Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften.

Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften.

Mathias Sawall

Institut für Mathematik, Universität Rostock WS 2019/2020

Übersicht

1. Einführung 2. Grundlagen 3. Analysis 4. Lineare Algebra 5. Literatur

Übersicht

1. Einführung 2. Grundlagen 3. Analysis 4. Lineare Algebra 5. Literatur

Ein leichtgewichtiges Prüfungsproblem

Beispiel 1 (Kostenrechnung)

Ein Startup hat monatliche Kosten in Höhe von12 000e. Erste zahlende Kunden werden ab Monat 19 erwartet. Die Einnahmen werden zunächst3 000e/Monat betragen und anschließend wird von 5% Wachstum pro Monat im Vergleich zum Vormonat ausgegangen.

1. Ab welchem Monat übersteigen die Einnahmen die Kosten?

2. Ab welchem Monat übersteigen die kummulierten Einnahmen die aufgelaufenen Kosten inklusive Startkapital von60 000e?

Lösung:

1. Löse

12 000=3 000·(1+0.05)ⁱ⁻¹⁹ ⇒ i=47.413 ⇒ ab dem 48. Monat.

2. Löse

60 000+12 000·n=

n

X

i=19

3 000·(1+0.05)ⁱ⁻¹⁹ ⇒ n=76.405 ⇒ ab dem 77.

Ein leichtgewichtiges Prüfungsproblem

Beispiel 1 (Kostenrechnung)

Ein Startup hat monatliche Kosten in Höhe von12 000e. Erste zahlende Kunden werden ab Monat 19 erwartet. Die Einnahmen werden zunächst3 000e/Monat betragen und anschließend wird von 5% Wachstum pro Monat im Vergleich zum Vormonat ausgegangen.

1. Ab welchem Monat übersteigen die Einnahmen die Kosten?

2. Ab welchem Monat übersteigen die kummulierten Einnahmen die aufgelaufenen Kosten inklusive Startkapital von60 000e?

Lösung:

1. Löse

12 000=3 000·(1+0.05)ⁱ⁻¹⁹ ⇒ i=47.413 ⇒ ab dem 48. Monat.

2. Löse

60 000+12 000·n=

n

X

i=19

3 000·(1+0.05)ⁱ⁻¹⁹ ⇒ n=76.405 ⇒ ab dem 77.

Ein leichtgewichtiges Prüfungsproblem

20 30 40 50 60 70

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10⁴ monatliche Einnahmen

Monat

20 40 60 80

0 5 10 15

x 10⁵ kum. Ausg. & Einn.

Monat

Ein mittelschweres Prüfungsproblem

Beispiel 2 (Kurvenapproximation)

Die Domino-Bankengruppe analysiert die Geschäftszahlen der letzten 6 Monate:

[225,230,230,200,160,110].

Berechnen Sie a) eine lineare und b) eine quadratische

Funktion, die die Daten im Sinne der kleinsten Quadrate approximiert!

Bestimmen Sie jeweils den Nulldurchgang!

Lösung:

a. Löse

5

X

i=0

(a+bxi−yi)²→min! ⇒ f(x) =250.7−23.29x.

b. Löse

5

X

i=0

(a+bxi+cx²_i −yi)²→min! ⇒ f(x) =224.8+15.6x−7.77x².

Ein mittelschweres Prüfungsproblem

Beispiel 2 (Kurvenapproximation)

Die Domino-Bankengruppe analysiert die Geschäftszahlen der letzten 6 Monate:

[225,230,230,200,160,110].

Berechnen Sie a) eine lineare und b) eine quadratische

Funktion, die die Daten im Sinne der kleinsten Quadrate approximiert!

Bestimmen Sie jeweils den Nulldurchgang!

Lösung:

a. Löse

5

X

i=0

(a+bxi−yi)²→min! ⇒ f(x) =250.7−23.29x.

b. Löse

5

X(a+bxi+cx²_i −yi)²→min! ⇒ f(x) =224.8+15.6x−7.77x².

Ein mittelschweres Prüfungsproblem

0 1 2 3 4 5

100 150 200 250

Approximationen

Monat

0 2 4 6 8 10 12

0 50 100 150 200 250

Nulldurchgänge

Monat

Noch ein mittelschweres Prüfungsproblem

Beispiel 3 (Optimierung unter Nebenbedingungen)

Ein Werbeplan soll erstellt werden. Eine Sekunde Werbung kostet im Radio eine Geldeinheit und im TV zwei Geldeinheiten. Als Wirkungsfunktion wird

f(x1,x2) =x1+2x2+x1x2

angesetzt mitx1Sekunden Werbung im Radio undx2Sekunden Werbung im TV. Das Budget beträgt1000eund die Wirkung soll maximiert werden.

Lösung:

- Nebenbedingung ist formal x1+2x2≤1000,

wir wollen maximale Wirkung und nehmen gleich x1+2x2=1000, - Lagrange-FunktionLmit Lagrange-Multiplikatorλlautet

L(x1,x2, λ) =x1+2x2+x1x2+λ(x1+2x2−1000), - partielle Ableitungen und notwendige Optimalitätsbedigungen führen auf x2+λ=−1, x1+2λ=−2, x1+2x2=1000,

Noch ein mittelschweres Prüfungsproblem

Beispiel 3 (Optimierung unter Nebenbedingungen)

Ein Werbeplan soll erstellt werden. Eine Sekunde Werbung kostet im Radio eine Geldeinheit und im TV zwei Geldeinheiten. Als Wirkungsfunktion wird

f(x1,x2) =x1+2x2+x1x2

angesetzt mitx1Sekunden Werbung im Radio undx2Sekunden Werbung im TV. Das Budget beträgt1000eund die Wirkung soll maximiert werden.

Lösung:

- Nebenbedingung ist formal x1+2x2≤1000,

wir wollen maximale Wirkung und nehmen gleich x1+2x2=1000, - Lagrange-FunktionLmit Lagrange-Multiplikatorλlautet

L(x1,x2, λ) =x1+2x2+x1x2+λ(x1+2x2−1000),

- partielle Ableitungen und notwendige Optimalitätsbedigungen führen auf x2+λ=−1, x1+2λ=−2, x1+2x2=1000, - Optimalität für x1=500, x2=250.

