11.1 Grundgleichungen der Magnetohydrodynamik

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11 Magnetohydrodynamik

11.1 Grundgleichungen der Magnetohydrodynamik

Magnetohydrodynamik (MHD) ist die Hydrodynamik von magnetisierten Flüssigkeiten oder Plasmen. Grundlagen der MHD sind die Hydrodyna- mik, die Elektrodynamik und die Plasmaphysik.

In einem magnetisierten Plasma wirken Lorenzkräfteqv×B auf die ge- ladenen Teilchen. Die Bewegung der Teilchen quer zum Magnetfeld ist eine Kreisbewegung, mit Larmor-Radius (oder Gyroradius)r und Zyklo-_L tronfrequenzω_C

qB mvperp

r_L= (11.1)

m qB

C =

ω (11.2)

Wenn der Larmorradius sehr klein ist im Vergleich zur charakteristischen Länge L des Systems, so erfolgt die Bewegung der einzelnen Teilchen (im mitbewegten System) praktisch nur noch längs der Magnetfeldlinien.

Die Magnetohydrodynamik betrachtet langsam veränderliche Systeme mit kleinen Gyroradien:

T L

r

C L<< <<

ω

, 1 (11.3)

Die Impulsgleichung der MHD enthält einen zusätzlichen Term für die Lorenzkraft:

B j v

v v

× +

−∇

=

∇

⋅

∂ +

∂ p

t ρ( )

ρ (11.4)

jist dabei elektrische Stromdichte, B die magnetische Induktion. Viskosi- tätsterme können vernachlässigt werden, weil Transportprozesse quer zum Magnetfeld durch die Gyration stark behindert sind und längs der Feldlinien meist die Advektion dominiert. Gleichung (11.4) erhält man durch Addition der separaten Bewegungsgleichungen für Ionen und E- lektronen in einem (insgesamt neutralen) Plasma.

Die Stromdichte ist mit dem Magnetfeld verknüpft durch die Ampère- Maxwell-Gleichung (in der MHD-Näherung darf der Verschiebungsstrom vernachlässigt werden)

89 j

B=µ₀

×

∇ (11.5)

also (unter Verwendung von (5.11))

(

^B

)

^B

(

^B

)

^B

B

j + ⋅∇

 



−∇

=

×

∇

=

×

0 0 2

0

1 2 1

µ µ µ

B (11.6)

damit erhalten wir die Impulsgleichung der MHD, aus welcher der Strom mit Hilfe des Magnetfeldes eliminiert worden ist:

(

^B

)

^B

v v v

∇

⋅

+



 



∇

−

−∇

=

∇

⋅

∂ +

∂

0 0

2 1

) 2

( µ µ

ρ

ρ B

t p (11.7)

Die Grösse

( )

0

2 2µ

B bezeichnet man alsmagnetischen Druck.

Die Feldgleichung fürB erhalten wir aus dem Induktionsgesetz t E

B=−∇×

∂

∂ (11.8)

aus der wir das elektrische Feld mit Hilfe des verallgemeinerten Ohm’schen Gesetzes

(

^E ^v ^B

)

j=σ + × (11.9)

eliminieren {Resultat aus der Plasmaphysik, vgl. Krall und Trivelpiece, Kap. 3.5 (Magnetohydrodynamics). Man erhält diese Gleichung aus der Differenz der Bewegungsgleichung für Ionen und Elektronen und den Näherungen der MHD}.σ ist die elektrische Leitfähigkeit, im weiteren betrachten wir sie als konstant.

Einsetzen von (11.9) in (11.8) liefert

(

^v ^B

) (

^B

)

t

B=∇× × − ∇× ∇×

∂

0

1

σµ (11.10)

Mit der Vektorindentität (5.14) wird die Gleichung für das Magnetfeld schliesslich zu

(

^v ^B

)

^B

t

B ₂

0

1 ∇ +

×

∇

∂ =

∂

σµ (11.11)

Das Verhältnis der beiden Terme auf der rechten Seite ist bestimmt durch diemagnetische Reynoldszahl

σUL µ₀

ReM≡ (11.12)

Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung bilden die Gleichungen (11.7) und (11.11) ein System, das nur noch die Grössen u und B enthält (aber nicht mehrj oder E).

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90 Wir können (11.11) mit der Vektorbeziehung (5.13)

(

^a×^b

) (

= ∇⋅^b

) (

^a− ∇⋅^a

) (

^b− ^a⋅∇

)

^b+

(

^b⋅∇

)

^a

×

∇ umformen zu

(

^v

)

^B

(

^B

)

^v ^v ^B ^B

t

B 2

0

) 1

(∇⋅ + ∇

−

∇

⋅

=

∇

⋅

∂ +

∂

σµ (11.13)

Formal ist diese Gleichung identisch mit der Vorticity-Gleichung (5.15).

Sie hat die Form einer Transportgleichung für das Magnetfeld. Für belie- big gute Leitfähigkeit (ReM→∞) beschreibt sie das im Plasmaeingefro- rene Feld („frozen-in field“), welches vom Plasma mitgeführt wird.

