die Bewegungsdifferenzialglei- chungen benötigt werden. Bei der Untersuchung des schwingungsfähigen Systems soll die Reibung vernachlässigt werden. Fürq1 =q2 = 0 sind alle Federn entspannt.
1 2c
1 2c
c c
m m
q1 q2
Sie werden damit beauftragt, die Bewegungsdiffrenzialgleichungen zu ermitteln. Dazu sind folgende Aufgabenteile zu bearbeiten:
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Stellen Sie die kinetische EnergieK und potentielle EnergieU des Systems auf.
(c) Bestimmen Sie nun die Lagrangefunktion L.
(d) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichungen?
Geg.:m, c
17. Zwei masselose Stangen (Längenl1undl2) und zwei Punktmassen m1 und m2 bilden ein Doppelpendel.
(a) Bestimme für die Bewegung des skizzierten Doppelpendels in einer vertikalen Ebene (Erdbeschleunigung g) mit Hilfe derLagrangeschen Gleichungen 2. Art die Bewegungsglei- chungen. Nutze die generalisierten Koordinaten ϕ1 und ϕ2. (b) Wie lauten die Gleichgewichtslagen?
Geg.:m1,m2,l1,l2,g
18. Eine masselose starre Stange ist am Punkt P aufgehängt. Im Abstandlist eine Punktmassem1befestigt. Auf der Stange glei- tet außerdem eine zweite Punktmassem2 reibungslos unter der Wirkung der Federkraft und der Erdanziehungskraft auf und ab.
Der Abstand der zweiten Punktmasse vom Aufhängungspunkt P sei mit r(t) bezeichnet. Die Feder hat die Federsteifigkeit k und die unverformte Länge l0.
(a) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichungen für das System in den generalisierten Koordinaten r(t) undϕ(t)?
(b) Prüfe durch Betrachtung vonGrenzfällendie Plausibilität der hergeleiteten Differentialgleichungen.
ϕ
m1
m2
P k
g
19.
(a) Für das skizzierte System stelle man das Bewegungsdifferentialgleichungssy- stem auf und schreibe es auf Matrizen- form um. Es sollen von vornherein klei- ne Auslenkungen angenommen werden.
(b) Man berechne die Eigenkreisfrequenzen und die dazugehörigen Eigenformen des Systems.
Geg.:c1 = 14c , c2=c3=c , m1 = 23m , m2 =m, ΘS= 12m1r2, r 20.
m1
m2
x
y l(t)
Die Aufhängevorrichtung eines ebenen Pendels mit der zeitlich veränderlichen Längel(t) und der Pendelmassem2gleitet reibungsfrei auf einer horizontalen Füh- rung und hat die Massem1.
Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art die Bewegungsdiffe- rentialgleichungen für das System.
Geg.: m1,m2,l(t), g 21. Auf einer schiefen Ebene bewegt sich reibungsfrei ein
Körper der Masse m, Bewegungskoordinate s, infol- ge der Schwerkraft abwärts. In einer radialen Bohrung ist ein Zylinder der Masse M, der Relativkoordinate x, elastisch angeordnet, der sich ebenfalls reibungsfrei bewegen kann. Ausgehend von der Ruhelage des Sy- stems sind mit den Lagrangeschen Gleichungen 2.
Art die Bewegungsdifferentialgleichungen für die ge- neralisierten Koordinatensund x aufzustellen.
Geg.:m,M,c,α,g
2c
c y
x s
m
M g
α
22. Ein Massenpunkt m ist am unteren Ende einer Feder kangebracht. Am oberen Ende ist die Feder drehbar gelagert. In spannungloser Ruhelage hat die Feder die Länge r0.
Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen des Systems mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 2.Art auf.
Geg.:k, m,r0,g
g k
m ϕ r
y
23. Das skizzierte System schwingt mit kleinen Auslenkun- gen. Die Feder und der Pendelstab sind masselos. In der Ruhelageϕ= 0 und ψ= 0 ist die Feder entspannt.
(a) Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen für das skizzierte System mit Hilfe der Lagran- gegleichungen 2. Art auf.
(b) Stellen Sie das linearisierte Differentialgleich- ungssystem in Matrizenform dar.
m2, J2
m1, J1
c l
l
ϕ
ψ g
R
Geg.:m1,m2,J1, J2,l,r,c,g
24. Ein starrer Körper führt Schwingungen in einer vertikalen Ebene unter dem Einfluß der Schwerkraft aus. Der Zapfen (Radius r) rollt ohne zu gleiten auf der starren Unterlage. Der Zapfenmittelpunkt P wird über eine Feder mit der Steifigkeit k gehalten. Die Reibung des Systems sei vernachlässigbar bis auf ein Rollreibmoment M mit konstantem Betrag.
Die Lage des Systems ist bestimmt durch den Drehwinkelϕ. Beiϕ= 0 sei die Feder entspannt und der Massenmittelpunkt C stehe genau senkrecht über dem Zapfenmittelpunkt P.
Der Massenmittelpunkt C des Gesamtsystems hat den Abstandavom Zapfenmittelpunkt P.
Der Körper hat die Massemund das MassenträgheitsmomentJCum den Massenmittelpunkt.
(a) Bestimmen Sie dieLagrange-Gleichung(en) 2. Art (Bewegungsdifferentialgleichung/en) des Systems.
(b) Leiten Sie nun für den Fall des glatten Roll- kontaktes (M = 0) aus den/der Bewegungs- differentialgleichung(en) eine Bestimmungs- gleichung für die statische(n) Ruhelage(n) her.
Geg.:a,r,g,k,M,m,JC
ϕ C
P
g r
a
k
25. Ein starrer Körper (Masse m1) gleitet reibungsfrei in vertika- ler Richtung und ist über eine masselose Stange (Längel) mit einer Punktmasse m2 gelenkig verbunden. Der starre Körper ist außerdem über ein lineares Feder-Dämpfer-Element (Feder- steifigkeit k, Dämpferkonstante d) an den Boden gekoppelt.
Die entspannte Länge der Feder sei 2l. Die Punktmasse m2
ist über eine weitere Stange (Länge l) gelenkig an den Boden gekoppelt.
ϕ m1
m2
l l
g
d k
x glatt y
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Stellen Sie die kinetische EnergieK, die potentielle EnergieU und die Dissipationsfunk- tionD als Funktion vonϕund ˙ϕauf. Wie ist die LagrangefunktionLdefiniert?