Noch ein mittelschweres Prüfungsproblem

0 500

1000 0 100 200 300 400 500 0

5 10 15

x 10⁴

x1

x2

Wirkung

Übersicht

1. Einführung 2. Grundlagen 3. Analysis 4. Lineare Algebra 5. Literatur

Übersicht

1. Einführung 2. Grundlagen

2.1 Mathematische Symbolschreibweise 2.2 Elementare Funktionenklassen 2.3 Begriffe und Strukturen 3. Analysis

4. Lineare Algebra 5. Literatur

Notation

Mathematische Symbolschreibweise:

- Allquantor: ∀ – „für alle“,

- Existenzquantor: ∃ – „es gibt ein“, - Verschärfung: ∃! – „es gibt genau ein“, - Verneinung: ∄ – „es gibt kein“, - Elementzeichen: ∈ – „enthalten in“.

Beispiele:

- n²∈N∀n∈N - ∃n∈N:√

n∈/N - n+1∈N∀n∈N

- ∃!n∈N:n−1∈/N - ∄x∈R:x² <0 - ∃x∈Q:√

x∈/Q Anderes Beispiel:

- ∀Personenxin diesem Raum gilt:

∃!(biologische) Mutter &∃!(biologischen) Vater vonx.

Notation

Summenzeichen:

- Die allgemeine Schreibweise ist Xn

i=1

ai=a1+a2+a3+· · ·+an, - einfache Beispiele sind

Xn

i=1

i=1+2+3+4+· · ·+n=n(n+1)

2 (siehe Gauß),

X8

i=1

i=1+2+3+4+· · ·+8=36, X5

i=0

3ⁱ=1+3+9+27+81+243=364.

Notation

Produktzeichen:

- Die allgemeine Schreibweise ist Yn

i=1

ai=a1·a2·a3· · · · ·an, - einfache Beispiele sind

Y6

i=1

i=1·2·3·4·5·6=6! =720, Y4

i=0

(x−i) =x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)

=x⁵−10x⁴+35x³−50x²+24x.

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1. Einführung 2. Grundlagen

2.1 Mathematische Symbolschreibweise 2.2 Elementare Funktionenklassen 2.3 Begriffe und Strukturen 3. Analysis

4. Lineare Algebra 5. Literatur

Elementare Funktionenklassen

Definition 2.1

Ein Polynom (auch Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion) hat die Form

p(x) =a0+a1x+a2x²+. . .+an−1xⁿ⁻¹+anxⁿ

= Xn

i=0

aixⁱ.

Die einzelnenaixⁱwerden Monome genannt.

Bemerkungen:

- Polynomn-ten Grades besitzt genaun(reelle oder komplexe) Nullstellen, - Zerlegung in Linearfaktoren ist

f(x) =an(x−x1)^λ1(x−x2)^λ2· · ·(x−xr)^λr.

Elementare Funktionenklassen

Definition 2.2

Eine rationale Funktion ist der Quotient aus zwei Polynomfunktionen

q(x) =f(x) = a0+a1x+. . .+an−1xⁿ⁻¹+anxⁿ b0+b1x+. . .+bm−1x^m−1+bmx^m

=g(x) h(x) =

Pn i=0aixⁱ Pm

j=0bjx^j Besondere Stellen:

- Sindg(x0) =0undh(x0)6=0, so istx0eine Nullstelle.

- Sindg(x0)6=0undh(x0) =0, so istx0eine Polstelle.

Verhalten im Unendlichen:

x→∞lim f(x) =







0, fallsm>n, an/bm, fallsm=n,

±∞, fallsm<n.

Elementare Funktionenklassen

Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen:

Sinusy=sinx Arkussinusy=arcsinx

DB =R DB =[−1,1]

WB =[−1,1] WB =[−^π₂,^π₂] Nullstellenxk=kπ,k∈Z Nullstellex0=0

Kosinusy=cosx Arkuskosinusy=arccosx

DB =R DB =[−1,1]

WB =[−1,1] WB =[0, π]

Nullstellenxk= (2k+1)^π₂,k∈Z Nullstellex0=1

Bekannt sein sollte:

cos²x+sin²x=1.

Definition von Sinus- und Kosinusfunktion

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1

Kreisumlaufz

0 2 4 6

-1 -0.5 0 0.5 1

x=sin(z)

0 2 4 6

-1 -0.5 0 0.5 1

y=cos(z)

Elementare Funktionenklassen

Definition 2.3 (Exponentialfunktionen)

Exponentialfunktion y=a^x, wobeia∈R,a>0unda6=1 DB =R

WB =(0,+∞) Nullstellen: keine

Gemeinsamer Punkt:(0,1)

streng monoton wachsend füra>1 streng monoton fallend für0<a<1 Spezialfall:e^x=exp(x)

Exponentialfunktionen

-1 0 1 2

0 2 4 6 8

x y=0.25^x y=0.75^x y=1.5^x y=2^x y=exp(x)

Elementare Funktionenklassen

Definition 2.4 (Logarithmen)

Logarithmusfunktion y=log_ax, wobeia∈R,a>0unda6=1 DB =(0,+∞)

WB =R

Nullstelle:x0=1

Gemeinsamer Punkt:(1,0)

Spezialfälle:lnx=log_ex lgx=log₁₀x Logarithmengesetze: (a,b,c>0)

log_aa=1 log 1=0

log(ab) =loga+logb log^a_b =loga−logb logaⁿ =nloga log√ⁿ

a=¹_nloga log_ba=^log_log^ca

cb log_ab·log_ba=1

Logarithmen

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2

x

y=log_0.25(x) y=log_0.1(x) y=lg(x) y=ln(x) y=log₂(x)

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1. Einführung 2. Grundlagen

2.1 Mathematische Symbolschreibweise 2.2 Elementare Funktionenklassen 2.3 Begriffe und Strukturen 3. Analysis

4. Lineare Algebra 5. Literatur

Zahlenbereiche

Definition 2.5 (Bekannte Zahlenmengen) Bezeichnung Formelzeichen Beispiele natürliche Zahlen N 0, 1, 2, . . . ganze Zahlen Z 0, -1, 1, -2, 2 . . .

rationale Zahlen Q 7/13, -1.8

reelle Zahlen R π,e=exp(1)

Bemerkung:

- es gilt:

N⊂Z⊂Q⊂R.