11.2 Alfvén-Wellen

Wir betrachten Schwingungen des Magnetfeldes in einem ruhenden Plasma

) , (xt B B

B= ₀+ ₁ (11.14)

Das konstante MagnetfeldB₀zeige in x-Richtung, die Schwingung sei inkompressibel, das Plasma unendlich gut leitfähig, und es sei

) 2 /( ₀

2 µ

B

p<< . Wir betrachten SchwingungenB₁in y- oder z-Richtung, und schreiben die Impuls- und Induktionsgleichungen in der Form

( ) (

1

)

0

0 0

1

1 B B B B

v= ∇× × = ∇× ×

∂

ρ µ ρ

µ

t (11.15)

(

^v ^B

)

B=∇× ×

∂

t (11.16)

In Komponenten:

x B B t

v_y_z _y_z

∂

= ∂

∂

∂ ,

0 , 0

ρ

µ ^(11.17)

x B v t

B_y_z _y_z

∂

= ∂

∂

∂ _,

0

, (11.18)

Ableiten nachx bzw. t liefert die Wellengleichung

2 , 2

0 2 0 2

, 2

x B B t

B_y_z _y_z

∂

= ∂

∂

ρ

µ (11.19)

2 0

2 2 2

2 =

∂

− ∂

∂

∂ V x

t ^A

B

B (11.20)

mit der Alfvéngeschwindigkeit

91 ρ

µ0

B0

VA = (11.21)

Alfvénwellen sind transversale Schwingungen des Magnetfeldes, für die das Magnetfeld die rücktreibende Kraft bewirkt und die Plasma-Dichte die Trägheit.

Für Plasmen mit endlicher Temperatur koppeln sich akustische und Alfvénwellen, es entstehen die langsamen und schnellen magneto- akustischen Wellen.

Aus dem Verhältnis von Schallgeschwindigkeit, Alfvéngeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit (bzw. thermischem, magnetischem und dynamischem Druck) lassen sich weitere dimensionslose Zahlen definie- ren

( )

0 2

0 2µ

β B

= p (Plasma-Beta) (11.22)

0 2

2

MaA

µ ρ B

u V

u

a

=

= (Alfvén- Machzahl) (11.23)

Je nachdem, ob β ^{und Ma}Agrösser oder kleiner als 1 sind, dominiert der dynamische, thermische oder magnetische Druck die Impulsbilanz (bzw. kinetische, thermische oder magnetische Energie die Energiebi- lanz).

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11.3 Magnetosphären

Weil in magnetisierten Plasmen die Teilchen an die Magnetfeldlinien

„gebunden“ sind, mischen sich magnetisierte Flüssigkeiten äusserst schlecht. Wechselwirkungen zwischen magnetisierten Flüssigkeiten erzeugen also Gebilde mit scharfen Grenzflächen.

Typische Beispiele sind die Magnetosphären der Planeten (und anderer Himmelskörper). Das Magnetfelder eines Planeten stellt für den Son- nenwind, ein voll ionisiertes Plasma, das mit Überschall (und Über- Alfvéngeschwindigkeit) von der Sonne wegströmt, ein Hindernis dar. Der Sonnenwind wird in einer Stossfront auf Unterschallgeschwindigkeit ab- gebremst. Er umströmt und deformiert das Magnetfeld des Planeten, da- bei entsteht ein langer Magnetschweif („Magnetotail“). Die Magnetopau- sebildet die Grenze zwischen dem Sonnenwind und dem magnetosphä- rischen Plasma.

Der Abstand der Magnetopause auf der sonnenzugewandten Seite lässt sich abschätzen aus dem Gleichgewicht zwischen dynamischem Druck des Sonnenwindes und magnetischen Druck des planetaren Magnetfel- des:

0 2 2

2µ

ρ^v = ^B (11.24)

Nähert man das Feld durch das Dipolfeld

3 0

0 



 



=  r B R

B (11.25)

so ergibt dies

2 0 0

2

0 16

2 R

u r B 

 



= ρ

µ ^(11.26)

Für die Erdmagnetosphäre, mit B0 ≈3x10^-5T, und einen Sonnenwind mit u = 400 km/s und ρ≈¹⁰⁷^Protonen/m³ergibt dies näherungsweise

7 RE

r ≈ (11.27)

Nahe den Polen können energiereiche Teilchen des Sonnenwindes bis in niedere Schichten eindringen, wo sie durch Wechselwirkung mit der Atmosphäre die Aurora erzeugen (in ca. 60 – 1000 km Höhe).

93 Der überwiegende Anteil der Materie im Kosmos besteht aus Plasma, und fast alle diese Plasmen sind magnetisiert. Magnetosphären sind deshalb verbreitete Phänomene. Die untenstehende Figur zeigt zum Ab- schluss einen Grössenvergleich zwischen den Magnetosphären der Pla- neten, einer Galaxie und eines Pulsars.

(Figur aus Friedmann, Die Sonne)