(c) Arbeiten Sie im folgenden mit der Lagrangefunktion L= (2m1sin2ϕ+1
2m2)l2ϕ˙2−(2m1+m2)glcosϕ−2kl2(1−cosϕ)2 weiter. Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für das System.
(d) Wie groß muß die Federsteifigkeit k sein, damit das System fürϕS = π3 eine Gleichge- wichtslage hat?
(e) Welche weiteren Gleichgewichtslagen sind im Bereich −π2 < ϕ < π2 vorhanden, wenn die Federsteifigkeit kden in Teil (d) bestimmten Wert hat?
Geg:k,d,m1,m2,l,g
26. Das dargestellte System besteht aus einem dünnen, homogenen Stab (Längel, Massem, Massenträgheits- moment JS) und einem Klotz (Masse M), der rei- bungsfrei auf der Unterlage gleitet. Er wird bei sei- ner Bewegung entlang der Unterlage (Koordinate x) durch eine vorgegebene Kraft F(t) in horizontaler Richtung angetrieben und ist andererseits mit einer immer horizontal gerichteten Feder verbunden. De- ren linker Fußpunkt wird durch die vorgegebene Aus- lenkung u(t) bewegt. Für x = u(t) = 0 ist die Fe- der spannungslos. Zwischen Klotz und Stange wirkt ein winkelgeschwindigkeitsproportionaler Drehdämp-
fer mit der Dämpferkonstantekd. M
x ϕ c
kd
F(t) m, l, JS
u(t)
g
~ex
~ey
(a) Stellen Sie die LagrangefunktionLdes Systems bzgl. der generalisierten Koordinaten xund ϕauf.
(b) Geben Sie die generalisierten (Rest-)KräfteQx und Qϕ an.
(c) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen für das System.
Geg.:M, JS,m,l,c,g,F(t), kd
27. Ein homogener Balken (Länge b, Masse M) ist in A und B gelenkig mit masselosen Schiebehülsen verbun- den, die reibungsfrei auf den beiden Linearführungen gleiten können. Die Schiebehülse A ist durch ein Feder- Dämpfer-Element (Federsteifigkeit k, entspannte Lage bei α=α0, lineare Dämpferkonstante d) an die Umge- bung gekoppelt. Zusätzlich ist im Punkt A ein Punkt- massependel (Länge l, Masse m) angebracht, an des- sen Ende die nichtkonservative KraftF wirkt. Der Be- trag der KraftF ist konstant, die Wirkungslinie ist stets senkrecht zu der Pendelstange.
(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L des Systems bzgl. der generalisierten Koordinatenαundϕauf.
(b) Stellen Sie die DissipationsfunktionDdes Systems auf.
M,ΘS b
α
ϕ k d
F m
l g
x y A
B
C S
(c) Geben Sie die generalisierten Nicht-Potentialkräfte Qα und Qϕ an, die nicht durch D modellierbar sind.
(d) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für das System ohne Pendel und Kraft F.
Hinweis:Nutzen Sie dazu die bereits durchgeführten Rechnungen und setzen Siem= 0 und F = 0 ein.
Geg.:M,b, ΘS = M b122,m,l,d,k,g,F,α0
28. Das skizzierte System wird durch das MomentM(t) zum Schwingen angeregt. Der Strömungswiderstand der Kugel ist proportional zur Geschwindigkeit mit dem Widerstandskoeffizienten k. Alle anderen Wi- derstände, die Masse der Umlenkrolle sowie der hy- drostatische Auftrieb der Kugel sollen vernachlässigt werden. Die nicht dehnbaren Seile bleiben immer ge- spannt. Die Feder ist bei ˜x= 0 entspannt.
(a) Berechnen Sie die statische Ruhelage xstat für den Fall M(t) = 0!
(b) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialglei- chung um die statische Ruhelage (in der Va- riable x= ˜x−xstat).
(c) Bestimmen sie die Amplitude und den Phasen- winkel der stationären Schwingung!
Geg.:m1,m2,J1S,M(t) =M0cos Ωt,M0, Ω,g,c,k
m1,J1S
m2
M(t)
˜ x
˜ x
y S c g
r k
R reines Rollen
ϕ
29. Ein starrer Körper (Masse m1) gleitet reibungsfrei in vertika- ler Richtung und ist über eine masselose Stange (Längel) mit einer Punktmassem2 gelenkig verbunden. Die Punktmasse ist über eine weitere Stange (Länge l) gelenkig an die Umgebung gekoppelt.
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Bestimme mit den Lagrangeschen Gleichungen 2. Art die Bewegungsdifferentialgleichung für das System?
Geg.:l,g,m1,m2
ϕ m1
m2
l l
g
x y
glatt
30. Ein schwach gedämpftes schwingungsfähiges System wird durchM(t) =M0sinλt angeregt. In der skizzierten Stellung ist die Feder gerade spannungsfrei.
(a) Bestimme die Bewegungsdifferentialgleichung für kleine Auslenkungen ϕ!
(b) Gib die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an und passe diese folgenden Anfangsbedingungen an:
ϕ(t= 0) = m2g
ca und ϕ(t˙ = 0) = 0 (c) Wie groß sind Amplitude und Phasenwinkel im einge-
schwungenen Zustand?
Geg.:a,b,c,r,M0,λ,m1,JS,m2,g
0 1 0 1 00 11 00 11 0 1 0 1 00 11
0 0 1 1 00 00 11 11 0 0 1 1 0 0 1 1
00 00 11 11 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0000 1111
a
b ϕ
c r m1,JS
m2
M(t)
31. Das skizzierte System wird von einem im Massenmittel- punkt S angreifenden Moment angetrieben. Nach einer Einschwingphase stellt sich ein stationärer Zustand mit kleinen Ausschlägen ein. (Gravitation spielt keine Rolle.)
(a) Bestimmen Sie die lineare Bewegungsdifferentialglei- chung!
(b) Wie groß ist die Kreisfrequenz der freien gedämpften Schwingung?
