Klausur zur Numerischen Mathematik im Maschinenbau Prof. Dr. Arnold Reusken

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Matr.Nr.:

^PlatzNr.:

Klausur zur Numerischen Mathematik im Maschinenbau Prof. Dr. Arnold Reusken

Donnerstag 25. August 2016

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

Zugelassene Hilfsmittel:

• Die vom Institut zur Klausur verteilte Formelsammlung, die Sie mit Namen und Matrikelnum- mer versehen.

• Ein Taschenrechner, der explizit vom Institut zugelassen wurde und auf der PositivListe steht, die zu Klausurbeginn auch auiegt.

ACHTUNG: Die Benutzung eines anderen Taschenrechners gilt als Täuschungsversuch!

Benutzter Taschenrechner

(genaue Typenbezeichnung) :

Sie haben insgesamt 120 Minuten Zeit zur Bearbeitung. Zum Bestehen der Klausur müssen mindestens 50% der Gesamtpunktzahl erreicht werden. Sie können Ihre Klausur am Donnerstag, dem 8. September 2016 im Raum 149 einsehen und sich (nur!) dort gegebenenfalls zur mündlichen Prüfung anmelden. Eine Einteilung zur Einsicht erfolgt zusammen mit der Bekanntgabe der Ergebnisse.

Bitte beginnen Sie mit der Bearbeitung der Aufgabe direkt unter der Aufgabenstellung. Sollte der Platz unterhalb der Aufgabe nicht ausreichen, so setzen Sie die Aufgabe bitte auf der rechten Seite fort. Wenn auch das noch nicht ausreicht, so fahren Sie auf einem der hinteren Leerblätter fort und geben dies bitte vorne mit einem Hinweis an.

Bitte kennzeichnen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer auch die benutzten Blanko Blätter.

Die Klausur kann nach einer Aufbewahrungsfrist von 3 Jahren (ab Januar 2020) innerhalb von drei Wochen am Institut abgeholt werden.

Die/der Studierende erklärt hiermit auch, dass sie/er sich aktuell gesund fühlt. Im Falle eines Prüfungsabbruchs wegen Krankheit gilt Folgendes: Die/der Studierende sucht unverzüglich, d. h. direkt im Anschluss an den Prü- fungsabbruch eine Ärztin bzw. einen Arzt auf und lässt sich ein Attest ausstellen. Dieses muss das Datum und die Uhrzeit dokumentieren und die Bestätigung der Ärztin/des Arztes ausweisen, dass die gesundheitliche Beeinträchti- gung nicht vor (bzw. im Falle der Prüfungsunfähigkeit nach Abgabe der Prüfungsunterlagen nicht vor oder während) der Prüfung festgestellt werden konnte. Dieses Attest ist unverzüglich beim ZPA einzureichen. Ggf. entscheidet der Prüfungsausschuss (insbesondere im Fall der vermeintlichen Prüfungsunfähigkeit nach Beendigung der Prüfung) unter Einbeziehung einer/eines Vertrauensärztin/-arztes über die Anerkennung des Attestes.

Ich versichere mit meiner Unterschrift auch, dass ich nur den oben eingetragenen Taschenrechner benutze, der sich zudem auf der Positiv-Liste bendet und dass ich keine sonstigen elektronischen Geräte wie Handy, Tablet, MP3-Player usw. bei mir habe.

Name:

Vorname:

Unterschrift:

VFr: A1: A2: A3: A4: A5: BP: X

:

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IGPM RWTHAachen NumaMB H16

Verständnisfragen-Teil (30 Punkte)

Jeder der 6 Verständnisfragenblöcke besteht aus 10 Verständnisfragen. Werden alle 10 Fragen in einem Verständ- nisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es dafür 5 Punkte. Für 9 richtige Antworten gibt es 4 Punkte; für 8 richtige 3, für 7 richtige 2 und für 6 richtige Antworten gibt es einen Punkt. Werden weniger als 6 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block 0 Punkte.

Beantworten Sie alle Fragen mit wahr oder falsch bzw. geben Sie das Ergebnis numerisch als Dezimalzahl mit mindestens 5 signikanten Ziern an.