Mächtigkeit (nichtleerer) Mengen:

- endliche Mengen,

- abzählbar unendliche Mengen, - überabzählbar unendliche Mengen.

Paare, n–Tupel und Matrizen

Definition 2.6

SeienAundBbeliebige Mengen mita∈Aundb∈B.

Es wird(a,b)ein geordnetes Paar genannt.

Weiter heißenaundbdie Elemente oder Komponenten des geordneten Paares(a,b).

Unterschied zu Mengen:

- bei Mengen haben die Elemente keine Reihenfolge,

- hier werden die beiden Elemente der Mengen aufgezählt und zusätzlich definiert, welches der erste Partner innerhalb des Paares sein soll.

Paare, n–Tupel und Matrizen

Definition 2.7 (Erweiterung für höhere Dimensionen)

SeienM1, . . . ,Mnbeliebige Mengen undxi∈Mi,i=1, . . . ,n. Es wirdx= (x1,x2. . . ,xn) einn-Tupel genannt.

Eigennamen für kleine Dimensionen:

zweielementige Menge: Paare dreielementige Menge: Tripel vierelementige Menge: Quadrupel n-elementige Menge: n-Tupel

Wenn alle Komponenten Zahlen (meist reelle Zahlen) sind, sprechen wir von Vektoren.

Kartesisches Produkt

Definition 2.8

SeienAundBbeliebige Mengen. Die Menge

A×B={(a,b) :a∈Aundb∈B}

aller geordneten Paare(a,b)von ElementenaausAundbausBheißt das kartesische Produkt der MengenAundB.

Allgemeiner Fall:

- Menge aller geordnetern-Tupel: mehrfaches kartesisches Produkt (x1,x2, . . . ,xn−1,xn)∈X1×X2× · · · ×Xn=

Yn

i=1

Xi.

Kartesisches Produkt

Beispiel zum kartesischen Produkt

−1 0 1 2 3

1 2 3 4 5

x

y

X={−1,0.5,2,3} Y={1,2,3,4,5}={y∈N|y<6} X×Y={(−1,1),(−1,2), . . .(3,5)}

Kartesisches Produkt

Bemerkungen:

- prinzipiell kann man auch unendlich viele Komponenten betrachten, so gelangt man zu Folgen (von Zahlen, Vektoren, Funktionen . . . ,

- man kann Rechenoperationen für die Paare, Tripel, . . . , Folgen einführen, sofern diese für die Komponenten definiert sind, etwa Summe und Differenz,

- Paare reeller Zahlen kann man mit einer speziellen Arithmetik versehen, die sehr hilfreich ist komplexe Zahlen.

Komplexe Zahlen

Definition 2.9

Seienx,y∈R. Das Paar

z= (x,y) =x+yi ist eine komplexe Zahl mit der imaginären Einheiti=√

−1.

Die Menge der komplexen Zahlen ist

C={z=x+iymitx,y∈R}. Zuzbezeichnet

z=x+yi=x−yi die zuzkonjugiert komplexe Zahl und

|z|=|x+yi|=p x²+y² den Betrag vonz.

Komplexe Zahlen

Definition 2.9

Seienx,y∈R. Das Paar

z= (x,y) =x+yi ist eine komplexe Zahl mit der imaginären Einheiti=√

−1.

Die Menge der komplexen Zahlen ist

C={z=x+iymitx,y∈R}. Zuzbezeichnet

z=x+yi=x−yi die zuzkonjugiert komplexe Zahl und

|z|=|x+yi|=p x²+y² den Betrag vonz.

Komplexe Zahlen

-2 -1 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

Re(z) Im(z)

(1−2i) (1+i) (−2)

(−1.5−2i)

-2 -1 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

Re(z) Im(z)

|z|=p

(−1.5)²+ (−2)²=2.5 z= (−1.5−2i)

Komplexe Zahlen

Es gelten:

- x=Re(z)– Realteil vonz, - y=Im(z)– Imaginärteil vonz,

- Paarschreibweise: (1,0) =1+0i=1 (0,1) =0+1i=i Rechenregeln:

(x1+y1i) + (x2+y2i) = x1+x2+ (y1+y2)i (x1+y1i) − (x2+y2i) = x1−x2+ (y1−y2)i (x1+y1i) · (x2+y2i) = x1x2−y1y2+ (x1y2+x2y1)i (x1+y1i) : (x2+y2i) = x1x2+y1y2

x²₂+y²₂ +x2y1−x1y2

x²₂+y²₂ i Beispiel:

4+3i 2+i =11

5 +2 5i.

Komplexe Zahlen

Insbesondere:

- imaginäre Einheit i²=−1, - reziproke einer komplexen Zahl

(mittels binomischer Formel(a+b)(a−b) =a²−b²) 1

x+yi = x−yi x²+y² = x

x²+y² − y x²+y²i, also

Re 1

x+yi

= x

x²+y², Im 1

x+yi

=− y x²+y². - Beispiel zu z=1/(2+i)

Komplexe Zahlen

Lemma 2.10 (Trigonometrische Darstellung)

Für jede komplexe Zahlz=x+yigibt es einen Winkelϕ∈R(bezeichnet mit ϕ=arg(z)), sodass

z=|z|(cos(ϕ) +isin(ϕ)) =|z|exp(iϕ).

Additionstheoreme:

sin(ϕ1+ϕ2) = sin(ϕ1)cos(ϕ2) +sin(ϕ2)cos(ϕ1) cos(ϕ1+ϕ2) = cos(ϕ1)cos(ϕ2)−sin(ϕ1)sin(ϕ2)

Insbesondere:

arg(z1·z2) = arg(z1) +arg(z2)

⇒ arg(zⁿ) = narg(z) n∈N

→Vorschrift zum Radizieren.