Geg.:a,r,c,m,ΘS = 2ma2, M(t) =M0cos Ωt
c
S E
D M(t)
r
m, ΘS a
a
32. Ermittle für das skizzierte System die Be- schleunigung der Masse1, die reibungsfrei auf der schiefen Ebene gleitet. Die Rolle 2 wird durch ein konstantes Moment M angetrieben, und die Walze 3 rollt ohne zu gleiten.
Geg.:M,m,a,α, Θ1, Θ2,g
33. Das skizzierte System wird durch das Moment M(t) zum Schwingen angeregt. In der einge- zeichneten Position (x = 0) sind beide Federn gespannt. Die obere Feder ist um die Länge l0 gespannt; die untere Feder ist so gespannt, daß x= 0 die Gleichgewichtslage ist. Die Seile seien undehnbar. Es werden ausschließlich kleine Schwingungen um die Gleichgewichtslage betrachtet.
(a) Stellen Sie die kinetische Energie K und potentielle EnergieU für das System auf.
(b) Bestimmen Sie die Dissipations- funktionDoder die generalisier- te Kraft Q.
(c) Bestimmen Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung in der Schwerpunktskoordinate x. Um welche Länge muß die un- tere Feder gespannt sein, damit x = 0 die Gleichgewichtslage ist?
m,ΘS
M(t)
S x
c c
d
r
R
reines Rollen
Geg.:m,ΘS,M(t) =M0cos Ωt,M0, Ω, c,d
34. Das skizzierte System (homogene Kreisscheibe M, ΘS, masselose Umlenkrolle, ideales Seil, Masse m, lineare Feder c, linearer Dämpfer k) erfährt eine Fußpunkterregungu(t) = ˆucos Ωt.
(a) Wie viele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Bewegung des Scheibenschwerpunktes mit Hilfe derLagrangeschen Gleichungen 2. Art auf.
Geg.:M,m,ΘS = 12M r2,c,k,r, ˆu, Ω,g
M,Js
m
r
c
k u( )t
g
reines Rollen
35. Das skizzierte System besteht aus einem Körper der Masse M, der sich auf seiner Unterlage rei- bungsfrei bewegen kann. Er wird von den beiden Federn (Steifigkeit c) festgehalten. Beide Federn seien in der eingezeichneten Lage entspannt.
In einer Mulde rollt eine Kugel. Wenn der Grund- körper sich in der Mittelposition befindet (x= 0) und die Kugel im tiefsten Punkt der Mulde ist, gilt ψ= 0.
M c
c
R
µ= 0 S yx
ϕ ψ
r
m, JS
Mit Hilfe derLagrangeschen Gleichungen 2. Art sind die Bewegungsdifferentialgleichungen für die generalisierten Koordinatenψ undx aufzustellen.
Geg.:m,M,JS,c,R,r,g
36. Ein starrer Körper (Masse M) gleitet reibungsfrei in einer Führung und ist über ein Feder-Dämpfer-Element (Kon- stantenk,d) an die Umgebung gekoppelt. Außerdem trägt der starre Körper eine mit der Winkelgeschwindigkeit Ω rotierende masselose Stange, die im Abstand evom Dreh- punkt eine Punktmasse m trägt. Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Stange horizontal und die Punktmasse rechts vom Drehpunkt. Fürx= 0 sei die Feder entspannt.
Ω
m M k
d
x
e
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System, wenn die Winkelgeschwindigkeit Ω vorgegeben ist?
(b) Wie lautet die Bewegungsdifferentialgleichung für das System?
(c) Bestimme die Lösung im eingeschwungenen Zustand.
(d) Wie groß sind die Kräfte im Feder-Dämpfer-Element im eingeschwungenen Zustand?
37. Das skizziere System besteht aus einem Zahnrad 1 (Masse m1, RadiusR), einer Zahnstange 3 und einem Gleitkörper 2 (Massem2). Die Masse der Zahnstange soll vernachlässigt werden.
Zudem soll für eine erste Untersuchung des Schwingungsverhaltens auf eine Berücksichtigung der Reibung verzichtet werden.
Durch eine periodische Kraft P(t) wird das Sy- stem zu Schwingungen angeregt. Bestimme mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen die Bewe- gungsgleichungen des Systems!
Geg.:m1,m2,R,P(t),c
c P(t)
1
2 3
reibungsfreies Gleiten reibungsfreies Gleiten
38. Auf einem ruhenden, parabelförmig gebogenen Draht rutscht eine Perle mit Reibung. Die Schwerkraft wirkt in negativey-Richtung.
Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung auf und berechnen Sie die Zwangskraft mit Hilfe derLagrangegleichungen 1.Art.
Geg.:m,g,y(x) =ax2,a=const.,µ
m
x y
g
39. Eine masselose starre Stange ist am Punkt P aufgehängt. Im Abstand r1 =list eine Punktmasse m1 befestigt. Auf der Stange gleitet außer- dem eine zweite Punktmassem2 reibungslos. Der Abstand der zweiten Punktmasse vom Aufhängungspunkt P sei mitr2bezeichnet. Die Feder hat die Federsteifigkeitk und die unverformte Länge l0.
Gesucht sind die Bewegungsdifferentialgleichungen und die Längskraft
in der Stange. ϕ
m1
m2
P k
g
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Welche generalisierten Koordinaten sind zu wählen? Wie lauten die Zwangsbedingungen?
(c) Formuliere die kinetische und potentielle Energie in den gewählten Koordinaten.
(d) Wie lauten die Lagrangeschen Gleichungen 1. Art?
(e) Leite nun die Bewegungsdifferentialgleichungen und die Kraft in der Stange her.
(f) Wie lauten die Gleichgewichtslagen? Welche Lagerkraft wirkt dann im LagerP? 40. Bei dem skizzierten Pendel tritt am Gelenk ein linear viskoses Reibmoment
der GrößeMr=−rϕϕ˙ auf (rϕ: Drehviskosität).
Stelle für folgende Koordinatensysteme dieLagrange-Gleichungen 1. Art auf, werte diese aus, bestimme die Zwangskraftparameter, werte diese aus und führe eine vergleichende Diskussion durch.
(a) kartesische Koordinaten (x, y) des Massenmittelpunktes C und Drehwinkel ϕ
(b) ebene Polarkoordinaten (r, ϕ) des Massenmittelpunktes C Geg.:m, ΘC, R,g,Mr =−rϕϕ˙
x
y Mr R C
ϕ g
m,ΘC
41. An einer vertikalen Achse, die sich mit der Winkelgeschwin- digkeitω dreht, ist unter dem Winkelα ein gerader Draht befestigt, auf dem eine Perle der Masse m reibungsfrei glei- tet.
