SpezielleEinzel-Themen Themen Abi-Kurs2018II

Abi-Kurs 2018 II

Themen

Aufgaben zu Pflicht- und Wahlteil Analysis, Algebra, Stochastik Aufgaben Vektorrechnung, Matrizen (je nach Schulart)

Schwerpunkte bei Textaufgaben / Modellierung

Spezielle Einzel-Themen

• Schaubilder interpretieren

• Kurvenscharen, Ortskurven

• “Mittlere ¨Anderungsrate“

• Anderungsrate und Bestandsfunktion¨

• Wachstum

• Grenzwerte

• “Unendliche“ Fl¨achen

• Kr¨ummung

• LGS

• Bedingte Wahrscheinlichkeiten

• Vertrauensintervall

• Fehler 1. und 2. Art

Aufgaben Analysis

Aufgabe 1

Gebe eine Stammfunktion an zu a) f(x) =cos(−5x+ 17) b) f(x) = 4

√2x−4

c) f(x) = 1 3x+ 1

Allgemeine Regel:

IstG eine Stammfunktion vong, dann ist 1

a ·G(a·x+b) eine Stammfunktion vong(a·x+b).

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 4e^2x−2.

Bestimme diejenige Stammfunktion F vonf mit F(0,5) =−1.

Aufgabe 3

Gsei eine Stammfunktion der Funktion g mit g(x) = 2−3·sin(4x).

Der Punkt P(0|1) liegt auf dem Schaubild von G.

Bestimme einen Funktionsterm von G.

Aufgabe 4 Berechne

Z 9 4

( 2

√x −1)dx.

Aufgabe 5

L¨ose die Gleichungen

a) sin(x)·cos(x)−2 cos(x) = 0 f¨ur0≤x≤2π.

b) x·sin(x) = x.

c) 6

x⁴ + 1

x² = 1 (x6= 0).

Aufgabe 6

Gegeben sind die Funktionenf mit f(x) = 2

x und g mit g(x) = 2x−3.

Bestimme die gemeinsamen Punkte der zugeh¨origen Graphen.

Untersuche, ob sich die beiden Graphen senkrecht schneiden.

Aufgabe 7

K ist der Graph der Funktionf mitf(x) = e^x−3−2. Die Tangente an K an der Stelle x= 3 schneidet die Asymptote von K in S.

Bestimme die Koordinaten von S.

Aufgabe 8

Ein nicht lineare Funktion h hat keine Nullstelle. Der Graph vonh n¨ahert sich f¨ur x→ ∞ der Geraden mit der Gleichung y= 3.

Gebe einen m¨oglichen Funktionsterm von h an und skizziere den Graphen.

Aufgabe 9

Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktionf⁰ einer Funktion f. Gebe f¨ur jeden der folgenden S¨atze an, ob er richtig, falsch oder nicht entscheidbar ist. Begr¨unde jeweils die Antwort.

(1) Das Schaubild vonf hat bei x=−2einen Tiefpunkt.

(2) Das Schaubild von f hat f¨ur −3≤x≤6genau 2 Wendepunkte.

(3) Das Schaubild von f verl¨auft im Schnittpunkt mit der y-Achse steiler als die erste Winkelhalbierende.

(4) f0)> f(5).

Aufgabe 10

Eine der folgenden Abbildungen zeigt die Funktion f(x) = x³−3x−2.

(a) Begr¨unde, dass die Abbildung oben rechts den Graphen von f zeigt.

(b) Von den anderen Abbildungen geh¨ort eine zu der Funktion g(x) =f(x−a) und eine zur Funktionh(x) = b·f(x) (mit geeigneten Werten f¨ur a und b). Ordne diesen beiden Funktionen die zugeh¨origen Schaubilder zu und gebe die Werte f¨ur a und b an.

(c) Die noch nicht zugeordnete Abbildung geh¨ort zu einer Funktion k(x). Gib ohne Rechnung einen Funktionsterm von k an.

Aufgaben Stochastik

Aufgabe S1

In einer Klasse von 25 Sch¨ulern soll f¨ur einen Wettbewerb eine Mannschaft von 5 Sch¨ulern gebildet werden. Da man sich nicht einigen kann, wird die Zusammensetzung der

Mannschaft per Los bestimmt. In einer Lostrommel befinden sich 5 Gewinnlose und 20 Nieten. Der Reihe nach zieht jeder ein Los, ohne es zun¨achst zu ¨offnen. Felix zieht zuerst, Max als Zweiter.

Wer hat die gr¨oßere Chance, in die Mannschaft zu kommen?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens einer der beiden in der Mannschaft?

Aufgabe S2

Eine Firma bezieht von einem Zulieferer Schrauben. Bei den Schrauben k¨onnen 2 Fehlerarten auftreten: Falsche Form oder fehlerhaftes Gewinde.

Insgesamt sind nur90% aller Schrauben fehlerfrei; d.h. sie haben weder eine falsche Form noch ein fehlerhaftes Gewinde.5% der Schrauben haben eine falsche Form; 40% der Schrauben mit falscher Form haben auch ein fehlerhaftes Gewinde.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine Schraube mit fehlerhaftem Gewinde auch eine falsche Form?

