Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften.

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Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften.

Mathias Sawall

Institut für Mathematik, Universität Rostock WS 2021/2022

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Struktur der Lehrveranstaltung

Bei Fragen:

- mathias.sawall@uni-rostock.de, - Raum 429, Ulmenstraße 69, Haus 3.

Übungsserien:

- http://alf.math.uni-rostock.de/~metty/mawiwi/ueb%%.pdf, - z.B. ausgedruckt mitbringen, auf den Stoff vorbereiten,

- Übungen zu aktuellen Themen, mitunter nicht genug Zeit für alle Übungsaufgaben, - zusätzliche Übungsaufgaben pro Serie, Lösungen dazu 2 Wochen später online.

Web:

- https://alf.math.uni-rostock.de/~metty/mawiwi/mawiwi.html - https://alf.math.uni-rostock.de/~metty/mawiwi/slides%.pdf

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Übersicht

1. Grundlagen 2. Analysis 3. Lineare Algebra 4. Literatur

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Übersicht

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Übersicht

1. Grundlagen

1.1 Motivation: Einfache ökonomische Anwendungen 1.2 Mathematische Symbolschreibweise

1.3 Elementare Funktionenklassen 1.4 Begriffe und Strukturen 2. Analysis

3. Lineare Algebra 4. Literatur

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Motivation: Kostenrechnung

Beispiel 1

Ein Startup hat monatliche Kosten in Höhe von12 000e. Erste zahlende Kunden werden ab Monat 19 erwartet. Die Einnahmen werden zunächst3 000e/Monat betragen und anschließend wird von 5% Wachstum pro Monat im Vergleich zum Vormonat ausgegangen.

1. Ab welchem Monat übersteigen die Einnahmen die Kosten?

2. Ab welchem Monat übersteigen die kummulierten Einnahmen die aufgelaufenen Kosten inklusive Startkapital von60 000e?

Lösung:

1. Löse

12 000=3 000·(1+0.05)ⁱ⁻¹⁹ ⇒ i=47.413 ⇒ ab dem 48. Monat.

2. Löse

60 000+12 000·n=

n

X

i=19

3 000·(1+0.05)ⁱ⁻¹⁹ ⇒ n=76.405 ⇒ ab dem 77.

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Motivation: Kostenrechnung

Beispiel 1

Ein Startup hat monatliche Kosten in Höhe von12 000e. Erste zahlende Kunden werden ab Monat 19 erwartet. Die Einnahmen werden zunächst3 000e/Monat betragen und anschließend wird von 5% Wachstum pro Monat im Vergleich zum Vormonat ausgegangen.

1. Ab welchem Monat übersteigen die Einnahmen die Kosten?

2. Ab welchem Monat übersteigen die kummulierten Einnahmen die aufgelaufenen Kosten inklusive Startkapital von60 000e?

Lösung:

1. Löse

12 000=3 000·(1+0.05)ⁱ⁻¹⁹ ⇒ i=47.413 ⇒ ab dem 48. Monat.

2. Löse

60 000+12 000·n=

n

X

i=19

3 000·(1+0.05)ⁱ⁻¹⁹ ⇒ n=76.405 ⇒ ab dem 77.

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Motivation: Kostenrechnung

20 30 40 50 60 70

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10⁴ monatliche Einnahmen

Monat

20 40 60 80

0 5 10 15

x 10⁵ kum. Ausg. & Einn.

Monat

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Motivation: Kurvenapproximation

Beispiel 2

Die Domino-Bankengruppe analysiert die Geschäftszahlen der letzten 6 Monate:

[225,230,230,200,160,110].

Berechnen Sie a) eine lineare und b) eine quadratische

Funktion, die die Daten im Sinne der kleinsten Quadrate approximiert!

Bestimmen Sie jeweils den Nulldurchgang!

Lösung:

a. Löse

5

X

i=0

(a+bxi−yi)²→min! ⇒ f(x) =250.7−23.29x.

b. Löse

5

X

i=0

(a+bxi+cx²_i −yi)²→min! ⇒ f(x) =224.8+15.6x−7.77x².

