Ubungen zu Elementarteilchenphysik ¨ Blatt Nr. 04 3.11.2010

Ubungen zu Elementarteilchenphysik ¨ Blatt Nr. 04 3.11.2010

[ Besprechung 11.11 in den ¨Ubungen 12-14 (D6-135) 16-18 (D6-135) ]

Aufgabe 16:Projektoren?

Handelt es sich bei den zwei Matrizen P₁ = ¹_{0 0}^α

und P₂ =1−P₁ um Projektionsoperatoren?

Wie lauten die Eigenwerte dieser Operatoren?

Aufgabe 17:Phasenraumintegration des Zweik¨orperzerfalls

Betrachten Sie den ZerfallA→1 + 2 im Ruhesystem des TeilchensA. Mit Massen M,m1, m2

undq = (M,0), p₁ = (E_p1,p₁), p₂ = (E_p2,p₂) betr¨agt die Zerfallsrate [s. Vorlesung; Skript S.26]

Γ = 1 2M

Z d³p₁ (2π)³2E_p1

Z d³p₂

(2π)³2E_p2 (2π)⁴δ⁽⁴⁾(p₁+p₂−q)· |M|²(p₁,p₂). (a) Zeigen Sie, dass nach der Integration ¨uber p₁ gilt:

Γ = 1 2M

1 (4π)²

Z d³p₂

δ

M −p

m²₁+p²₂−p

m²₂+p²₂ pm²₁+p²₂p

m²₂+p²₂ · |M|²(−p₂,p₂).

(b) Es kann vermutet werden, dass|M|²(−p₂,p₂)nur von|p₂|abh¨angig ist, d.h.|M|²(−p₂,p₂)→

|M|²(|p₂|). ¨Uberf¨uhren Sie die Zerfallsrate per Winkelintegration in die Form

Γ = 1 8πM

Z ∞ 0

dρ ρ² δ

M −p

m²₁+ρ²−p

m²₂+ρ² pm²₁+ρ²p

m²₂+ρ² · |M|²(ρ). (c) Nehmen Sie nun die Variablensubstitutionρ→E ≡p

m²₁+ρ²+p

m²₂ +ρ² vor. ¨Uberzeugen Sie sich davon, dass sich die Zerfallsrate schreiben l¨asst als

Γ = ρ₀

8πM² |M|²(ρ₀)θ(M −m₁−m₂), wobei

ρ0 = 1 2M

q

M⁴+m⁴₁+m⁴₂−2M²m²₁ −2M²m²₂−2m²₁m²₂. (d) Was ist die physikalische Bedeutung von ρ0? [vgl. Aufgabe 5]

Aufgabe 18:Pauli–Matrizen [vgl. Vorlesung; Skript S.13; Griffiths Anhang C]

Betrachten Sie die hermiteschen und spurlosen Matrizen σ₁ = ^{0 1}_{1 0}

, σ₂ = ⁰_i ⁻ⁱ₀

, σ₃ = ₀^{1 0}₋₁ , und zeigen Sie, dass die folgenden Relationen gelten:

(a)σ₁² =σ²₂ =σ₃² =1^2×2 (b){σ_i, σ_j}= 2δ_ij1 (c) [σ_i, σ_j] = 2i_ijkσ_k (d)σ_iσ_j =δ_ij1+i_ijkσ_k (e)(^*a·^*σ)(

*

b·^*σ) = ^*a·^*b 1+i^*σ·(^*a×^*b) f¨ur beliebige Vektoren^*a,

*

b.[ ja, hier ist^*a·^*σ=P3 i=1aiσi]

(f) eⁱ

*a^·*σ = cos(a)1+i

*a^·*σ

a sin(a) mit a=|^*a|.