Komplexe Zahlen

Lemma 2.10 (Trigonometrische Darstellung)

Für jede komplexe Zahlz=x+yigibt es einen Winkelϕ∈R(bezeichnet mit ϕ=arg(z)), sodass

z=|z|(cos(ϕ) +isin(ϕ)) =|z|exp(iϕ).

Additionstheoreme:

sin(ϕ1+ϕ2) = sin(ϕ1)cos(ϕ2) +sin(ϕ2)cos(ϕ1) cos(ϕ1+ϕ2) = cos(ϕ1)cos(ϕ2)−sin(ϕ1)sin(ϕ2) Insbesondere:

arg(z1·z2) = arg(z1) +arg(z2)

⇒ arg(zⁿ) = narg(z) n∈N

→Vorschrift zum Radizieren.

Komplexe Zahlen

Radizieren:

- Berechnung vonz=√ⁿ a zk+1=pⁿ

|a|exp

iϕ+2πk n

, k=0, . . . ,n−1,

=pⁿ

|a|

cos

ϕ+2πk n

+isin

ϕ+2πk n

, k=0, . . . ,n−1, - Lösungen auf dem Kreis mit Radiuspⁿ

|a|in der komplexen Ebene.

Komplexe Zahlen

Radizieren:

- Berechnung vonz=√ⁿ a zk+1=pⁿ

|a|exp

iϕ+2πk n

, k=0, . . . ,n−1,

=pⁿ

|a|

cos

ϕ+2πk n

+isin

ϕ+2πk n

, k=0, . . . ,n−1, - Lösungen auf dem Kreis mit Radiuspⁿ

|a|in der komplexen Ebene.

Beispiel 4

Berechnung von√⁵ 1+0.5i: z1=1.02+0.095i, z2=0.225+0.998i, z3=−0.879+0.5219i, z4=−0.768−0.675i,

z5=0.405−0.939i ^{−1 −0.5 0 0.5 1}

−1

−0.5 0 0.5 1

Komplexe Zahlen

Radizieren:

- Berechnung vonz=√ⁿ a zk+1=pⁿ

|a|exp

iϕ+2πk n

, k=0, . . . ,n−1,

=pⁿ

|a|

cos

ϕ+2πk n

+isin

ϕ+2πk n

, k=0, . . . ,n−1, - Lösungen auf dem Kreis mit Radiuspⁿ

|a|in der komplexen Ebene.

Beispiel 4

Berechnung von ¹⁷√ 1+0.5i: z1=1.01+0.0275i, z2=0.928+0.289i,

...

z17=0.948−0.338i. ^{−1 −0.5 0 0.5 1}

−1

−0.5 0 0.5 1

Komplexe Zahlen

Folgerung:

- mittels komplexer Zahlen wird jede quadratische Gleichung lösbar,

- mehr noch: jede Polynomgleichungn-ten Grades hatn(nicht notwendigerweise verschiedene) komplexe Lösungen

⇒Cist algebraisch abgeschlossen!

Beispiel 4

Die Gleichungx²+2x+2=0hat die Lösungenx1,2=−1±i. Es gilt x²+2x+2= (x+1+i)(x+1−i)

Übersicht

1. Einführung 2. Grundlagen 3. Analysis 4. Lineare Algebra 5. Literatur

Übersicht

1. Einführung 2. Grundlagen 3. Analysis

3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen

3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler 3.7 Integralrechnung

3.8 Differentialgleichungen 4. Lineare Algebra

5. Literatur

Folgen

Definition 3.1

Eine Zahlenfolge{an}n=0,1,2,...ist eine AbbildungN→R. Die Werteander Zahlenfolge werden Glieder genannt.

Bildungsvorschriften:

- explizite Folge an=f(n),

- rekursive Folge an=f(n,an−1, . . . ,a0).

0 5 10

−1

−0.5 0 0.5 1

n an

an= (−1)ⁿexp(−n/5)

Spezielle Typen von Folgen

Arithmetische Folgen:

- Glieder unterscheiden sich um konst. Differenzd, - rekursive Bildungsvorschriftan+1=an+d, - explizite Bildungsvorschriftan+1=a0+nd,

- fallend fürd<0, konstant fürd=0, wachsend fürd>0.

Geometrische Folgen:

- Glieder unterscheiden sich um konstanten Quotientenq, - rekursive Bildungsvorschriftan+1=anq,

- explizite Bildungsvorschriftan+1=a0qⁿ,

- alternierend fürq<0, fallend für0<q<1, konstant fürq=1, wachsend fürq>1

Spezielle Typen von Folgen

Arithmetisch/geometrisch:

0 5 10

0 5 10 15 20 25 30

n an

an=2n+3

0 5 10

0 5 10 15 20 25 30

n bn

bn=0.3·1.45ⁿ

Spezielle Typen von Folgen

Weitere geometrische Folgen (q<0):

0 5 10

−3

−2

−1 0 1 2 3

n an

an= (−1)ⁿ1.3^n/3, alsoq=−√³ 1.3

0 5 10

−1

−0.5 0 0.5 1

n bn

bn= (−1)ⁿ2^−n/2, alsoq=−^√1₂

Spezielle Typen von Folgen

Einfache wirtschaftswissenschaftliche Beispiele für arith- und geometische Folgen:

Beispiel 5 (arithmetische Folge)

1. Menge eines Gutes bei konstanter Produktionsmenge und ohne Verkauf:

tägliche Produktion vondAutos→Gesamtproduktion bis zum Tagn:an=5d.