(a) Stellen Sie die Lagrangegleichungen 1.Art für die Zy- linderkoordinaten r, ϕ, z auf.
(b) Lösen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für z(t) unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen z(0) = ˙z(0) = 0.
(c) Ermitteln Sie die Zwangskräfte in Abhängigkeit der Zeit.
(d) Berechnen Sie die Energie der Perle und zeigen Sie, daß der Energiegewinn durch rheonome Zwangsarbeit verursacht wird.
Geg.:m,g,α,ω
m z
x α y
ω
g
r
42. Auf einer unendlich langen starren mas- selosen Stange gleitet reibungsfrei die Punktmasse m. Die Drehung der Stan- ge ist vorgegeben als ϕ(t) = ωt (Rota- tion mit konstanter Winkelgeschwindig- keit). Bestimmen Sie die Kraft der Stange auf die Masse. Benutzen Sie r und ϕ als generalisierte Koordinaten. Und gehen Sie
wie folgt vor: D
r
er eϕ
ex ey
ϕ m
(a) Bestimmen Sie den Ortsvektor r mit Ursprung D. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v(r, ϕ,r,˙ ϕ) =˙ vrer+vϕeϕ und |v|=qv2r+vϕ2.
(b) Bestimmen Sie die kinetische Energie K und damit die Lagrange-FunktionL(r,r,˙ ϕ).˙ (c) Geben Sie die (holonome, rheonome) Zwangsbedingung in der Form f(ϕ, t) = 0 an.
Berechnen Sie ∂f∂r sowie ∂ϕ∂f. (d) Stellen Sie die Gleichungen dtd∂∂Lq˙
j − ∂q∂Lj −λ∂q∂f
j = 0 auf. Setzen Sie darin die Zwangsbe- dingung ein. Und geben Sie die beiden resultierenden Dgln. fürr und λan.
(e) Geben Sie die generalisierten Zwangskräfte Qr und Qϕ an. Berechnen Sie daraus die Zwangskraft Z in der Basis her,eϕi, also Z =Zrer+Zϕeϕ. Kontrollieren Sie die Di- mension vonZ.
Geg.:m,ω=const.
43. Mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art berechne man alle Kontaktkräfte und die Bewegungsgleichung des skizzierten Systems.
g
r m , ΘC
α ϕ
44. Zwischen der Masse m1 und der horizontalen Ebene besteht Gleitreibung. Der Betrag der Gleitreibungskraft wird über die Zwangskraft des Pendelfadens von der Schwingung der Masse m2 beeinflußt.
Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 1.Art sowohl die Normalkraft zwischenm1 und der Ebene als auch die Bewegungsdifferentialgleichungen des Systems (Die Zwangskraft des Pendelfadens ist nicht gesucht!).
Geg.:m1,m2,l,g,µ
m1
m2
x y
ϕ l g
45. Zwei Massen m1 und m2 sind mit einer masse- losen Stange gelenkig verbunden. Die Masse m1
kann sich nur in y–Richtung, und die Masse m2
kann sich nur in x–Richtung bewegen. Mit den Lagrangeschen Gleichungen 1. Art berechne man die Stangenkraft und die Bewegungsdifferenzial- gleichung. Die Feder ist beiy=H spannungslos.
k g
H l
x, ex
y, ey r
m1
m2
46. Das skizierte System besteht aus einem starren Körper der Masse m, der auf einer Ebene reibungsfrei gleitet und mit zwei Federn und zwei Dämpfern an die Umgebung gebun- den ist. Im Körperschwerpunkt ist ein mathematisches Pen- del (Längel, Massem) angebracht, das von einem Wind der Geschwindigkeitvw von unten angeblasen wird (Luftwider- standsbeiwert k). Die Pendelmasse wird durch die Kraft P(t) = P0cos Ωtex erregt. Die Bewegung verläuft im Erd- schwerefeld.
(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion Ldes Systems bzgl.
der generalisierten Koordinaten x undϕauf.
(b) Berechnen Sie den Betrag der Relativgeschwindigkeit
|vrel|zwischen Pendelmasse und Wind.
(c) Stellen Sie die Dissipationsfunktion D des Systems auf.
m m
b b
c x c
ex ey
ϕ l g
vw
P(t)
(d) Geben Sie die generalisierten Nicht-Potentialkräfte Qx und Qϕ an, die nicht durch D modellierbar sind.
(e) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen für das System.
Hinweis: vrel=vm−vw; vm: Geschw. der Pendelmasse, vw Windgeschwindigkeit Geg.:m,b,c,k,l,g, vw,P0, Ω
3 Verfahren von Ritz
47. Bestimmen Sie für den skizzierten Balken mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens eine Nähe- rungslösung für die Biegelinie w(x). Passen Sie zunächst die Ansatzfunktion den geometri- schen Randbedingungen an.
Ansatz:w(x) =a0+a1 cos(π xl ) +a2 sin(π xl ) Hinweis: cos2(ϕ) = 12 +12cos (2ϕ)
Geg.:l,EI,c,F
c F
l l
x z, w
EI
48. Im folgenden soll die Längsverschiebung eines einsei- tig eingespannten Stabes mit linear veränderlichem Querschnittsradius r im Schwerefeld der Erde (Erd- beschleunigung g) untersucht werden. Es seien linear- elastisches Material, ein eindimensionaler Spannungs- zustand, über die Stablänge l konstante Dichte ρ und E-ModulE vorausgesetzt. Für die Radien r0 =r(x= 0) und r1 = r(x = l) gelte die Beziehung r1 = 23r0. Zudem giltr ≪l.
(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion, die den geo- metrischen Randbedingungen genügt. Berechnen Sie nun näherungsweise die Absenkung des freien Endes.
(b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Ergebnis.
x
l r(x)
49. Dargestellt ist ein Balken unter der Last q0. Am rechten Ende ist eine Drehfeder (Feder- steifigkeit cM) angebracht. Bestimmen Sie eine Näherungslösung für die Durchsenkung w(x).