VF-1: Es seien x_MIN bzw. x_MAX die kleinste bzw. gröÿte (strikt) positive Zahl sowie eps die relative Maschinengenauigkeit in der Menge M(b, m, r, R) der Maschinenzahlen gemäÿ Vorlesung/Buch und D :=

[−x_MAX,−x_MIN]∪[x_MIN, x_MAX]. Ferner beschreibe fl : D → M(b, m, r, R) die Standardrundung. Alle Zahlen sind im Dezimalsystem angegeben.

1. Es gilt|fl(x+y)| ≤ |fl(x)|+|fl(y)|für allex, y∈D.

2. Es gilteps = ^m^1−b₂ .

3. InM(2,8,−2,2)istx_MIN= ¹₈.

4. Die Funktionf(x) =xln(x)ist gut konditioniert fürx→ ∞.

5. Geben Sie die nicht-normalisierte Darstellung der Zahl23inM(7,6,−8,8)an.

6. Die Funktionf(x, y) = ^x_y ist für alle(x, y)mity6= 0gut konditioniert.

7. Wir betrachten die Berechnung einer SummeSm:=Pm

j=1xj. Die Stabilität dieser Summenbildung hängt von der Reihenfolge der Summandenxj ab.

8. Ein Algorithmus zur numerischen Lösung eines Problems ist stabil, wenn das vorliegende Problem gut konditioniert ist.

9. Für schlecht konditionierte Probleme gibt es keine stabilen Algorithmen zur Lösung des Problems.

10. Es seienf(x) = _x2¹+1 undx˜ein Näherungswert fürx= 2, der mit einem relativen Fehler von maximal 2%behaftet ist. Bestimmen Sie in erster Näherung eine (scharfe) Schranke für den relativen Fehler in f(˜x)als Annäherung fürf(x).

VF-2: Es seienA∈R^n×n beliebig aber regulär,b∈Rⁿ und gesucht sei die Lösungx^∗∈Rⁿ vonA x=b. 1. Es seiB:=DAdie zeilenäquilibrierte Matrix zuA. Dann giltBx^∗=b.

2. Es seien x˜ eine Annäherung der Lösung x^∗ und r := b−A˜x das zugehörige Residuum. Es gilt

krk

kbk ≤κ(A)^kx_kx^∗^−˜∗k^xk, mitκ(A) :=kAkkA⁻¹k.

3. Es existiert immer eineQR-ZerlegungA=QRvonA.

4. Es seiA=QReineQR-Zerlegung von A. Dann giltRx^∗=Qb.

5. Es seien κ_∞(A) die Konditionszahl bzgl. der Maximumnorm und A :=

1 0 2 1

. Berechnen Sie κ_∞(A).

6. Es existieren stets eine Permutationsmatrix P, eine normierte untere Dreiecksmatrix L und eine obere DreiecksmatrixR, so dassP A=LRgilt.

7. Es sei R ∈ R^n×n eine reguläre obere Dreiecksmatrix. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Lösungy vonRy=b über Rückwärtseinsetzen beträgt etwa ¹₃n³ Operationen.

8. Ohne Pivotisierung ist die Gauss-Elimination nicht für jedesAdurchführbar.

9. Falls die MatrixA orthogonal ist, giltκ₂(A) = 1, wobeiκ₂(·)die Konditionszahl bzgl. der euklidi- schen Norm ist.

10. Es seienA=





−3 4 1

0 4 −1

1 −1 2



undDdie zugehörige Diagonalmatrix der Zeilenskalierung. Berech-

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Numerik MB H16 IGPM RWTH Aachen VF-3:

1. Für die MatrixA=





4 0 2 0 0 1 2 1 4



existiert eine Cholesky-Zerlegung.

2. Es seiA=LDL^T die Cholesky-Zerlegung der positiv deniten MatrixA. Dann giltA⁻¹=LD⁻¹L^T. 3. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Cholesky-Zerlegung einer symmetrisch positiv deniten

n×n-Matrix über das Cholesky-Verfahren beträgt etwa ¹₂n²Operationen.

