Es folgt, dass (P(|Smp| ≥mpα))m summierbar ist, und somit mit Borel-Cantelli 1, dass P(|Smp| ≥mpα unendlich oft

SS 2014 Jetlir Duraj Wahrscheinlichkeitstheorie

Bitte beachten, dass ab jetzt f¨ur die folgenden Aufgaben diese L¨osungen als offiziell gelten, und nicht die Ausarbeitungen in der Zentral¨ubung am 23.04.2014. Letztere k¨onnen sie nun entsorgen.

L¨osung zu H3, Blatt 2

Nehme f¨ur ein p ∈ N, zun¨achst beliebig, die Folge (m^p)m∈N. Dann f¨ur jeden n ∈ N existiert genau ein m=m(n)∈N, sodass m^p ≤n <(m+ 1)^p. Es folgt mit Kolmogoroff- Ungleichung f¨ur jeden >0:

P(|S_m^p| ≥m^pα)≤P( max

1≤k≤m^p|S_k| ≥m^pα)≤ Pm^p

i=1V ar(X_i)

²m^2pα ≤ s^{2 2}m^p(2α−1).

W¨ahle nun p∈ N gross genug, sodass p(2α−1)> 1. Es folgt, dass (P(|S_m^p| ≥m^pα))_m summierbar ist, und somit mit Borel-Cantelli 1, dass

P(|Sm^p| ≥m^pα unendlich oft) = 0 was ¨aquivalent zu

P(|S_m^p|< m^pα f¨ur fast allem) = 1

ist. Dies impliziert P(lim sup_m→∞ ^|S_m^mppα^| ≤) = 1 und somit, da >0 beliebig war, dass

m→∞lim

|S_m^p|

m^pα = 0 P −fast sicher. (1)

Ausserdem, folgt wieder mit der Kolmogoroff-Ungleichung, mit derselben Rechnung wie davor, und mit der Definition S_k⁰ =Pm^p+k

j=m^p+1X_j dass P( max

m^p≤n≤(m+1)^p|S_n−S_m^p| ≥m^pα) =P( max

1≤k≤(m+1)^p−m^p|S_k⁰| ≥m^pα)≤ s^{2 2}

(m+ 1)^p−m^p m^2pα . Der rechte Ausdruck l¨asst sich grob absch¨atzen wie folgt:

s^{2 2}

(m+ 1)^p−m^p m^2pα = s²

²

m^p (^m+1_m )^p−1 m^2pα ≤ s²

² 2^p m^p(2α−1).

F¨urp(2α−1)>1 folgt dadurch dass (P(max_m^p_≤n≤(m+1)^p|S_n−S_m^p| ≥m^pα))_m wiederum summierbar ist, also nach Borel-Cantelli 1:

P( max

m^p≤n≤(m+1)^p|Sn−Sm^p| ≥m^pα unendlich oft) = 0.

Es folgt somit ¨ahnlich wie oben P(lim sup

m→∞

max

m^p≤n≤(m+1)^p

|Sn−Sm^p|

m^pα ≤) = 1.

Da >0 beliebig gilt also

P( lim

m→∞ max

m^p≤n≤(m+1)^p

|S_n−S_m^p|

m^pα = 0) = 1. (2)

Nun gilt aber mit Hilfe der Dreiecksungleichung f¨urm^p ≤n≤(m+ 1)^p, dass

|S_n|

n^α ≤ |S_m^p|

m^pα +max_m^p≤n≤(m+1)^p|S_n−S_m^p|

m^pα .

Aus (1) und (2) folgt dass die rechte Seite P−fast sicher zu null f¨ur m → ∞ geht und somit die Behauptung.

L¨osung zu H4, Blatt 2

Zur Wiederholung: f¨ur x∈R ist dxe=min{t ∈Z:t ≥x} und somit x≤ dxe< x+ 1;

f¨ur x∈R ist bxc=max{t ∈Z:t ≤x} und somit x−1<bxc ≤x.