Verwenden Sie den Ansatz
w(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3. Gehen Sie wie folgt vor:
l x
w EI
cM
q0
ϕ
(a) Passen Sie den Ansatz an die 3 geometrischen Randbedingungen an. Eliminieren Siea0, a1 unda2, und geben Sie die angepasste Ansatzfunktion an.
(b) Berechnen Sie die Formänderungsenergie W und die äußere Arbeit A. Die Formände- rungsenergie einer Drehfeder berechnet sich ausWF = 12cMϕ2.
Hinweis: Es gilt ϕ(x=l) =−w′(x=l).
(c) Berechnen Sie den Freiwert a3 aus der Bedingung δ(W −A) = 0, und geben Sie damit die Näherungslösung an.
50. Ein elastischer Balken (Längel, BiegesteifigkeitEI) ist links fest eingespannt und rechts in einer Hülse gelagert. Der Balken wird auf seiner gesamten Län- ge durch eine konstante Streckenlast belastet.
(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion, die die geo- metrischen Randbedingungen erfüllt.
(b) Berechnen Sie näherungsweise die Biegelinie.
(c) Vergleichen Sie die Näherungslösung mit der exakten Lösung.
Geg.:q0,l,EI
q0
A B
51. Mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens berechne man die Durchsenkung des skizzierten Balkens an der Stellex= 2l. Als Ritzansatz soll folgen- de Funktion verwendet werden:
w(x) =a0+a1x+a2cosh(xl) Geg.:M0,EI,c,l
l l
x w
EI
c
M0
52. Für das aus zwei Stäben und einer linearen Feder bestehende System ist näherungsweise die Horizontalverschiebung des Punktes A zu bestimmen, wenn an diesem wie skizziert mit der KraftF gezogen wird. Zur Lösung dieser Aufgabe sind folgende Teilschritte zu bearbeiten:
(a) Für die Biegelinie beider Bereiche ist jeweils ein Poly- nom 3.Grades als Ansatzfunktion zu wählen. Passen Sie diese Ansatzpolynome den geometrischen Randbe- dingungen an; fordern Sie zudem, daß die das Moment betreffenden Randbedingungen erfüllt sind.
(b) Stellen Sie das Energiefunktional Π =A−W auf.
(c) Berechnen Sie durch Extremalisierung dieses Funktio- nals (δΠ = 0) die noch unbestimmten Koeffizienten und geben Sie die Näherungslösung für die Horizon- talverschiebung im Punkte A an.
Geg.:l,EI,cf = 2EIl3 ,F
A
l
x1 x2
w1 w2
EI 3EI
cf
F
53. Für den skizzierten einseitig fest eingespannten und am an- deren Ende gelenkig gelagerten Balken ermittle man nach Ritz die erste Eigenkreisfrequenz und vergleiche sie mit dem exakten Wert:
ω1,exakt= 15,42 1 l2
sEI ρA Warum ist die Näherungslösung zu groß?
Ansatzfunktion:
w(x, t) =x2(l−x)2q(t) Geg.:ρ,A,EI,l
l ρ,EI,A
54. Berechnen Sie die beiden ersten Eigenkreisfrequenzen des skiz- zierten Balkens näherungsweise mit einem zweigliedrigen An- satz nach Ritz:
w(x, t) =ϕ1(x)q1(t) +ϕ2(x)q2(t) . Verwenden Sie die Ansatzfunktionen
ϕ1(x) = x
l ; ϕ2(x) = sinπx l . Geg.:l,EI,c,ρA,c=π4EI2l3,EI =const.
l
EI,rA
x c
55. Der dargestellte Stab führt infolge einer einmaligen Anregung Longitudinalschwingungen aus. Man ermittle:
(a) die exakte erste Eigenkreisfrequenz und
(b) Näherungen für die erste Eigenfrequenz unter Verwendung der Ansatzfunktionen:
(a) u(x, t) =x2q(t)
(b) u(x, t) =x2(3l−2x)q(t) (c) u(x, t) = sinπx2lq(t) Geg.:ρ,A,E,l
x,u(x, t) ρ,A,E,l
56. Der dargestellte Stab führt infolge einer einmaligen Anregung Longitudinalschwingungen aus.
Ermitteln Sie mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz eine Näherungslösung für die erste Ei- genkreisfrequenz unter Verwendung der Ansatzfunktion
u(x, t) =x2(3l−2x)q(t).
x,u(x, t) ρ,A,E,l Geg.:ρ,A,E,l
57. Der skizzierte Betonschornstein konstanter Wandstärke führt Bie- geschwingungen aus.
(a) Überprüfe die angegebene Funktion ϕ(x) auf ihre Brauchbar- keit als Ansatz für eine näherungsweise Bestimmung der ersten Eigenkreisfrequenz (nach Ritz).
(b) Bestimme näherungsweise die niedrigste Eigenfrequenz des Sy- stems!
ϕ(x) =l4h6x l
2
−4x l
3 +x
l 4i
Geg.:l,E,ρ,ra,Ra= 2ra, Ra−Ri = 12ra Ri
Ra
l ra
x
y
58. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit kreis- förmigem Querschnitt trägt an seinem Ende eine Einzelmassem. Geeignete Anfangsbedingungen las- sen den Stab um seine Längsachse schwingen.
Bestimmen Sie näherungsweise die erste Eigenkreis- frequenz.
Geg.:l,r,m,G,Ip,A,̺
G,Ip,A,̺
m r ϑ
x y z
l 59. Auf dem Tisch einer Waage liegt ein Paket (Masse M2).
Der Tisch (MasseM1) wird von zwei Blattfedern (Biege- steifigkeitEI, Massebelegungenµ, Längenl) so gehalten, daß er in vertikaler Richtung schwingen kann. Für beide Blattfedern wird die Verformung mit der gleichen Ansatz- funktion, einem Polynom dritten Grades, beschrieben. Bei z= 0 sind die Blattfedern entspannt.
(a) Beschreibe das Vorgehen zur exakten Bestimmung der Eigenfrequenzen des abgebildeten Systems. Wie- viele Eigenfrequenzen hat das System?
(b) Wie muß die Ansatzfunktion gewählt werden, damit alle geometrischen Randbedingungen erfüllt wer- den?
(c) Stelle die kinetische und potentielle Energie für klei- ne Schwingungenz(t) des Systems auf. Beachte da- bei die Wirkung der Erdbeschleunigungg.
