Abi 2018 II Skript 2 30. M¨arz 2018 S. 1 von 3
Abi-Kurs 2018 II
Skript 2: Textaufgaben Stochastik und Analysis
Aufgabe 1 “Schwarzfahrer“ (Stark ABG W7 S.42)
Bei den Verkehrsbetrieben einer Großstadt ist aus Erfahrung bekannt, dass 10% der Fahrg¨aste in den Straßenbahnen Schwarzfahrer sind.
In den Straßenbahnen werden Fahrscheinkontrollen durchgef¨uhrt. Die Anzahl der Schwarzfahrer bei einer Kontrolle wird vereinfachend binomialverteilt angenommen.
a)
Bei einer Kontrolle sollen 20 Fahrg¨aste nacheinander ¨uberpr¨uft werden.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten f¨ur die Ereignisse:
A: Genau drei Fahrg¨aste sind Schwarzfahrer.
B. Mindestens zwei, aber weniger als sechs Fahrg¨aste sind Schwarzfahrer.
C: Der erste kontrollierte und mindestens ein weiterer Fahrgast sind Schwarzfahrer.
b)
Ein Gruppe von 30 Studenten f¨ahrt mit der Straßenbahn zu einer Feier. Einige von Ihnen sind Schwarzfahrer.
Ein Kontrolleur begn¨ugt sich damit, zwei zuf¨allig ausgew¨ahlte Mitglieder der Gruppe zu
¨uberpr¨ufen.
Wie viele Schwarzfahrer d¨urfen in der Gruppe h¨ochstens sein, damit mit einer
Wahrscheinlichkeit von mehr als50% die beiden ¨uberpr¨uften Studenten einen g¨ultigen Fahrschein haben?
c)
Pro Fahrschein nehmen die Verkehrsbetriebe 2,40 Euro ein. Wird eine Schwarzfahrer bei einer Kontrolle erwischt, so muss er eine erh¨ohtes Bef¨orderungsentgelt von60Euro zahlen.
Wie viel Prozent der Fahrg¨aste m¨ussen mindestens kontrolliert werden, damit den Verkehrsbetrieben auf lange Sicht durch Schwarzfahrer kein Einnahmeverlust entsteht?
cm63.de/Mathe-Training/dokumente/L A18 2 2.pdf
Abi 2018 II Skript 2 30. M¨arz 2018 S. 2 von 3
d)
Als Folge von versch¨arften Kontrollen vermutet man bei den Verkehrsbetrieben, dass der Anteil der Schwarzfahrer gesunken ist.
Zur Absicherung soll die Nullhypothese
H0: “Mindestens 10% der Fahrg¨aste sind Schwarzfahrer.”
auf der Basis einer Kontrolle von200 zuf¨allig ausgew¨ahlten Fahrg¨asten auf einem Signifikanzniveau von5% getestet werden.
Formulieren Sie die zugeh¨orige Entscheidungsregel.
Aufgabe 2 “Fußballfans“ (Stark BG 2 S.2014-18)
Die Polizei plant f¨ur das Spiel der beiden Fußballvereine Rot-Weiß Kuburg (RWK) und TuS Restadt (TuS) einen Einsatz.
Sie geht davon aus, dass 48% der Zuschauer Fans vom RWK und30% vom TuS sind.
Keiner der Fans ist Fan von beiden Vereinen. Die restlichen Zuschauer werden als neutral eingestuft.
Die Polizei weiß aus Erfahrung, dass15% aller Zuschauer Alkohol bei sich haben, unter den RWK-Fans sind es sogar 20% und unter den TUS-Fans nur10%.
a)
Die Polizei kontrolliert vor dem Standion vier zuf¨allig ausgew¨ahlte Personen eibner Gruppe von RWK-Fans.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: “Mindestens eine Person hat Alkohol dabei“.
B: “Genau zwei Personen haben Alkohol dabei“.
C: “ H¨ochstens eine Person hat keinen Alkohol dabei“.
b)
Wie viel Prozent der neutralen Zuschauer haben Alkohol bei sich?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von allen Personen, die Alkohol dabei haben, eine zuf¨allig ausgew¨ahlte Person ein TuS-Fan ist?
c)
Der Einsatzleiter m¨ochte wissen, wie viele Personen mindestens in einer Gruppe von TuS-Fans kontrolliert werden m¨ussen, um mit mehr als 60% Wahrscheinlichkeit mindestens zwei Personen mit Alkohol zu erwischen.
cm63.de/Mathe-Training/dokumente/L A18 2 2.pdf
Abi 2018 II Skript 2 30. M¨arz 2018 S. 3 von 3
Der Sohn des Einsatzleiter meint, dass die kleinste nat¨urliche Zahl n, die die Ungleichung 0,6<1−(0,9n+ 0,9n−1·0,1)
erf¨ullt, die gesuchte Personenzahl ist.
Begr¨unden Sie, warum dieser Ansatz falsch ist.
Aufgabe 3 “Gasf¨orderung“ (Stark ABG A2.1 S.96)
Das Gasvorkommen in einem Erdgasfeld soll in einem Zeitraum von 42 Jahren vollst¨andig abgebaut werden.
Man geht von einer F¨orderrate aus, die durch die Funktion f mit f(t) = 4,2·e0,1·t−0,1·t·e0,1·t ; 0≤t ≤42
modelliert werden kann (t in Jahren seit Abbaubeginn, f(t) in 106m3 pro Jahr)
a)
Skizzieren Sie den Graphen vonf.
Zu welchem Zeitpunkt ist die F¨orderrate am gr¨oßten? Wann nimmt die F¨orderrate am st¨arksten zu?
Wie viel Erdgas kann insgesamt aus dem Feld gewonnen werden?
(Teilergebnis: gesamte f¨orderbare Gasmenge etwa614,9·106m3)
b)
Die FunktionF mit F(t) = 52·e0,1·t−t·e0,1·t ist eine Stammfunktion von f. Bestimmen Sie einen integralfreien Term der Funktion, die die gesamte gef¨orderte Erdgasmenge in Abh¨angigkeit von der Zeitt beschreibt.
Wann w¨are das Erdgasfeld zu 90% abgebaut?
In welchem 5-Jahres-Zeitraum ist die mittlere F¨orderrrate am gr¨oßten?
c)
Um die Ressourcen des Erdgasfeldes zu schonen, soll die gesamte Gasmenge ¨uber einen l¨angeren Zeitraum gef¨ordert werden.
Daf¨ur gibt es zwei Vorschl¨age:
Vorschlag 1: Nach dem 15. Jahr wird die F¨orderrate konstant beibehalten.
Vorschlag 2: Nach dem 20. Jahr nimmt die F¨orderrrate linear ab, und zwar j¨ahrlich um 0,2·106m3 pro Jahr.
Bei welchem Vorschlag w¨urden die Erdgasvorr¨ate l¨anger reichen?
cm63.de/Mathe-Training/dokumente/L A18 2 2.pdf