Um die behauptete Aussage zu zeigen, reicht es zu zeigen, dass f¨ur beliebigen β ∈(0,1):

lim inf

n→∞

L_n

logn ≥ β

|logp| P −fast sicher.

Dies wiederum w¨urde gelten, wenn f¨ur alleβ ∈(0,1):

P(L_n ≥ βlogn

|logp| +o(logn) schliesslich f¨ur n → ∞) = 1 gezeigt wird. Hierbei ist o(·) die ¨ubliche Landau-Notation.

Idee: man kann schauen, was in grossen Bl¨ocken, 2^m ≤ n < 2^m+1 gilt. Also wenn man eine (nicht-stochastische) Folge (l_m)m∈N finden kann, sodass

l_m ≥ βlogn

|logp| +o(logn) gleichm¨assig f¨ur 2^m ≤n <2^m+1 (3) dann w¨urde es reichen zu zeigen:

P(schliesslich f¨ur m→ ∞ gilt L_n ≥l_m f¨ur allen ∈ {2^m, . . .2^m+1}) = 1. (4) Man sch¨atzt f¨ur 2^m ≤n <2^m+1

βlogn

|logp| < β(m+ 1) log 2

|logp| =

βmlog 2

|logp|

+o(logn),

denn

β(m+ 1) log 2

|logp| −

βmlog 2

|logp|

≤1 + βlog 2

|logp|

also sogar beschr¨ankt ist (insbesondere dann aucho(logn)). Mit der Wahll_m =l

βmlog 2

|logp|

m

(die (3) erf¨ullt) bleibt nun nur noch (4) zu zeigen. Dazu sei definiert k_m :=

2^m lm

f¨ur m∈N

Dies ist die Anzahl der hintereinander folgenden Bl¨ocke der L¨ange l_m in [1,2^m].

NunL_n≥l_m f¨ur alle n∈ {2^m, . . .2^m+1}gilt, genau dann wenn sp¨atestens beim 2^m−ten M¨unzwurf, eine 1−Sequenz der L¨ange mindestesens l_m anf¨angt. Dies ist der Fall wenn man ”sich in der folgenden Menge befindet”:

Am,β :={∃i∈ {0, . . . , km−1} ∀j ∈ {1, . . . , lm}: Xilm+j = 1}, m∈N.

Also wenn einer derk_m einser Bl¨ocken der L¨ange l_m in [1,2^m] auftritt. Die Gleichung (4) ist somit trivialerweise erf¨ullt, falls

P(schliesslich f¨urm→ ∞ gilt A_m,β) = 1.

Dies ist gleichbedeutend mit

P(A^c_m,β unendlich oft) = 0.

Letzteres zeigen wir durch Borel-Cantelli 1. Es gilt, da die M¨unzw¨urfeX_i, i∈Ni.i.d. sind:

P(A^c_m,β) =P(∀i∈ {0, . . . , k_m−1} ∃j ∈ {1, . . . , l_m}: X_ilm+j = 0)

=

km−1

Y

i=0

P(∃j ∈ {1, . . . , l_m}: X_ilm+j = 0) =

km−1

Y

i=0

(1−p^lm) = (1−p^lm)^km. Letzteres ist wegen der Ungleichung 1−x≤exp(−x) kleiner gleich exp(−k_mp^lm).

Wegen der Regel log_ab = _log^logb_a f¨ura, b >0 und den Absch¨atzungen am Anfang der L¨osung gilt

p^lm ≥p^{βm−loglog 2p+1} =pp^−logp2βm =p2^−βm und weiter

k_mp2^−βm≥(2^m

l^m −1)p2^−βm≥p 2^(1−β)m

βmlog 2

|logp| + 1 −1.

Letzteres ist wegen lim_m→∞ ^2(1−β)m_m2 = +∞ nicht kleiner als cm−1 f¨ur einc > 0 geeignet.

Somit ist

X

m∈N

exp(−k_mp^lm)< eX

m∈N

exp(−cm)<∞.

Dies zeigt mit Borel-Cantelli 1 dass

P(A^c_m,β unendlich oft) = 0.

Wegen der Argumentation davor, sind wir nun fertig.