Graphen und Algorithmen

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Vorlesung #6: Eulersche Touren

und Hamiltonsche Graphen

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Eulersche Touren

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Eulersche Touren

Sätze von Euler und Hierholzer

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Eulersche Touren

Sätze von Euler und Hierholzer Algorithmus von Fleury

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Sätze von Euler und Hierholzer Algorithmus von Fleury

Problem des chinesischen Briefträgers

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Sätze von Euler und Hierholzer Algorithmus von Fleury

Problem des chinesischen Briefträgers Hamiltonsche Graphen

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Problem des chinesischen Briefträgers Hamiltonsche Graphen

Sätze von Dirac und Bondy-Chvatal

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Problem des chinesischen Briefträgers Hamiltonsche Graphen

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Problem des Handlungsreisenden Greedy-Heuristiken

Parametrisierte Greedy-Heuristiken Untere Schranken

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Parametrisierte Greedy-Heuristiken Untere Schranken

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Parametrisierte Greedy-Heuristiken Untere Schranken

Approximationsalgorithmen Schnittebenenverfahren

Die Wiege der Graphentheorie

Die Wiege der Graphentheorie

Das Königsberger Brückenproblem (Leonhard Euler, 1707-1783)

Die Wiege der Graphentheorie

Das Königsberger Brückenproblem (Leonhard Euler, 1707-1783)

Die Wiege der Graphentheorie

Das Königsberger Brückenproblem (Leonhard Euler, 1707-1783)

Die Wiege der Graphentheorie

Das Königsberger Brückenproblem (Leonhard Euler, 1707-1783)

Die Wiege der Graphentheorie

Das Königsberger Brückenproblem (Leonhard Euler, 1707-1783)

Gibt es einen Weg über alle Pregel-Brücken, so dass jede Brücke genau einmal benutzt wird?

Die Wiege der Graphentheorie

Das Königsberger Brückenproblem (Leonhard Euler, 1707-1783)

Gibt es einen Weg über alle Pregel-Brücken, so dass jede Brücke genau einmal benutzt wird?

...und man am Ende der Wanderung wieder am Ausgangort ankommt?

Eulersche Graphen

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von

enthält.^{G = (V, E) G G}

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

G = (V, E) G G

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

G = (V, E) G G

G G

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

G = (V, E) G G

G G

G G

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

G = (V, E) G G

G G

G G

G

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

G = (V, E) G G

G G

G G

G

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das ist

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

2

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das ist das

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

2

3

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das ist das Haus

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

2

3 4

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das ist das Haus des

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

2

3 4

5

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das ist das Haus des Ni-

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

2

3 4

5 6

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das ist das Haus des Ni-ko-

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

2

3 4

5 6

7

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das ist das Haus des Ni-ko-laus!

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

2

3 4

5 6

7 8

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das ist das Haus des Ni-ko-laus!

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

2

3 4

5 6

7 8

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das ist das Haus des Ni-ko-laus!

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

2

3 4

5 6

7 8

Eulersche Graphen

Definition 1:

Sei ein Graph. Ein Weg in heißt Eulerscher Weg, wenn er jede Kante von enthält.

Bemerkung: Da in einem Weg die Kanten per Definition paarweise verschieden sind, enthält ein Eulerscher Weg damit jede Kante genau einmal.

Definition 2:

Eine Tour von ist ein geschlossener Kantenzug, die jede Kante von mindestens einmal enthält.

Eine Eulersche Tour von ist eine Tour, die jede Kante von genau einmal enthält.

Definition 3:

Ein Graph heißt Eulersch, wenn er eine Eulersche Tour enthält.

Beispiel: Eulerscher Weg (links), Eulerscher Graph (rechts)

Das ist das Haus des Ni-ko-laus!

G = (V, E) G G

G G

G G

G

1

2

3 4

5 6

7

8 1

4 2

6

5 3

7 8

12 11

10 9

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.G

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

G

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

G

G C G u

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

G

G C G u

v u

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

G

G C G u

v u

G G v

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

G

G C G u

v u

G G v

v C

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

Also ist gerade.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v deg(v)

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

Also ist gerade.

Da die Tour bei beginnt und endet (mit zwei unterschiedlichen Kanten), tragen die erste und letzte Kante 2 zu bei.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v deg(v)

u deg(u)

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

Also ist gerade.