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Motivation: Kurvenapproximation

Beispiel 2

Die Domino-Bankengruppe analysiert die Geschäftszahlen der letzten 6 Monate:

[225,230,230,200,160,110].

Berechnen Sie a) eine lineare und b) eine quadratische

Funktion, die die Daten im Sinne der kleinsten Quadrate approximiert!

Bestimmen Sie jeweils den Nulldurchgang!

Lösung:

a. Löse

5

X

i=0

(a+bxi−yi)²→min! ⇒ f(x) =250.7−23.29x.

b. Löse

5

X

i=0

(a+bxi+cx²_i −yi)²→min! ⇒ f(x) =224.8+15.6x−7.77x².

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Motivation: Kurvenapproximation

0 1 2 3 4 5

100 150 200 250

Approximationen

Monat

0 2 4 6 8 10 12

0 50 100 150 200 250

Nulldurchgänge

Monat

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Motivation: Optimierung unter Nebenbedingungen

Beispiel 3

Ein Werbeplan soll erstellt werden. Ein Paket von 100 Anzeigenslots in der Zeitung kostet aktuell 1 B und im Netz 2 B. Als Wirkungsfunktion wird

f(x¹,x²) =x¹+2x²+x¹x²

angesetzt mitx¹Paketen Zeitungsanzeigen undx²Paketen Werbung im Internet. Das Budget beträgt100B und die Wirkung soll maximiert werden.

Lösung:

- Nebenbedingung ist formal x1+2x2≤100,

wir wollen maximale Wirkung und nehmen gleich x1+2x2=100, - Lagrange-FunktionLmit Lagrange-Multiplikatorλlautet

L(x1,x2, λ) =x1+2x2+x1x2+λ(x1+2x2−100),

- partielle Ableitungen und notwendige Optimalitätsbedigungen führen auf x2+λ=−1, x1+2λ=−2, x1+2x2=100, - Optimalität für x1=50, x2=25.

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Motivation: Optimierung unter Nebenbedingungen

Beispiel 3

Ein Werbeplan soll erstellt werden. Ein Paket von 100 Anzeigenslots in der Zeitung kostet aktuell 1 B und im Netz 2 B. Als Wirkungsfunktion wird

f(x¹,x²) =x¹+2x²+x¹x²

angesetzt mitx¹Paketen Zeitungsanzeigen undx²Paketen Werbung im Internet. Das Budget beträgt100B und die Wirkung soll maximiert werden.

Lösung:

- Nebenbedingung ist formal x1+2x2≤100,

wir wollen maximale Wirkung und nehmen gleich x1+2x2=100, - Lagrange-FunktionLmit Lagrange-Multiplikatorλlautet

L(x1,x2, λ) =x1+2x2+x1x2+λ(x1+2x2−100),

- partielle Ableitungen und notwendige Optimalitätsbedigungen führen auf x2+λ=−1, x1+2λ=−2, x1+2x2=100, - Optimalität für x1=50, x2=25.

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Motivation: Optimierung unter Nebenbedingungen

0 500

1000 0 100 200 300 400 500 0

5 10 15

x 10⁴

x1

x2

Wirkung

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Motivation: Nachhaltigkeit

Beispiel 4

Die Naquadah-Reserven belaufen sich aktuell auf43Mio. t. In diesem Jahr wird mit einem Verbrauch vona0=2Mio. t gerechnet. Die Regierung eine jährliche Reduktion des Verbrauchs um5%angeordnet. Werden die Reserven dann nie ausgehen?

Lösung:

- jährliche Reduktion um5%, alsoa1=0.95a0,a2=0.95a1=0.95²a0oder an=0.95an−1=0.95²an−2=· · ·=0.95ⁿa0, - summierter Verbrauch bis ins Jahrn(geometrische Reihe)

n

X

i=0

a0qⁱ=2

n

X

i=0

0.95ⁱ=21−0.95ⁿ⁺¹ 0.05 , - Grenzwert der Reihe

s=a0

∞

X

i=0

qⁱ=2 1 1−0.95=2

1

0.05 =a0·20=40, - Reserven (43Mio. t) werden reichen.

