Analysis 2 2. Übung
Lösungshinweise
Prof. Dr. B. Kümmerer Fachbereich Mathematik
W. Reußwig, K. Schwieger 18. April 2011
Anwesenheitsübungen
Aufgabe 1
Mitsin(z) = exp(iz)−exp(−iz2i ) einfach durchrechnen.
Aufgabe 2
a) Wir haben bereits in Analysis 1 gezeigt, dass für eine Folge (xn,yn)∈ R2 die gegen einen Punkte(x,y)∈ R2 konvergiert, auch die Folge der Normen
(xn,yn)
gegen (x,y)
konvergiert. Wegen f(x,y) = (x,y)
2folgt daraus die Behauptung.
b) Sei(xn,yn)eine gegen(x,y)konvergente Folge inR2. Dann gilt insbesondere xn→ x und yn→ y. Somit folgt nach dem Grenzwertsatz für die Addition f(xn,yn) =xn+yn→x+y.
c) Analog mit dem Grenzwertsatz für die Multiplikation.
d) Die Funktion f ist eine Komposition aus den stetigen Funktionenx7→x2,x7→sin(x)und(x,y)7→x·y.
Aufgabe 3
b) 00 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
c) Fürx>0giltlimnfn(x) =limnn
px=1, fürx=0gilt fn(x) =0. Somit konvergiert die Funktionenfolge punkt- weise gegen
f(x):=
(1 , falls x>0, 0 , falls x=0.
Anhand der Skizze sieht man sofort, dass die Funktionenfolge nicht gleichmäßig gegen f konvergiert, denn
fn−f
∞=1für allen∈N.
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Hausübungen
Aufgabe 1 Was ist00(für kleine0)?
a)
limy→0ay=lim
y→0exp(ylna) =exp(0) =1 , lim
x&0xc=lim
x&0exp(clnx) = lim
t→−∞exp(t) =0 b) f ist als Komposition der stetigen Funktionenexp,lnund der Multiplikation wieder stetig.
c) Nein, denn
limy&0 lim
x&0f(x,y) =06=1=lim
x&0 lim
y&0f(x,y).
(Die Funktion f˜müsste an der Stelle(0, 0)also sowohl den Wert0als auch den Wert1annehmen.) d) Setzed:=lnc. Fürt>0setze weiterx(t):=e−t undy(t):=−d/t. Dann gilt
tlim→∞x(t) = lim
t→∞e−t=0 ,
t→∞lim y(t) = lim
t→∞−d/t=0 ,
tlim→∞ x(t)y(t)= lim
t→∞exp(−d/t·lne−t) = lim
t→∞exp −d/t·(−t)=ed=c. Aufgabe 2 Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen
a) Füra6=1istlna6=0und die FunktionR→R, t7→t·lnaist damit bijektiv. Als Komposition bijektiver Funktionen ist damit auchR→]0,∞[, t7→at bijektiv.
b) Wir zeigen beispielhaft die obersten beiden Gleichungen: Es gilt nach der Homomorphismus-Eigenschaft der Ex- ponentialfunktion
as+t=exp (s+t)lna
=exp(slna+tlna) =exp(slna)·exp(tlna) =as·at. Somit folgt auch
alogax+logay=aloga x·alogayDef.= x·y.
Aus der Bijektivität der Potenz (bzw. des Logarithmus) folgt damitloga(x·y) =logax+logay.
c) Folgt aus der Logarithmusgleichung der zweiten Zeile mitx=bundt=logbx.
Aufgabe 3 Wachstum von Potenzen und Logarithmus a) Fürx>0giltex=P∞
k=0xk/k!≥xn+1/(n+1)!und somit 0≤ xn
ex ≤ xn(n+1)!
xn+1 =(n+1)!
x
−−→x→∞ 0 .
Die Behauptung folgt also aus dem Sandwich-Theorem. Weiter gilt
x→−∞lim xnex= lim
x→∞(−x)ne−x= lim
x→∞(−1)nxn ex . Die Behauptunglimx→−∞xnex=0folgt deshalb auslimx→∞xn/ex=0.
b) Sei(xk)keine monoton fallende Nullfolge. Setzeyk:=lnxk. Durch die Monotonie des Logarithmus istykmonoton fallend und bestimmt divergent mityk→ −∞. Weiter gilt
xknlnxk=en·ykyk= n·yk·en·yk
n .
Auch die Folge(n yk)kist bestimmt divergent mitn yk→ −∞. Somit folgt nach dem bereits Gezeigten:
k→∞limxknlnxk=1/n· lim
y→−∞y·ey=1/n·0=0 . Außerdem ergibt sich damit auch
x→∞lim lnx
xn =lim
x&0
ln(1/x) (1/x)n =lim
x&0−xnlnx=0 .
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