Da die Tour bei beginnt und endet (mit zwei unterschiedlichen Kanten), tragen die erste und letzte Kante 2 zu bei.

Wie für gilt auch für , dass jede Wdh. von innerhalb der Tour den Grad um 2 erhöht.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v deg(v)

u deg(u)

v u u

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

Also ist gerade.

Da die Tour bei beginnt und endet (mit zwei unterschiedlichen Kanten), tragen die erste und letzte Kante 2 zu bei.

Wie für gilt auch für , dass jede Wdh. von innerhalb der Tour den Grad um 2 erhöht.

Also ist auch gerade.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v deg(v)

u deg(u)

v u u

deg(u)

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

Also ist gerade.

Da die Tour bei beginnt und endet (mit zwei unterschiedlichen Kanten), tragen die erste und letzte Kante 2 zu bei.

Wie für gilt auch für , dass jede Wdh. von innerhalb der Tour den Grad um 2 erhöht.

Also ist auch gerade.

Somit haben alle Knoten, wie behauptet, einen geraden Grad.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v deg(v)

u deg(u)

v u u

deg(u)

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

Also ist gerade.

Da die Tour bei beginnt und endet (mit zwei unterschiedlichen Kanten), tragen die erste und letzte Kante 2 zu bei.

Wie für gilt auch für , dass jede Wdh. von innerhalb der Tour den Grad um 2 erhöht.

Also ist auch gerade.

Somit haben alle Knoten, wie behauptet, einen geraden Grad.

Folgerung: Das Haus-des-Nikolaus und die Brücken von Königsberg sind nicht-Eulersch.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v deg(v)

u deg(u)

v u u

deg(u)

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

Also ist gerade.

Da die Tour bei beginnt und endet (mit zwei unterschiedlichen Kanten), tragen die erste und letzte Kante 2 zu bei.

Wie für gilt auch für , dass jede Wdh. von innerhalb der Tour den Grad um 2 erhöht.

Also ist auch gerade.

Somit haben alle Knoten, wie behauptet, einen geraden Grad.

Folgerung: Das Haus-des-Nikolaus und die Brücken von Königsberg sind nicht-Eulersch.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v deg(v)

u deg(u)

v u u

deg(u)

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

Also ist gerade.

Da die Tour bei beginnt und endet (mit zwei unterschiedlichen Kanten), tragen die erste und letzte Kante 2 zu bei.

Wie für gilt auch für , dass jede Wdh. von innerhalb der Tour den Grad um 2 erhöht.

Also ist auch gerade.

Somit haben alle Knoten, wie behauptet, einen geraden Grad.

Folgerung: Das Haus-des-Nikolaus und die Brücken von Königsberg sind nicht-Eulersch.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v deg(v)

u deg(u)

v u u

deg(u)

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

Also ist gerade.

Da die Tour bei beginnt und endet (mit zwei unterschiedlichen Kanten), tragen die erste und letzte Kante 2 zu bei.

Wie für gilt auch für , dass jede Wdh. von innerhalb der Tour den Grad um 2 erhöht.

Also ist auch gerade.

Somit haben alle Knoten, wie behauptet, einen geraden Grad.

Folgerung: Das Haus-des-Nikolaus und die Brücken von Königsberg sind nicht-Eulersch.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v deg(v)

u deg(u)

v u u

deg(u)

Eine not wendige Bedingung für Eulersche Graphen

Satz 4 (Euler, 1736):

Sei ein Eulerscher Graph. Dann ist der Grad jedes Knotens gerade.

Beweis:

Sei ein Eulerscher Graph und eine Eulersche Tour in , die bei einem Knoten startet und endet.

Sei ein von verschiedener Knoten.

Da zusammenhängend ist und die Tour jede Kante von einschließt, ist auch ein Knoten der Tour.

wird jedes Mal, wenn er auf der Tour durchlaufen wird, von unterschiedlichen Kanten erreicht und verlassen, da jede Kante nur einmal in der Tour vorkommt.

Somit wird der Grad des Knotens jedes Mal um 2 erhöht.

Also ist gerade.

Da die Tour bei beginnt und endet (mit zwei unterschiedlichen Kanten), tragen die erste und letzte Kante 2 zu bei.