2. Kapitalentwicklung bei konstanter EinzahlungEund ohne Zinsen:Kn=K0+nE.

Beispiel 6 (geometische Folge)

1. Zinseszinseffekte (Zinssatzp) ohne Einzahlung, etwaKn+1=Kn·(1+p).

2. Entwicklung der Kundschaft ausschließlich basierend auf Mund-zu-Mund-Empfehlungen, sowohl positiv als auch negativ.

Rekursive Folgen

Konstruktion rekursiver Folgen:

- Folgenglieder{an}n=0,1,2,...ergeben sich durch Festlegen der Anfangsglieder und Angabe einer Vorschrift, wie man aus Vorgängern den Nachfolger bestimmt, - Anfangsgliedera0, . . . ,am₀, Bildungsvorschrift

an=f(n,a_n−1, . . . ,a0), n=m0+1,m0+2, . . . . Einfache Beispiele:

- Fakultäten

a0=1, an=n·an−1, n=1,2,3. . . , - Sparplan

a0=1000, an =1.008an−1+600, n=1,2,3, . . . - Fibonacci-Zahlen

a0 =0, a1=1, an+1=an+a_n−1, n=1,2,3. . . .

Rekursive Folgen

Konstruktion rekursiver Folgen:

- Folgenglieder{an}n=0,1,2,...ergeben sich durch Festlegen der Anfangsglieder und Angabe einer Vorschrift, wie man aus Vorgängern den Nachfolger bestimmt, - Anfangsgliedera0, . . . ,am₀, Bildungsvorschrift

an=f(n,a_n−1, . . . ,a0), n=m0+1,m0+2, . . . . Einfache Beispiele:

- Fakultäten

a0=1, an=n·an−1, n=1,2,3. . . , - Sparplan

a0=1000, an =1.008an−1+600, n=1,2,3, . . . - Fibonacci-Zahlen

a0 =0, a1=1, an+1=an+a_n−1, n=1,2,3. . . .

Rekursive Folgen

Bemerkung:

- Berechnung vonansetzt direkt und indirekt die Kenntnis aller Vorgänger voraus, - gewöhnlich zieht man die explizite Darstellung der rekursiven vor,

- sofern die Formel zur Berechnung des Nachfolgers linear ist und die Koeffizienten konstant sind, ist eine Umwandlung bei Abhängigkeit vom letzten oder vom letzten und vom vorletzten Glied problemlos möglich.

→Wir zeigen dies am Beispiel der Fibonacci-Zahlen.

Fibonacci-Zahlen

Beispiel 7 (Fibonacci-Zahlen)

Für die Fibonacci-Zahlenfolgean+1=an+an−1mit den Startwertena1=1,a2=1soll die explizite Bildungsvorschrift bestimmt werden.

Lösung (Teil I):

- geometrischer Ansatz an=zⁿ,

- Einsetzen in die Rekursionsformel führt auf

an+1=an+an−1 ⇔ zⁿ⁺¹−zⁿ−zⁿ⁻¹ =0

⇔ zⁿ⁻¹(z²−z−1) =0

⇔ z²−z−1=0, - Lösungen der linearen Differenzengleichung

z1=1+√

5/2, z2=1−√ 5/2, - Bildungsvorschrift hat die Form

an=czⁿ1+dzⁿ2,

Fibonacci-Zahlen

Beispiel 7 (Fibonacci-Zahlen)

Für die Fibonacci-Zahlenfolgean+1=an+a_n−1mit den Startwertena1=1,a2=1soll die explizite Bildungsvorschrift bestimmt werden.

Lösung (Teil II):

- Bestimmung voncunddmittels der Startwertea1=1unda2=1 an=czⁿ₁+dzⁿ₂

- lineares Gleichungssystem

a1=cz¹1+dz¹2 → 1=c(1+√

5/2) +d(1−√ 5/2), a2=cz²1+dz²2 → 1=c(1+√

5/2)²+d(1−√ 5/2)²

führt auf c=√

5/5, d=−√ 5/5, - explizite Bildungsvorschrift lautet

an=

√5 5

1+√ 5 2

ⁿ

−

√5 5

1−√ 5 2

ⁿ .

Fibonacci-Zahlen

Bemerkungen:

- die Gleichung

z²−z−1=0 wird auch charakteristische Gleichung genannt,

- nach demselben Prinzip geht man bei allen linearen Differenzengleichungen vor, - Ordnung der charakteristischen Gleichung = Rekursionstiefe,

- Rekursionstiefe = Anzahl gegebene Startwerte.

Fibonacci-Zahlen

Graphische Darstellung

- links: die ersten 8 Fibonacci-Zahlen,

- rechts: beide Summanden einzeln geplottet, der zweite 50-fach überhöht.

0 2 4 6 8

0 5 10 15 20

n

0 2 4 6 8

−10

−5 0 5 10 15 20

n

Fibonacci-Zahlen

Graphische Darstellung

- links: die ersten 8 Fibonacci-Zahlen,

- rechts: beide Summanden einzeln geplottet, der zweite 50-fach überhöht.

- zusätzlicher plot des Realteils zu f(x) =

√5 5

1+√ 5 2

^x

−

√5 5

1−√ 5 2

^x .

0 2 4 6 8

0 5 10 15 20

n

0 2 4 6 8

−10

−5 0 5 10 15 20

n

Cobweb-Modell

Cobweb-Modell:

- ökonomisches Modell zur Einstellung des Marktgleichgewichts eines Gutes für diskrete Zeitintervalle,

- Simulation wirtschaftlicher Schwankungen aufgrund zeitlicher Verzögerungen zw.

Preisbildung und Anpassung von Produktionsmengen, - cobweb, dt. Spinnennetz.

Cobweb-Modell

Cobweb-Modell:

- n-tes Handelsintervall, alter Preisp_n−1,

- Angebotsmenge des neuen Handelsintervalls (a>0) sowie zugehörige Nachfragemenge

A(pn−1) =apn−1+b, N(pn) =−cpn+d, - Marktgleichgewicht A(p_n−1) =N(pn),

- Rekursionsvorschrift für den Preis (Anfangspreis seip0) pn=−a

cp_n−1+d−b c ,

- unabhängiger Gleichgewichtspreis, unabhängige Gleichgewichtsmenge p^∗=d−b

a+c, A(p^∗) =N(p^∗) =ad+bc a+c , - ob Folge{pn}n∈Ngegenp^∗konvergiert, hängt vona,b,c,dab.

Cobweb-Modell

Cobweb-Modell:

- Parameterwahla=1,b=1,c=1.5,d=10,

- gedämpftes Verhalten: Konvergenz gegen Gleichgewichtspreis und -menge p^∗=3.6,A(p^∗) =N(p^∗) =4.6.

