Analysis 2 10. Übung

Analysis 2 10. Übung

Prof. Dr. B. Kümmerer Fachbereich Mathematik

W. Reußwig, K. Schwieger 13. Juni 2011

Hausaufgaben

Aufgabe 1 Berechnung von Integralen

Berechnen Sie für a<b die folgenden Integrale:

a) Rb

a x²e^x d x, b) Rb

a cos²x d x, c) Rb

a x 1+x² d x, d) Rb

a tanx für−^π₂ <a<b< ^π₂,

e) Rb

a xⁿlnx d x für a,b>0,

f) Rb a

p

1+x²d x.

g) Rb a

p

1−x²d x für−1<a< b<1,

Hinweis:Was sind die Ableitungen der Umkehrfunktionenarcsin,arccos,arsinhundarcosh?

Aufgabe 2 Fourierreihen

Wir betrachten den Raum C[−π,π]aller stetigen Funktionen f :[−π,π] mit dem Skalarpro- dukt (vgl. 9. Übung, Hausaufg. 4)

f,g :=

Z π

−π

f(x)g(x)d x .

a) Berechnen Sie für alle n,m∈Ndie Integrale Z _π

−π

sin(nx)sin(mx)d x,

Z _π

−π

sin(nx)cos(mx)d x,

Z _π

−π

cos(nx)cos(mx)d x .

Folgern Sie, dass die Funktionen f₀(x) := 1, f_n(x) := cos(nx) und g_n(x) := sin(nx) mit n≥1ein Orthogonalsystem inC[−π,π]bilden.

1

b) Für n ∈ N bezeichne V_n ⊆ C[−π,π] den linearen Teilraum, der von den Funktionen f₀, . . . ,f_n und g₁, . . . ,g_n aufgespannt wird. Betrachten Sie die Funktion h(x) := x². Be- rechnen Sie die orthogonale Projektion

P_n(x):=

n

X

k=0

h,f_k

f_k,f_k f_k(x) +

n

X

k=1

h,g_k

g_k,g_k g_k(x)

vonhauf den Teilraum V_n. Die Folge der Funktionen P_nheißtFourierreihevonh.

Bemerkung: Die Funktion P_n(x) ist diejenige Funktion in V_n, welche zu hden geringsten Abstand bzgl. der Norm des Skalarproduktes hat.

c) Stellen Sie mit Hilfe eines Rechners die Funktionenhund P_nfür verschiedene Werte vonn dar. Was vermuten Sie: Konvergiert die Folge P_n punktweise / gleichmäßig gegenh?

Aufgabe 3 Das Dirac-Delta

a) Zeigen Sie: Es gibt keine stückweise stetige Funktion δ : [−1, 1] → R, sodass für jede stetige Funktion f :[−1, 1]→Rgilt:

Z 1

−1

f(x)δ(x)d x = f(0). (1)

b) Finden Sie eine Folge von Treppenfunktionen δn : [−1, 1] → R, so dass für jede stetige Funktion f :[−1, 1]→Rgilt:

n→∞lim Z 1

−1

f(x)δn(x) = f(0).

Bemerkung:Man kann zeigen, dass es auch eine solche Folge von unendlich oft differen- zierbaren Funktionenδn gibt.

c*) Zeigen Sie, dass es auch keine Regelfunktionδ:[−1, 1]→Rgibt, so dass für jede stetige Funktion f :[−1, 1]→RGleichung (1) gilt.

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