Wie für gilt auch für , dass jede Wdh. von innerhalb der Tour den Grad um 2 erhöht.

Also ist auch gerade.

Somit haben alle Knoten, wie behauptet, einen geraden Grad.

Folgerung: Das Haus-des-Nikolaus und die Brücken von Königsberg sind nicht-Eulersch.

G

G C G u

v u

G G v

v C

v deg(v)

u deg(u)

v u u

deg(u)

Ein einleitendes Lemma vorweg

Ein einleitendes Lemma vorweg

Lemma 5:

Sei ein Graph, in dem der Grad jedes Knotens mindestens 2 beträgt. Dann enthält einen

Kreis.^{G G}

Ein einleitendes Lemma vorweg

Lemma 5:

Sei ein Graph, in dem der Grad jedes Knotens mindestens 2 beträgt. Dann enthält einen Kreis.

Beweis:

G G

Ein einleitendes Lemma vorweg

Lemma 5:

Sei ein Graph, in dem der Grad jedes Knotens mindestens 2 beträgt. Dann enthält einen Kreis.

Beweis:

Sei ein beliebiger Knoten von .

G G

v₀ G

Ein einleitendes Lemma vorweg

Lemma 5:

Sei ein Graph, in dem der Grad jedes Knotens mindestens 2 beträgt. Dann enthält einen Kreis.

Beweis:

Sei ein beliebiger Knoten von .

Da , gibt es eine Kante mit Endknoten und einem weiteren mit bezeichneten Endknoten.

G G

v₀ G

deg(v₀) ≥ 2 e₁ v₀ v₁

Ein einleitendes Lemma vorweg

Lemma 5:

Sei ein Graph, in dem der Grad jedes Knotens mindestens 2 beträgt. Dann enthält einen Kreis.

Beweis:

Sei ein beliebiger Knoten von .

Da , gibt es eine Kante mit Endknoten und einem weiteren mit bezeichneten Endknoten.

Da auch , gibt es eine Kante mit Endknoten und , wobei .

G G

v₀ G

deg(v₀) ≥ 2 e₁ v₀ v₁

deg(v₁) ≥ 2 e₂ v₁ v₂ v₂ != v₀

Ein einleitendes Lemma vorweg

Lemma 5:

Sei ein Graph, in dem der Grad jedes Knotens mindestens 2 beträgt. Dann enthält einen Kreis.

Beweis:

Sei ein beliebiger Knoten von .

Da , gibt es eine Kante mit Endknoten und einem weiteren mit bezeichneten Endknoten.

Da auch , gibt es eine Kante mit Endknoten und , wobei . Allgemein wird beim -ten Mal eine Kante gewählt, wobei

G G

v₀ G

deg(v₀) ≥ 2 e₁ v₀ v₁

deg(v₁) ≥ 2 e₂ v₁ v₂ v₂ != v₀

(i + 1) e_i = {v_i, v_i+1} v_i+1 != v_i−1.

Ein einleitendes Lemma vorweg

Lemma 5:

Sei ein Graph, in dem der Grad jedes Knotens mindestens 2 beträgt. Dann enthält einen Kreis.

Beweis:

Sei ein beliebiger Knoten von .

Da , gibt es eine Kante mit Endknoten und einem weiteren mit bezeichneten Endknoten.

Da auch , gibt es eine Kante mit Endknoten und , wobei . Allgemein wird beim -ten Mal eine Kante gewählt, wobei

Da nur endlich viele Knoten hat, müssen wir irgendwann einen Knoten wählen, der bereits vorher durchlaufen wurde.

G G

v₀ G

deg(v₀) ≥ 2 e₁ v₀ v₁

deg(v₁) ≥ 2 e₂ v₁ v₂ v₂ != v₀

(i + 1) e_i = {v_i, v_i+1} v_i+1 != v_i−1. G

Ein einleitendes Lemma vorweg

Lemma 5:

Sei ein Graph, in dem der Grad jedes Knotens mindestens 2 beträgt. Dann enthält einen Kreis.

Beweis:

Sei ein beliebiger Knoten von .

Da , gibt es eine Kante mit Endknoten und einem weiteren mit bezeichneten Endknoten.