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

(p0,A(p0)) (p1,N(p1)) (p1,A(p1)) (p2,N(p2))

(p2,A(p2)) (p3,N(p3)) (p3,A(p3))

A(p)N(p)

p

A(p),N(p)

Cobweb-Modell

Cobweb-Modell:

- Parameterwahla=1.2,b=1,c=1,d=10, Startpreisp0=2.5, - Aufschaukelndes Verhalten, keine Konvergenz.

0 2 4 6 8

0 2 4 6 8 10

(p0,A(p0))

(p3,N(p3))

A(p)N(p)

p

A(p),N(p)

Cobweb-Modell

Cobweb-Modell:

- spinnennetzartige Spirale in graphischer Darstellung→cobweb, - explizite Bildungsvorschrift

pn=p0

−a c

n

+b−d a+c

−a c

n

−b−d a+c.

- Parameteraundcgeben an, wie sensitiv Angebot und Nachfrage reagieren, - Konvergenz füra<c, Divergenz füra>c,

- für| −a/c|<1 ⇔ a<creagieren die Kunden stärker als Produzenten

⇒stabile Entwicklung,

- für| −a/c|>1 ⇔ a>creagieren die Produzenten über

⇒sich verstärkendene Spirale/Instabilität.

Zweistufige Rückkopplung

Beispiel 8

Jemand hat Schwierigkeiten mit Geld umzugehen. Ein Kassensturz an Silvester hat ein Guthaben vonK0=−10 000eergeben. Ende Januar beträgt der Kontostand K1=−11 000e. Strenges Sparen ist der Vorsatz. Die Schuld folgt der Vorschrift

Kn+1=k^∗+a·(Kn−k^∗) +b·(Kn−K_n−1).

Hierbei istk^∗die angestrebte akzeptable Schuld,aundbsind individuelle

Koeffizienten, mit denen auf Abweichungen von der angestrebten akzeptablen Schuld bzw. auf Sparerfolge reagiert wird.

Fürk^∗=8 000,a=0.95,b=1.02führt dies auf die Differenzengleichung Kn+1=1.97Kn−1.02K_n−1+400.

FürK0=−10 000undK1=−11 000lautet die Bildungsvorschrift

Kn=−(10³+2308.35i)(0.985−0.223i)ⁿ−(10³−2308.35i)(0.985+0.223i)ⁿ−8 000.

Zweistufige Rückkopplung

Plots fürk^∗=8 000,a=0.95,b=1.02:

0 20 40 60 80

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 10⁴

n Kn

Guthabenentw.

-2 -1 0

10⁴ -2.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 10⁴

K_n−1

k∗

Phasenplot

Bemerkungen:

- typischer Jojo-Effekt erkennbar,

- keine Stabilisierung umk^∗(Schulden schaukeln sich auf), - Stabilisierung z. B. füra=0.95,b=−0.92,

- Analogie: Anlegerverhalten, Aktienkurse, Weight watchers.

Konvergenz von Folgen

Definition 3.2

Eine Zahlenfolge{an}n=0,1,2,...konvergiert gegen den Grenzwert g= lim

n→∞an,

wenn es zu jedem vorgegebenenε >0einn0∈Ngibt, so dass für allen≥n0gilt:

|g−an|< ε.

Eine Folge{an}n=0,1,2,...wird Nullfolge genannt, wennlim_n→∞an=0gilt.

g−ε g g+ε

Konvergenz von Folgen

Definition 3.3

Eine Folge{an}n=0,1,2,...die nicht konvergiert wird divergent genannt.

Eine Folge{an}n=0,1,2,...heißt bestimmt divergent gegen∞bzw. bestimmt divergent gegen−∞, falls es zu jedemM>0einn0 ∈Ngibt, sodass

an>M ∀n≥n0 bzw. an<−M ∀n≥n0. Andernfalls heißt eine divergente Folge unbestimmt divergent.

Konvergenz von Folgen

Satz 3.4 (Grenzwertsätze)

Seiena=limn→∞anundb=limn→∞bn. Es gelten:

lim_n→∞(an±bn) =a±b, lim_n→∞(anbn) =ab, lim_n→∞^a_bⁿ

n = ^a_b (bn6=0, b6=0) Satz 3.5

Spezielle Grenzwerte sind:

limn→∞1 n =0, limn→∞√ⁿ

n=1, limn→∞aⁿ

n! =0, lim_n→∞(1+¹_n)ⁿ=e, lim_n→∞(1+^p_n)ⁿ=e^p.

Konvergenz von Folgen

Verhalten der geometischen Folgean=qⁿ: - Konvergenz für|q| ≤1, es gilt

nlim→∞aⁿ=

0 für|q|<1, 1 fürq=1 - bestimmte Divergenz fürq>1, es giltlimn→∞aⁿ=∞, - unbestimmte Divergenz fürq<−1.

Reihen

Definition 3.6

Zu einer Zahlenfolge{an}n=0,1,2,...definieren die Glieder sn=a0+a1+. . .+an=

Xn

i=0

ai, n=0,1,2, . . .

die zugehörige Reihe{sn}n=0,1,2,.... Es wirdsnauch diente Partialsumme genannt.

Satz 3.7

Für die geometrische Reihe mita0=1(normierter Fall) lässt sich dien-te Partialsumme berechenen als

sn= Xn

i=0

qⁱ= 1−qⁿ⁺¹ 1−q . Beweis mittels vollständiger Induktion.

Reihen

Definition 3.6

Zu einer Zahlenfolge{an}n=0,1,2,...definieren die Glieder sn=a0+a1+. . .+an=

Xn

i=0

ai, n=0,1,2, . . .

die zugehörige Reihe{sn}n=0,1,2,.... Es wirdsnauch diente Partialsumme genannt.

Satz 3.7

Für die geometrische Reihe mita0=1(normierter Fall) lässt sich dien-te Partialsumme berechenen als

sn= Xn

i=0

qⁱ= 1−qⁿ⁺¹ 1−q . Beweis mittels vollständiger Induktion.