(d) Formuliere das Prinzip der kleinsten Wirkung für das untersuchte System und bestimme näherungs- weise die niedrigste Eigenkreisfrequenz.
(e) Wie groß ist die statische Absenkung zstat des Sy- stems?
z g E I,µ
E I,µ
l
M2 M1
60. Mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens berechne man näherungsweise die Biegelinie. Verglei- chen Sie ihr Ergebnis für die Durchsenkung an der Stelle x= 2l für den Spezialfall c= 0 mit dem exakten Ergebnis.
l l
x w
EI
c
M0
Es soll der folgende zweigliedrige Ansatz verwendet werden:
w(x) =q1f1(x) +q2f2(x) , wobei die beiden Formfunktionenf1 undf2 Polynome sind.
Hinweis:Es ist zweckmäßig, die Formfunktionen so zu normieren, daßq1 die Durchsenkung des Balkens in der Mitte (x=l) undq2die Verdrehung des Balkens am rechten Ende (x= 2l) sind.
Geg.:M0,EI,c,l
61. Betrachtet wird ein Stabwerk aus zwei iden- tischen Stäben (Länge l, Dehnsteifigkeit EA, Massebelegung µ). Am oberen Ende sind die Stäbe gelenkig an die Umgebung angebunden.
Am unteren Ende sind beide Stäbe gelenkig mit einer Punktmasse m verbunden. Betrach- tet werden ausschließlich kleine Vertikalbewe- gungen der Punktmasse. Vereinfachend sei an- genommen, daß beide Stäbe stets gleich schwin- gen.
1 2
√2l
√2l
EA,µ
m
Im folgenden soll mit verschiedenen Verfahren die niedrigste Eigenkreisfrequenz bzw. eine Näherung für die niedrigste Eigenkreisfrequenz des Systems bestimmt werden.
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das abgebildete System?
(b) Wie lauten die geometrischen Randbedingungen?
(c) Leite die Bewegungsdifferentialgleichungen und die dynamischen Randbedingungen für das untersuchte System her.
(d) Wie lautet die Frequenzgleichung des untersuchten Systems? Bestimme nun fürµ= 10ml die niedrigste Eigenkreisfrequenz des Systems.
Hinweis:Die kleinste positive Lösung der Gleichung 10χtanχ= 1 istχ1 ≈0,3111.
(e) Welche Eigenkreisfrequenz erhält man fürµ= 10ml, wenn man einen linearen Ritz-Ansatz für die Längsverschiebung der Stäbe wählt?
(f) Vernachlässigt man die Stabmasse gegenüber der Punktmasse, erhält man einen Ein- massenschwinger. Bestimme die zugehörige Eigenkreisfrequenz mit dem zweiten Satz von Castigliano. Vergleiche die drei Ergebnisse miteinander.
62. Ein massebehafteter Balken (Längel, Biegestei- figkeit EI, Massebelegung µ) ist bei A gelen- kig gelagert und bei B in eine Hülse gesteckt, die dem Balken dort eine horizontale Tangente aufzwingt. Die Hülse (Massem) kann auf einer starren Stange in vertikaler Richtung reibungs- frei gleiten. Der Balken schwingt ausschließlich in Querrichtung.
00 00 11 11 0 0 1 1 00 11 0 1 0 1 0 1 00 11
x
w EI, µ l
m glatt, starr
A B
(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion (z.B. eine harmonische Funktion), die den geometrischen Randbedingungen genügt.
(b) Bestimmen Sie nun die bezogene kinetische und maximale potentielle Energie des Sy- stems.
(c) Berechnen Sie schließlich eine Näherung für die erste Eigenkreisfrequenz ω1? Geg.:EI,l,m, µ
Hinweis: Rsin2axdx= x2 −4a1 sin 2ax
63. Das abgebildete System besteht aus einem elastischen, mas- sebehafteten Seil (Dichte ρ, Länge l, Querschnittsfläche A, E-ModulE) und einer Endmassem.
Es sollen die erzwungenen Längsschwingungen des Systems untersucht werden. Die Position des oberen Endes ist vor- gegeben: s = ˆscos Ωt. Die Position der Endmasse sei mit q bezeichnet. Wenn das Seil nicht gedehnt ist, giltq =s.
Leiten Sie für den Fall, daß man die Verschiebungu(x, t) des Seils mit folgendem Ritz-Ansatz u(x, t) = s(t) + xl(q(t) − s(t)) beschreiben kann, die Bewegungsdifferentialgleichung her. Überprüfen sie zunächst, ob der gegebene Ansatz im Sin- ne von Ritz zulässig ist.
Geg.:l,E,A,ρ,m,g, ˆs, Ω
E,A,ρ,l s(t)
m
g
q
Anmerkung: Das untersuchte System kann u.a. als ein sehr einfaches Modell zur Beschreibung der Bewegung von kabelgebundenen Systemen in der Meerestechnik (z.B. remotely operated vehicle) dienen. Die Bewegung des oberen Kabelendes wird durch den Seegang verursacht.
64. Das abgebildete System besteht aus einem elastischen, massebehaf- teten Stab (Dichte ρ, Länge l, Querschnittsfläche A, E-Modul E) und einer Endmassem.
Mit Hilfe eines eingliedrigen Ansatzes nach Ritz soll näherungsweise die erste Eigenkreisfrequenz berechnet werden, wobei die Längsver- schiebung der Punktmasse den Freiheitsgrad q(t) beinhaltet. Als Formfunktion ist ein linearer Ansatz zu wählen.
Geg.:l,E,A,ρ,m,g,
E,A,ρ,l
m
g
65. Ermitteln Sie mit dem Ritzschen Verfahren für das skizzierte System die Durchbiegung an der Stellex = ℓ/2. Verwenden Sie dazu den folgenden Ansatz, nach- dem Sie ihn an die geometrischen Randbedingungen angepaßt haben.
Ansatz:w(x) =a2x2+a1x+a0
Geg.:EI,c,qo,ℓ
c c
z
x EI
1 6ℓ
1
6ℓ 23ℓ
q0
66. Ein Kragbalken der Länge L mit konstanter Biegesteifig- keitEI ist mit einer wie skizziert linear verteilten Strecken- last und einer in der Mitte angreifenden Einzellast F bela- stet.