4. Für jede symmetrische orthogonale MatrixQgiltQ²=I. 5. Es seiA=LDL^T mitL=

1 0 10 1

undD= 2 0

0 2.5

. Geben Siedet(A⁻¹)an.

6. Das Produkt zweier Householder-Transformationen ist eine Spiegelung.

7. Das Produkt zweier Givens-Transformationen ist eine Rotation.

8. Es seien v ∈ R^m mit v 6= 0 und Qv = I−2^vv_vT^Tv eine Householder-Transformation. Dann gilt:

Qvv=−v.

9. Eine Q R-Zerlegung A = Q R von A ∈ R^m×n existiert nur dann, wenn die Matrix A den vollen Spaltenrangnhat.

10. Es seien v, x ∈R² mit v 6= 0, x = −1

3

, und Qv =I−2^vv_vT^Tv eine Householder-Transformation.

Geben SiekQvxk²₂ an.

VF-4: Es seien A ∈ R^m×n, mit Rang(A) = n < m, und b ∈ R^m. Weiter seien Q∈ R^m×m eine orthogonale Matrix und R ∈R^m×n eine obere Dreiecksmatrix so, dass Q A=R =

R˜ 0

gilt, mitR˜ ∈R^n×n. Ferner seien x^∗∈Rⁿ die eindeutige Minimalstelle des Minimierungsproblemsmin_x∈_RnkAx−bk2undΘ∈

0,^π₂

der Winkel zwischenA x^∗ undb.

1. Es giltdet( ˜R)6= 0. 2. Es giltRx˜ ^∗=Qb. 3. Es giltκ2(A) =κ2( ˜R).

4. Je kleiner der WinkelΘ, desto besser ist die Stabilität des Lösungsverfahrens über dieQR-Zerlegung.

5. Es seienA=



 1 1 0 1 0 1



undb=



 2 1 1



. Bestimmen SieΘ.

6. Es seiLDL^T =A^TAdie Cholesky-Zerlegung von A^TA. Dann gilt x^∗=L^−TD⁻¹L⁻¹A^Tb.

7. Die Gauÿ-Newton Methode zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems kann man als Fix- punktiteration darstellen.

8. Bei der Gauÿ-Newton Methode zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems ist die Konver- genzordnung in der Regel zwei.

9. Eine geeignete Wahl des skalaren Parametersµim Levenberg-Marquardt-Verfahren kann den Ein- zugsbereich der Methode erweitern.

10. Es seienm= 3,n= 1undQb=





−1 4 3



. Bestimmen SiekAx^∗−bk2.

3

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Numerik MB H16 IGPM RWTH Aachen VF-5: Es seien Φ : Rⁿ → Rⁿ stetig dierenzierbar und x^∗ so, dass Φ(x^∗) = x^∗ gilt. Für x0 ∈ Rⁿ wird die Fixpunktiterationxk+1= Φ(xk), k= 0,1,2, . . .deniert. Weiter seiΦ⁰(x)die Ableitung vonΦan der Stellex. 1. FallsΦ⁰(x^∗) = 0, ist die lokale Konvergenzordnung der Fixpunktiteration mindestens2.

2. Falls die Fixpunktiteration konvergiert, so giltkΦ⁰(x^∗)k<1.

3. Das Newton-Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle eines Gleichungssystemsf(x) = 0kann man als Fixpunktiteration darstellen.

4. Es seienn= 1 undΦ(x) = ¹₃x²−¹₄x. Alle Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes sind fürΦauf dem Intervall[0,1]erfüllt.

5. Es seien n= 1, f : R →R zweimal stetig dierenzierbar, und f(x^∗) = 0, f⁰(x^∗)6= 0. Weiter sei Φ(x) :=x−_f^f(x)0(x). Bestimmen SieΦ⁰(x^∗).

6. Es seienf : Rⁿ→Rⁿ,M ∈R^n×n mitdet(M)6= 0, undΦ(x) :=x−M f(x). Das Nullstellenproblem f(x) = 0hat dieselbe Lösungen wie das das FixpunktproblemΦ(x) =x.