Reihen

Vollständige Induktion zum Beweis von sn=

Xn

i=0

qⁱ= 1−qⁿ⁺¹ 1−q . Induktionsanfang: fürn=0ist

s0= X0

i=0

q⁰=1= 1−q¹ 1−q. Induktionsschritt: fürn→n+1ist

sn+1= Xn+1

i=0

qⁱ=qⁿ⁺¹+ Xn

i=0

qⁱ

=qⁿ⁺¹+1−qⁿ⁺¹ 1−q

=qⁿ⁺¹−qⁿ⁺²+1−qⁿ⁺¹ 1−q

=1−qⁿ⁺² 1−q .

Reihen

Definition 3.8

Der Grenzwert einer Reihe, falls er denn existiert, wird mit

s=a1+a2+. . .+an+. . .= X∞

i=1

ai= lim

n→∞sn

bezeichnet.

Arithmetische Reihe:

- sn=Pn

i=0(a0+ (i−1)d) =a0(n+1) +dPn i=0i, - divergiert, außer füra1 =d=0.

Geometrische Reihe:

- sn=Pn

i=0a0qⁱ=a0Pn i=0qⁱ, - Konvergenz für|q|<1

s=a0

X∞

i=0

qⁱ=a0· 1 1−q.

Reihen

Beispiele für geometrische Reihen:

1+1 2+1

4+1 8+ 1

16+ 1

32+· · ·= X∞

i=0

1 2

i

= 1 1−¹2

=2.

Erzreserven bei Reduktion der Fördermenge:

- Reserve in Höhe von43Mio. Tonnen, aktuelle Fördermengea0=2Mio. Tonnen, - jährliche Reduktion der Fördermenge um5%,

an =0.95an−1=0.95²an−2=· · ·=0.95ⁿa0, - summierter Verbrauch bis ins Jahrn

Xn

i=0

a0qⁱ=2 Xn

i=0

0.95ⁱ=21−0.95ⁿ⁺¹ 0.05 ,

- Grenzwert der Reihe s=a0

X∞

i=0

qⁱ=2 1

1−0.95 =2 1

0.05 =a0·20=40.

Reihen

Konvergenz von Reihen:

- Analyse der Konvergenz von Reihe mitunter schwierig,

- triviales notwendiges Konvergenzkriterium: zugrunde liegende Folge ist Nullfolge, - Divergenz der harmonischen Reihe

sn= Xn

i=1

1

i =1+ 1

|{z}2

S₀

+1 3+1

| {z }4

S₁

+1 5+1

6+1 7+1

| {z 8}

S₂

+1 9+ 1

10+· · ·+ 1 16

| {z }

S₃

+. . . ,

jeweilsSi≥¹₂ ⇒ Divergenz X∞

i=1

1 i =1+

X∞

k=0

Sk≥1+ X∞

k=0

1 2=∞, - siehe etwaO. Forster: Analysis 1, Viewegfür Konvergenzkriterien.

Zinseszins

Anwendung Zinseszinsformel:

- beschreibt den Zusammenhang von K0 Anfangskapital

Kn Endkapital

n Anzahl der Zeitintervalle p Zinssatz (pro Zeitintervall) E Einzahlung (pro Zeitintervall) - es gilt

Kn=K0(1+p)ⁿ+E(1+p)ⁿ−1

p .

Zinseszins

Herleitung der Zinsenszinsformel:

- anlegen des Anfangskapitals fürnIntervalle → erster SummandK0(1+p)ⁿ, - erste Einzahlung wirdn−1-mal verzinst → BeitragE(1+p)ⁿ⁻¹,

- zweite Einzahlung wirdn−2-mal verzinst → BeitragE(1+p)ⁿ⁻², - allgemein ergibt sich

Kn=K0(1+p)ⁿ + E(1+p)ⁿ⁻¹ + E(1+p)ⁿ⁻² +· · ·+ E(1+p)⁰

=K0(1+p)ⁿ+E Xn−1

i=0

(1+p)ⁱ, - Summenformel für geometrische ReihePn−1

i=0qⁱ= ^1−q_1−qⁿ ergibt E

Xn−1

i=0

(1+p)ⁱ=E1−(1+p)ⁿ

1−(1+p) =E(1+p)ⁿ−1 p - also

Kn=K0(1+p)ⁿ+E(1+p)ⁿ−1

p .

Zinseszins

Auflösung nach den eingehenden Größen:

- Anfangskapital

K0= pKn−E((1+p)ⁿ−1) p(1+p)ⁿ , - Einzahlung

E=p(Kn−K0(1+p)ⁿ) (1+p)ⁿ−1 , - Zeitindex

n=ln|pKn+E| −ln|pK0+E| ln(1+p) , - Zinssatz (nur fürE=0)

p= ⁿ rKn

K0 −1.

Beispiele zu Zinseszins

Beispiele zu Zinseszins

Gesucht:

- K0

Gegeben:

- E=15 000,p=0.006,n=33·12=396 Rechnung:

K0 =pKn−E((1+p)ⁿ−1) p(1+p)ⁿ

=−2.266041061·10⁶ Matrikel-Nr.: 2266041.

Beispiele zu Zinseszins

Beispiele zu Zinseszins

Gesucht:

- n Gegeben:

- K0 =120,Kn=80,p=0.008,E=−1 Rechnung für a):

n=ln|pKn+E| −ln|pK0+E| ln(1+p)

=275.75 →276 Wochen

Beispiele zu Zinseszins

Rechnung für b):

(120·(1+0.008)^k) =1/0.008

k=log(125/120)/log(1.008) k=5.123 →5 Wochen

Zinseszins

Zinsumrechnung für versch. Intervalleinheiten - effektiver Zins:

- Tilgung mittels monatlicher Einzahlung, Zinssatz aufs Jahr bezogen, - Zinssatz einfach durch 12 teilen ist nicht korrekt, denn

K0

1+ p

12 12

>K0(1+p), - effektiven Zinssatz

P= 1+ p

m m

−1, mitmder Anzahl der Teilintervalle des Zinssatzes,

- fürm=12undp=0.02ergibt sich z.B.P=0.020184, also2.018%.