Bestimme die Verschiebung des freien Balkenendes mit dem
Näherungsverfahren nach Ritz. F
q0
L 2
L 2
Die Biegelinie nach Theorie erster Ordnung soll mit einem Polynom dritten Grades approxi- miert werden, das die geometrischen Randbedingungen erfüllt.
Geg.:EI,L,F, Maximum der Streckenlast: q0
67. Auf einen Bernoulli-Balken der Länge l und der Bie- gesteifigkeit EI wirkt die Kraft F. Bestimmen Sie die Durchsenkung des Balkens bei x = 0 näherungsweise, nämlich für den Ritz-Ansatz
w(x) =a 1−sinπx 2l
mit dem PdvV. Benutzen Sie das gegebene Koordina- tensystem, und gehen Sie wie folgt vor:
F c
x
z, w
l
EI
(a) Berechnen Siew′, w′′und δw, δw′, δw′′. Zeigen Sie, dass der Ansatz die beiden geometri- schen Randbedingungen erfüllt.
(b) Berechnen Sie die Variationen der Formänderungsenergien:
δWF (Feder) und δWB (Balken, Hinweis R0l sinπx2l2dx= 12l).
(c) Bestimmen Sie die virtuelle äußere ArbeitδA.
(d) Bestimmen Siea=w(x= 0) aus δWB+δWF =δA(PdvV).
(e) Bestimmen Sie jetzt das elastische Potenzial Π = WB+WF−A. Berechnen Sie aaus der Bedingung ∂Π∂a = 0. Kontrollieren Sie damit Ihr Ergebnis aus (d).
Geg.:EI,c,l,F,WB= EI2
Rw′′2dx
4 Sätze von Castigliano
68. Berechne für den skizzierten Balken die Durchbiegung an der Krafteinleitungsstelle und die Auflagerreaktionen. Verwende dazu den ersten Satz vonCastigliano.
Geg.:M0,F,EI,l
0 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 00 000 11 111
F M0
2l l
EI
69. Am Ende des skizzierten schubstarren Balkens mit der Biegesteifigkeit EI greifen ein Mo- mentM0 und eine Einzellast F an.
(a) Berechne die das elastische PotentialUeldes Systems. Bestim- me nun mit dem ersten Satz von Castiglianodie Durchsen- kung w1(l) und den Biegewinkel ϕ1(l) am rechten Ende des Balkens (x=l).
(b) Berechne den Biegewinkel ϕ2(l) am rechten Balkenende für den Fall M0 = 0.
F M0
l EI x
Geg.:M0,F,EI,l
70. Berechne mit Hilfe des Satzes von Castigliano die Biegelinie w(ˆx) des skizzierten Kragarms mit der Biegesteifigkeit EI unter Einwirkung der Einzellast F am freien Ende.
Geg.:F,l,EI
F l
EI ˆ x
71. Gegeben ist die nebenstehend skizzierte Konstruktion.
Berechnen Sie unter Verwendung des ersten Satzes von Castigliano die Durchsenkung an der StelleA.
Geg.:l, q0, E, I, der Balken sei schubstarr
q0
l A 2l B
E, I
72. Für den skizzierten schubstarren Träger mit der kon- stanten BiegesteifigkeitEI ist mittels des ersten Sat- zes von Castigliano die Lagerkraft an der StelleBzu bestimmen.
Geg.:l, EI,q0
q0
l
B EI
73. Der skizzierte dehn- und schubstarre Träger mit der konstanten Biegesteifigkeit EI ist einfach statisch unbestimmt.
(a) Machen Sie das System statisch bestimmt, indem Sie das Lager an der StelleBdurch eine noch zu bestim- mende Kraft ersetzen.
(b) Unterteilen Sie den Balken in zwei Bereiche, und er- mitteln Sie den Momentenverlauf analytisch.
(c) Ermitteln Sie die Ableitung der Formänderungsener- gie, und bestimmen Sie die eingeführte unbekannte Kraft.
(d) Geben Sie alle Lagerkräfte bzw. -momente an.
Geg.:l,E,I,q0
x z A
B C
2l l q0
74. Ein rechtwinkliger, einhüftiger Tragrahmen wird wie skizziert durch die Streckenlastq(x) belastet. Der Rahmen wird als bie- geelastisch, aber dehn- und schubstarr angesehen.
Berechnen Sie mit den Sätzen von CASTIGLIANO die Lager- reaktionen an den OrtenA undB.
Geg.:h,l,E,I,c,q0
A
B EI
h
l
c q0
75. Das abgebildete Fachwerk aus 7 Stäben mit der DehnsteifigkeitEAist innerlich statisch bestimmt.
Aufgrund der Lagerung in den Punkten B, C, D ist das Fachwerk äußerlich einfach statisch überbe- stimmt.
Die (komplementäre) Formänderungsenergie eines longitudinal gedehnten Stabes beträgt:
UStab = 1 2
Z x1
x0
N2
EAdx
00 00 00 11 00 11 00 11 00 11 0 1 00 11 0 1 0 1 11 11
00 00 11 11 00 11
0 0 1 1 00 00 11 11 0 0 1 1
0 0 1 1 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 0 0
1 1 0 0 1 1
1 7
4
5 3
6
2
A
C B
D E
l
l l
FA
(a) Machen Sie die Lagerung des Fachwerks statisch bestimmt, indem Sie das Lager bei B entfernen und dort die LagerkraftFB einführen. Bestimmen Sie dann die Kräfte in den Stäben, z.B. indem Sie die Knoten A, B und E freischneiden.
(b) Berechnen Sie nun die (komplementäre) Formänderungsenergie U des Fachwerkes als Funktion der KräfteFA und FB.
(c) Nutzen Sie im folgenden die (komplementäre) Formänderungsenergie U = l
EA
haFA2+bFAFB+cFB2i ,
mit den bekannten Konstantena,bund c. Berechnen Sie die Lagerkraft FB. (d) Wie groß ist die statische Durchsenkung in vertikaler RichtunguA am Punkt A?
(e) An der Stelle A sei nun statt der Kraft FA eine Punktmasse m angebracht. Die Masse der Stäbe soll gegenüber dieser Punktmasse vernachlässigt werden.
Betrachtet werden ausschließlich vertikale Schwingungen der Punktmassem. Das Fach- werk verhält sich dann wie eine lineare Feder. Wie groß ist die Ersatzfedersteifigkeit?