7. Es seienf : R→R zweimal stetig dierenzierbar, und f(x^∗) = 0, f⁰(x^∗)6= 0. Seix0 so gewählt, dass die Newton Methode xk+1 = xk − _f^f(x0(x^k_k⁾) mit Startwert x0 gegen x^∗ konvergiert. Es gilt:

x^∗−xk≈xk+1−xk fürkhinreichend groÿ.

8. Die Sekantenmethode zur Bestimmung einer Nullstelle einer skalaren Funktion konvergiert nur dann wenn die Startwertex0, x1 dieser Methode so gewählt werden, dassf(x0)f(x1)<0 gilt.

9. Es sei f(x) = x² −2. Das auf f angewandte Newton Verfahren konvergiert für jeden Startwert x₀>0gegen die Nullstellex^∗>0dieser Funktion.

10. Es sei f : Rⁿ → Rⁿ zweimal stetig dierenzierbar in einer Umgebung U von x^∗, und es gelte f(x^∗) = 0,det(f⁰(x))6= 0für alle x∈U. Geben Sie die lokale Konvergenzordnung an, mit der die Newton Methode für diesen Fall mindestens konvergiert.

VF-6: Es sei P(f|x0, . . . , xn) das LagrangeInterpolationspolynom zu den Daten(x0, f(x0)), . . . ,(xn, f(xn)) mita=x0< . . . < xn=b. Es sei[x0, . . . , xn]f die dividierte Dierenz der Ordnungnvonf.

1. Es giltP(Q|x0, . . . , xn) =Qfür alle PolynomeQvom Grad maximaln.

2. Es giltP(f|x0, . . . , xn)(x) =P(f|xn−1, . . . , x0)(x) + (x−x0)(x−x1). . .(x−xn−1)[x0, . . . , xn]f. 3. Es seiP(f|x0, . . . , xn)(x) =Pn

j=0ajx^j. Dann gilt an = [x0, . . . , xn]f.

af(x)dxsoll numerisch approximiert werden durch eine Quadraturformel I_m(f) = (b−a)Pm

j=0w_jf(x_j)mita≤x₀< . . . < x_m≤b. Weiter seiI_mⁿ(f)die ausI_m(f)konstruierte summierte Quadraturformel auf den Teilintervallen[tj−1, tj],j= 1, . . . , n, mittj =a+jh,j = 0,1, . . . , n,h= ^b−a_n . 6. Es seien I_m^{N C}(f) und I_m^G(f) die Newton-Cotes und die Formel der Gauss-Quadratur. Für m ≥ 1

gilt, dass der Exaktheitsgrad von I_m^{N C}(f)strikt kleiner ist als der vonI_m^G(f).

7. Es seiP(f|x0, . . . , xm)das LagrangeInterpolationspolynom. Bei der Gauss-Quadratur giltIm(f) = Rb

a P(f|x₀, . . . , x_m)(x)dx.

8. Es seienf ∈C⁴[a, b]undI2(f)die Simpsonregel. Es gilt|I₂ⁿ(f)−I(f)| ≤ch⁵, wobei die Konstante c nicht vonnabhängt.

9. Bei der Gauss-Quadratur hängen die Stützstellenx_j von der Funktionf ab.

10. Es seiena= 0,b= 1undI2(f)die Simpsonregel. Berechnen Sie den FehlerI(x³+ 1)−I2(x³+ 1).

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Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB H16

5

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Numerik MB H16 NAME: MATR:

Aufgabe 1 (6 Punkte)

Es seiα∈[−1,1]ein Parameter, sowie

A(α) =







9 4

1

4 −¹₄

3 1 −3

3 2

1

2−^α₂ 3α−¹₂







, b(α) =







35 4

5 8α+¹¹₂





 .