Hausaufgaben

Aus Stark Abitur 2018 - Allgemein bildendes Gymnasium

A 2.1 Seite 96 (“Gasf¨orderung“) W7 Seite. 42 (“Schwarzfahrer“)

Aus Stark 2018 - Berufliches Gymnasium

1 Seite 2015-1 (Kurvendiskussion, Interpretation Schaubild) 2 Seite 2014-18 (“Fußballfans“)

Anhang

“Bedingte Wahrscheinlichkeiten“

Themen¨ ubersicht

Die Grafik will symbolisieren: “Bedingte Wahrscheinlichkeiten“ l¨asst sich als Unterthema von “Zusammengesetzte Ereignisse“ betrachten, und “Unabh¨angige Ereignisse“ als Unterthema von ”Bedingte Wahrscheinlichkeiten“. Ferner zeigt sie, wo weitere Unterthemen (z.B. der Additionsatz) angesiedelt sind.

Zusammengesetzte Ereignisse

SeiΩ die Menge der m¨oglichen Ereignisse bei einem Zufallsexperiment, z.B.

Ω ={1,2,3,4,5,6} die Menge der Augenzahlen beim W¨urfeln mit einem W¨urfel. Dann bezeichnet man jede Teilmenge von Ωals zusammengesetztes Ereignis; z.B. die Menge aller geraden AugenzahlenA={2,4,6} oder B ={x∈Ω x >3}={4,5,6}

Das Ereignis “A oder B“ ist allgemein so definiert

A∪B={x∈Ω x∈A oder x∈B} (“nicht ausschließendes oder“, d.h. x kann auch in beiden Mengen sein)

Das Ereignis “A und B“ ist allgemein so definiert A∩B={x∈Ω x∈A und x∈B}

F¨ur die das obige Beispiel gilt

A∪B ={2,4,5,6} , A∩B ={4,6}

Additionssatz

F¨ur zusammengesetzte Ereignisse gilt der Additionssatz:

P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B)

WennA∩B leer ist (d.h. es gibt keine gemeinsamen Elemente in A und B), dann lautet der Additonssatz einfach P(A∪B) = P(A) +P(B)

Vierfeldertafel

Zusammengesetzte Ereignisse treten h¨aufig in dem Zusammenhang auf, wenn man eine Grundgesamtheit nach 2 (oder mehr) unterschiedlichen Merkmalen einteilt.

Beispiel

Die Grundgesamtheit sei die Bev¨olkerung Deutschlands. Das Zufallsexperiment bestehe darin, dass (z.B. durch zuf¨allige Auswahl aus dem Telefonbuch) eine Gruppe von 1000 Personen ausgew¨ahlt wird und dann die Anzahl der Personen, die rauchen und die Anzahl der Personen mit ¨Ubergewicht bestimmt werden. D.h. es findet eine Klassifizierung aufgrund der Merkmale “raucht“ bzw. “hat ¨Ubergewicht“ statt.

Die Ergebnisse kann man im obigen Beispiel in einer sog.Vierfeldertafel festhalten:

Jetzt mit (fiktiven) Zahlen

Die obige Vierfeldertafel enth¨alt die absoluten Zahlen. Man kann in eine Vierfeldetafel aber auch die relativen H¨aufigkeiten oder die Wahrscheinlichkeiten eintragen:

Beispiel

Ein Zufallsexperiment bestehe darin, dass (pro Durchf¨uhrung des Experiments) jeweils folgende 2 R¨ader je einmal gedreht werden. Der Winkel des weißen Sektors beim ersten Rad betrage 120^◦. Das Ergebnis bestehe jeweils aus dem Anzeigepaar (Farbe, Zahl).

“W“ bezeichne das Ereignis “Das erste Rad zeigt weiß“, “E“ das Ereignis “Das zweites Rad zeigt “1“.

Dann erh¨alt f¨ur die Wahrscheinlichkeiten folgende Vierfeldertafel

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Definition: P_B(A) = P(A∩B) P(B)

heißt“bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B“

Es wird also die Wahrscheinlichkeit betrachtet, dass A eintritt unter der Bedingung, dass B eingetreten ist.

Heuristik: F¨ur relative H¨aufigkeiten w¨urde dies bedeuten, es wird die relative H¨aufigkeit von A innerhalb B - bezogen auf die relative H¨aufigkeit von B - betrachtet.

Unabh¨ angige Ereignisse

Satz:

Folgende 3 Aussagen sind gleichwertig:

(1) P_B(A) = P(A) (2) P_A(B) = P(B)

(3) P(A∩B) = P(A)·P(B).

Definition: Zwei EreignisseA und B heißen unabh¨angig, wenn eine (und damit alle drei) der obigen Ausssagen gilt (gelten).

Hinweis: F¨ur unabh¨angige Ereignisse ergibt sich beim Additionssatz P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A)·P(B).