Welche Eigenkreisfrequenz hat das System?
Geg.:FA,l,EA,m
76. Ein Balken (Länge 2l, Biegesteifigkeit EI) ist mit drei Stäben (Dehnsteifigkeit EA) statisch be- stimmt gestützt. Berechnen Sie mit Hilfe desSat- zes von CASTIGLIANOdie Verschiebung des Punktes B in Richtung der KraftF.
Geg.:l,EI,EA
F l
l
30◦ 30◦
A B
C x y
1 2 3
77. Ein Fachwerk aus 9 Stäben ist in A und D gelagert. Im Punkt B wirkt eine vertikale Kraft P. Die Stäbe haben alle die gleiche Querschnittsfläche A und den gleichen E-ModulE.
P P
l l
l l
l l
l l
Variante 1 Variante 2
1
1 2 3 2 3
4 5 6 7 8 4 5 6 7 8
9 9
A
A B C D B C D
E
E F
F
Es werden zwei verschiedene Varianten vorgeschlagen (siehe Bild). Welche Variante ist zu wählen, wenn die vertikale Durchsenkung in B möglichst klein sein soll? Wie groß ist die Durchsenkung im besseren Fall?
Geg.:P,l,E,A
78. Der Flügel eines Hochdeckerflugzeuges erzeugt annähernd eine über die Flügelspannweite konstante Auftriebslast p. Um das Biegemoment an der fest eingespannten Flügelwurzel A zu reduzieren, wurde eine Strebe BC eingebaut. Der Flügelaufbau wird wie abgebildet durch einen schubstarren Balken und einen Stab modelliert. Alle Teile seien aus dem gleichen Ma- terial.
c
p
a b
A
(a) Ist das System statisch bestimmt?
(b) Bestimmen Sie die komplementäre Formänderungsenergie W∗ als Funktion der Stab- kraft.
(c) Wie groß ist die Kraft in der Strebe?
(d) Wie groß ist das Biegemoment an der Flügelwurzel?
Geg.:I,A1,A2,c,a,b,p
79. Dargestellt ist ein System aus einem schubstarren Balken, einem Dehnstab und einer Feder.
Berechnen Sie die Verdrehung ϕ am Lagerpunkt A unter Verwendung des Satzes von CA- STIGLIANO. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(a) Berechnen Sie zunächst die maßgeblichen Schnitt- kräfte in Dehnstab, Balken und Feder N, M und F unter Berücksichtigung eines HilfsmomentsMH, das dort anzubringen ist, wo der Verdrehwinkel ge- sucht ist.
(b) Berechnen Sie die gesuchte Verdrehung unter Aus- nutzung von
∂W
∂MH = ∂M∂W∗
H = EI1 R0lM∂M∂M
Hdx+EA1 R0l2N∂M∂N
Hdz+
F c
∂F
∂MH
(c) Berechnen Sie die Verdrehung ϕ nun für den Spe- zialfall EI → ∞ undc→ ∞.
l
q0
l 2
EI
EA A
c x
z
ϕ
80. Alle Stäbe des Fachwerks haben die gleiche Querschnittsflä- cheA und den gleichen E-ModulE. Berechne die vertikale Verschiebung des Lasteinleitungspunktes C unter der Ein- wirkung der äußeren LastP.
Geg.:P,l,E,A
P l
l 1
2
3 5 4
A B
C
D
5 Prinzip der stationären Wirkung, Hamiltonsches Prinzip
81. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit kreisför- migem Querschnitt trägt an seinem Ende eine Einzel- masse.
(a) Wie lautet die geometrische Randbedingung für das System?
(b) Berechnen Sie die kinetische Energie K und die potentielle Energie U für das Gesamtsystem.
G, Ip, A, ρ
m ϑ(l) r x
y z
l
(c) Formulieren Sie das Prinzip von Hamiltonfür das untersuchte System.
(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung und diedynamische Randbedingung her.
Geg.:l,m,G,Ip,A, ρ,r
82. Ein bei x = 0 eingespannter Balken (Länge l, Biegestei- figkeitEI = konst., Massenverteilungµ= konst.) mit der Endmassem an der Stelle x = l soll Eigenschwingungen durchführen. Mit Hilfe des Hamilton Prinzips sind die dy- namischen Randbedingungen und die Bewegungsdifferen- tialgleichung zu ermitteln.
EI,µ x
w(x, t) l
m Geg.:EI,l,µ,m.
Hinweis: Die Formänderungsenergie des Biegebalkens beträgt UBalken= 12Rxx12EIw′′(x)2dx.
83. Ein elastischer, massebehafteter Balken (Biegesteifigkeit EI, Länge L, Quer- schnittsfläche A und Dichte ρ) ist links und rechts gelenkig gelagert. An beiden Enden greift ein periodisches Moment M(t) =M0cos Ωtan.
EI,µ L x
A B
M(t) M(t)
(a) Wie lauten die geometrischen Randbedingungen für das System?
(b) Berechnen Sie die kinetische Energie K, die potentielle Energie U sowie die virtuelle ArbeitδW für das Gesamtsystem.
(c) Formulieren Sie das Prinzip von Hamilton für das untersuchte System.
(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung und diedynamischen Randbedingun- gen her.
Geg.:M0, Ω,L,EI,A,µ
84. Ein Kragbalken wird wie abgebildet durch ein Mo- ment am rechten Rand belastet.
(a) Wie lauten diegeometrischenRandbedingungen für das System?
(b) Berechnen Sie die kinetische Energie K, die po- tentielle EnergieU sowie die virtuelle ArbeitδA für das Gesamtsystem.
x z, w(x, t)
ME(ℓ, t) EI, µ, l
(c) Formulieren Sie das Prinzip von Hamiltonfür das untersuchte System.
(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung und diedynamischen Randbedingun- gen her.
Geg.:EI, µ :=ρA, l, ME =M(t)
85. Eine (dehnstarre) Saite der Längel wird mitFsvorge- spannt und trägt die Masse pro Längeµ:=ρA. Leiten Sie die Bewegungs-Differentialgleichung mit dem Prin- zip der kleinsten Wirkung (Prinzip vonHamilton) her.
Geg.:Fs,µ,l
Fs
z, w(x, t)
ρA x
l