Ziel dieser Aufgabe ist die Lösung des GleichungssystemsA(α)·x(α) =b(α).

a) Bestimmen Sie dieL R-Zerlegung vonA in Abhängigkeit vonαmit Pivotisierung (jedoch ohne Zeilenäquili- brierung), d. h.P A=LR. Geben SieL(α),R(α)undP(α) =P explizit an.

Hinweis: Es ist wichtig den Wertebereich vonαzu beachten!

b) Berechnen Sie die Determinante vonA mit Hilfe derL R-Zerlegung.

Ist das Gleichungssystem A(α)·x(α) =b(α) für alleα∈[−1,1] eindeutig lösbar? Geben Sie jeneαan, für welche dies der Fall ist.

c) Lösen Sie das Gleichungssystem mittels Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen, wobei angenommen wird, dass A(α)vollen Spaltenrang hat.

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Fortsetzung Aufgabe 1 Numerik MB H16

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xi −√

15/5 −√

3/3 0 √

3/3 √

15/5

yi 2.56 1.77 -3.21 -1.78 2.57 Die Werte in der oben gegebenen Tabelle gehorchen näherungsweise dem Gesetz

y(x) =e^α(5x³−3x) +β(3x²−1).

Bestimmen Sie die Parameterαundβ optimal im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate.

a) Formulieren Sie dazu das entsprechende lineare Ausgleichsproblem kAx−bk₂→min. Geben SieA,b undxexplizit an.

b) Bestimmen Sie die Lösung des Ausgleichsproblems über die Normalengleichungen und geben Sie α und β explizit an.

c) Berechnen Sie das Residuum für die in b) gefundenen Parameter.

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Gegeben sei die 2D-Fixpunktgleichung x

y

=

1

4+x(1−x)y(1−y)

1

2(1 +x−y)

!

=: F1(x, y) F₂(x, y)

!

=:F(x, y).

a) Zeigen Sie, dass die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von Banach für den BereichE:= [0,1]×[0,1]erfüllt sind. Verwenden Sie diek · k1-Norm.

b) Führen Sie ausgehend vom Startwert (x0, y0) := (0, 0) zwei Fixpunktschritte durch, d. h. berechnen Sie (x2, y2).

c) Geben Sie eine a-priori- und eine a-posteriori-Fehlerabschätzung für(x2, y2)unter Verwendung derk · k1-Norm an.

d) Wie viele Iterationsschritte/Fixpunktschritte sind ausgehend vom Startwert (x₀, y₀) := (0, 0) höchstens erforderlich, um den Fixpunkt in derk · k1-Norm bis auf einen Fehler vonε= 3·10⁻⁵ anzunähern?

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Die Funktion (das Integral)

F(x) = Z x

0

ln(cost) dt ist als Tabelle gegeben.

x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

F(x) -0.001339 -0.01084 -0.03739 -0.09158 -0.1875 -0.3473 -0.6159

Berechnen Sie einen möglichst guten Näherungswert für F(1.1) mit dem Neville-Aitken-Schema unter Benutzung von drei Tabellenwerten und geben Sie eine Fehlerabschätzung an.

Hinweis:

F⁰(x) = ln(cosx)→F⁰⁰(x) =−tanx→F⁽³⁾(x) =− 1 + tan²x

→F⁽⁴⁾(x) =−2 tanx 1 + tan²x .

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Gesucht ist eine Näherung für das Integral

I(f) = Z 1

0

sin(x²) dx ,

die um höchstens= 0.04von der exakten Lösung abweicht.

a) Wie viele Schritte sind dafür mit der summierten Trapezregel notwendig?

b) Geben Sie den Näherungswert des Integrals für die in a) berechnete Schrittzahl an.

c) Wie viele Schritte wären mit der summierten Gauÿformel notwendig, die pro Intervall die gleiche Stützstel- lenzahl wie die Trapezregel hat?

Hinweis: Fürx∈[0,1]gilt|f⁽¹⁾(x)| ≤1.29,|f⁽²⁾(x)| ≤2.3,|f⁽³⁾(x)| ≤14.5,|f⁽⁴⁾(x)| ≤28.5,|f⁽⁵⁾(x)| ≤53.6

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Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB H16 NAME: MATR:

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