Übersicht

1. Einführung 2. Grundlagen 3. Analysis

3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen

3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler 3.7 Integralrechnung

3.8 Differentialgleichungen 4. Lineare Algebra

5. Literatur

Monotonie & Konvexität

Funktionen einer Variablen:

f :R→R, y=f(x)

Definition 3.9

Eine Funktionf:I→R,I⊆R, heißt auf[a,b]

- monoton wachsend, wennf(x1)≤f(x2)für allex1,x2∈[a,b]mitx1<x2, - monoton fallend, wennf(x1)≥f(x2)für allex1,x2∈[a,b]mitx1<x2,.

Gilt sogar „<“ anstatt „≤“ bzw. „>“ anstatt „≥“, so heißtfstreng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend.

Monotonie & Konvexität

Definition 3.10

Eine Funktionf:I→R,I⊆R, heißt konvex, wenn jede ihrer Sekanten über dem Graphen vonfliegt, d.h.

∀λ∈(0,1), x1,x2∈I gilt f(λx1+ (1−λ)x2)≤λf(x1) + (1−λ)f(x2).

Eine Funktionfheißt konkav, wenn−fkonvex ist.

λ=1

λ=0 λ=¹₃

λf(x1) + (1−λ)f(x2) f(x)

x1

x2

λ

Monotonie & Konvexität

Definition 3.10

Eine Funktionf:I→R,I⊆R, heißt konvex, wenn jede ihrer Sekanten über dem Graphen vonfliegt, d.h.

∀λ∈(0,1), x1,x2∈I gilt f(λx1+ (1−λ)x2)≤λf(x1) + (1−λ)f(x2).

Eine Funktionfheißt konkav, wenn−fkonvex ist.

Bemerkungen:

- SeifaufD⊂Izweimal stetig differenzierbar:

Istf^′(x)≤0, so istf aufDmonoton fallend.

Istf^′(x)≥0, so istf aufDmonoton wachsend.

Giltf^′′(x)≥0, so istf aufDkonvex.

Giltf^′′(x)≤0, so istf aufDkonkav.

Monotonie & Konvexität

-2 -1 0 1 2

-5 0 5

x

f(x)

x³ x³−2x

Monotonie

-2 -1 0 1

-4 -2 0 2

x Konvexität

g(x)

Links:

- blaue Kurve (f(x) =x³) ist streng monoton wachsend,

- rote Kurve (f(x) =x³−2x) ist streng monoton wachsend auf(−∞,−p

2/3]und [p

2/3,∞)und streng monoton fallend auf[−p 2/3],p

2/3].

Rechts:

- g(x) =x⁴+x³−3x²−x−1ist fürx∈(−∞,−1)sowiex∈(0.5,∞)konvex und für konkav.

Grenzwerte

Definition 3.11

Eine Funktionf(x)konvergiert an der Stellex0gegen den Grenzwertg=lim_x→x0f(x), wenn es zu jedemε >0einδ >0gibt, so dass

|x−x0|< δ ⇒ |f(x)−g|< ε.

Eine Funktionf(x)konvergiert fürx→ ∞gegen den Grenzwertg=limx→∞f(x), wenn es zu jedemε >0einxεgibt, so dass

x>xε ⇒ |f(x)−g|< ε.

Grenzwerte

Satz 3.12 (Grenzwertsätze)

Seienu=lim_x→af(x)undv=lim_x→ag(x)die Grenzwerte vonf(x)bzw.g(x)fürx→a.

Es gelten:

xlim→a(f(x)±g(x)) =u±v,

x→alim(f(x)g(x)) =uv,

xlim→a

f(x) g(x) =u

v (g(x)6=0;v6=0),

x→alim pn

f(x) =qⁿ

x→alimf(x),

x→alimf(x)ⁿ=

x→alimf(x)n

,

x→alimb^f(x)=b^limx→af(x).

Stetigkeit

Definition 3.13

Eine Funktionf:I→R,I⊆R, heißt stetig an der Stellex0,x0∈I, wenn es zu jedem ε >0einδ >0gibt, so dass

|x−x0|< δ ⇒ |f(x)−f(x0)|< ε.

(Für Argumentexnahex0liegen auch die Funktionswertef(x)nahe anf(x0).) Eine Funktionf:I→R,I⊆R, heißt stetig, wenn sie für allex∈Istetig ist.

Fallsf(x)undg(x)stetig sind, so sind es auch - h(x) =f(x)·g(x),

- h(x) =f(x)±g(x),

- h(x) =f(x)/g(x)(fürg(x)6=0).

Beispiel einer Unstetigkeitsstelle:

- x0ist Sprungstelle, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte existieren, aber verschieden sind (z. B.f(x) =1/xbeix0=0).

Stetigkeit

Beispiel 9

Die Funktionf(x) =⌊x⌋definiert das Abrunden vonxetwa sind

f(0.5) =0, f(0.9) =0, f(1.7) =1, f(−3.1) =−4, f(1) =1, . . . .

Offensichtlich istf etwa in den Punktenx=1.5,x=1.7,x=1.99,x=3.2usw. stetig.

Aberfist in allenz∈Znicht stetig, denn beispielsweise istlimx→zf(x)nicht definiert, weil in einer Umgebung (|α|<1) umz∈Zgilt

f(z+α) =

z fürα >0,

z−1 fürα <0.

1 2 3 4

Übersicht

1. Einführung 2. Grundlagen 3. Analysis

3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen

3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler 3.7 Integralrechnung

3.8 Differentialgleichungen 4. Lineare Algebra

5. Literatur

Differentiation

Definition 3.14

Zu einer Funktionf(x)ist die erste Ableitung an der Stellexdefiniert als f^′(x) = d

dxf(x) =lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h .

Weiter heißtf(x)differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist, d.h. ihre Ableitung existiert.

Die Ableitung vonf^′(x)heißt zweite Ableitung vonf(x). Allgemein gilt die Rekursion f⁽ⁿ⁾= f⁽ⁿ⁻¹⁾′.