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Motivation: Nachhaltigkeit

Beispiel 4

Die Naquadah-Reserven belaufen sich aktuell auf43Mio. t. In diesem Jahr wird mit einem Verbrauch vona0=2Mio. t gerechnet. Die Regierung eine jährliche Reduktion des Verbrauchs um5%angeordnet. Werden die Reserven dann nie ausgehen?

Lösung:

- jährliche Reduktion um5%, alsoa1=0.95a0,a2=0.95a1=0.95²a0oder an=0.95an−1=0.95²an−2=· · ·=0.95ⁿa0, - summierter Verbrauch bis ins Jahrn(geometrische Reihe)

n

X

i=0

a0qⁱ=2

n

X

i=0

0.95ⁱ=21−0.95ⁿ⁺¹ 0.05 , - Grenzwert der Reihe

s=a0

∞

X

i=0

qⁱ=2 1 1−0.95=2

1

0.05 =a0·20=40, - Reserven (43Mio. t) werden reichen.

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Übersicht

1. Grundlagen

1.1 Motivation: Einfache ökonomische Anwendungen 1.2 Mathematische Symbolschreibweise

1.3 Elementare Funktionenklassen 1.4 Begriffe und Strukturen 2. Analysis

3. Lineare Algebra 4. Literatur

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Notation

Summenzeichen:

- Die allgemeine Schreibweise ist Xn

i=1

ai=a¹+a²+a³+· · ·+an, - einfache Beispiele sind

Xn i=1

i=1+2+3+4+· · ·+n=n(n+1)

2 (siehe Gauß),

X8 i=1

i=1+2+3+4+· · ·+8=36,

5

X

i=0

3ⁱ=1+3+9+27+81+243=364, - arithmetisches Mittel der Zahlena¹, . . . ,an

¯ a=1

n Xn

i=1

ai.

(19)

Notation

Produktzeichen:

- Die allgemeine Schreibweise ist Yn i=1

ai=a¹·a²·a³· · · · ·an, - einfache Beispiele sind

6

Y

i=1

i=1·2·3·4·5·6=6! =720,

4

Y

i=0

(x−i) =x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)

=x⁵−10x⁴+35x³−50x²+24x.

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Notation

Mathematische Symbolschreibweise:

- Allquantor: ∀ – „für alle“,

- Existenzquantor: ∃ – „es gibt ein“, - Verschärfung: ∃! – „es gibt genau ein“, - Verneinung: ∄ – „es gibt kein“, - Elementzeichen: ∈ – „enthalten in“.

Beispiele:

- n²∈N∀n∈N - ∃n∈N:√

n∈/N - n+1∈N∀n∈N

- ∃!n∈N:n−1∈/N - ∄x∈R:x²<0 - ∃x∈Q:√

x∈/Q Anderes Beispiel:

- ∀Personenxin diesem Raum gilt:

∃!(biologische) Mutter &∃!(biologischen) Vater vonx.

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Übersicht

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Literatur

Dörsam, P.: Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften. 2014, PD-Verlag, Heidenau.

Luderer, B. / Würker, U.: Einstieg in die Wirtschaftsmathematik. 2000, Teubner B.G. Verlag, Stuttgart.

Mosler, K. / Dyckerhoff, R. / Scheicher, C.: Mathematische Methoden für Ökonomen. 2011, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg.

Opitz, O. / Etschberger, S. / Burkart, W. R. / Klein, R.: Mathematik - Lehrbuch für das Studium der Wirtschaftswissenschaften. 2017, Walter de Gruyter Verlag, Berlin/Boston.

Schmidt, K. D.: Mathematik - Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. 2000, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg.

Sydsæter, K. / Hammond, P. / Strøm, A. / Carvajal, A.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftlicher. 2018, Pearson, Hallbergmoos.

Terveer, I.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftlen. 2013, UVK Verlagsgesellschaft, Konstanz.