Da auch , gibt es eine Kante mit Endknoten und , wobei . Allgemein wird beim -ten Mal eine Kante gewählt, wobei

Da nur endlich viele Knoten hat, müssen wir irgendwann einen Knoten wählen, der bereits vorher durchlaufen wurde.

So lange wird das Verfahren wiederholt.

G G

v₀ G

deg(v₀) ≥ 2 e₁ v₀ v₁

deg(v₁) ≥ 2 e₂ v₁ v₂ v₂ != v₀

(i + 1) e_i = {v_i, v_i+1} v_i+1 != v_i−1. G

Ein einleitendes Lemma vorweg

Lemma 5:

Sei ein Graph, in dem der Grad jedes Knotens mindestens 2 beträgt. Dann enthält einen Kreis.

Beweis:

Sei ein beliebiger Knoten von .

Da , gibt es eine Kante mit Endknoten und einem weiteren mit bezeichneten Endknoten.

Da auch , gibt es eine Kante mit Endknoten und , wobei . Allgemein wird beim -ten Mal eine Kante gewählt, wobei

Da nur endlich viele Knoten hat, müssen wir irgendwann einen Knoten wählen, der bereits vorher durchlaufen wurde.

So lange wird das Verfahren wiederholt.

Sei der erste derartige Knoten.

G G

v₀ G

deg(v₀) ≥ 2 e₁ v₀ v₁

deg(v₁) ≥ 2 e₂ v₁ v₂ v₂ != v₀

(i + 1) e_i = {v_i, v_i+1} v_i+1 != v_i−1. G

v_k

Ein einleitendes Lemma vorweg

Lemma 5:

Sei ein Graph, in dem der Grad jedes Knotens mindestens 2 beträgt. Dann enthält einen Kreis.

Beweis:

Sei ein beliebiger Knoten von .

Da , gibt es eine Kante mit Endknoten und einem weiteren mit bezeichneten Endknoten.

Da auch , gibt es eine Kante mit Endknoten und , wobei . Allgemein wird beim -ten Mal eine Kante gewählt, wobei

Da nur endlich viele Knoten hat, müssen wir irgendwann einen Knoten wählen, der bereits vorher durchlaufen wurde.

So lange wird das Verfahren wiederholt.

Sei der erste derartige Knoten.

Dann ist der gesuchte Kreis.

G G

v₀ G

deg(v₀) ≥ 2 e₁ v₀ v₁

deg(v₁) ≥ 2 e₂ v₁ v₂ v₂ != v₀

(i + 1) e_i = {v_i, v_i+1} v_i+1 != v_i−1. G

v_k

(v_k, v_k+1, . . . , v_k+s+1, v_k)

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.^{G = (V, E)}

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

Die Knotengrade in sind immer noch gerade, da der Grad aller Knoten in um genau 2 reduziert wurde (gegenüber dem jeweiligen Knotengrad in ).

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

H C

G

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

Die Knotengrade in sind immer noch gerade, da der Grad aller Knoten in um genau 2 reduziert wurde (gegenüber dem jeweiligen Knotengrad in ).

Nach Induktionsannahme ist jede Zusammenhangskomponente von Eulersch.

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

H C

G

H

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

Die Knotengrade in sind immer noch gerade, da der Grad aller Knoten in um genau 2 reduziert wurde (gegenüber dem jeweiligen Knotengrad in ).

Nach Induktionsannahme ist jede Zusammenhangskomponente von Eulersch.

Außerdem hat jede Komponente mind. einen Knoten mit gemein.

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

H C

G

H C

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

Die Knotengrade in sind immer noch gerade, da der Grad aller Knoten in um genau 2 reduziert wurde (gegenüber dem jeweiligen Knotengrad in ).

Nach Induktionsannahme ist jede Zusammenhangskomponente von Eulersch.

Außerdem hat jede Komponente mind. einen Knoten mit gemein.

Konstruiere eine Eulertour für wie folgt:

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

H C

G

H C

G

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

Die Knotengrade in sind immer noch gerade, da der Grad aller Knoten in um genau 2 reduziert wurde (gegenüber dem jeweiligen Knotengrad in ).

Nach Induktionsannahme ist jede Zusammenhangskomponente von Eulersch.

Außerdem hat jede Komponente mind. einen Knoten mit gemein.

Konstruiere eine Eulertour für wie folgt:

Wir starten mit einem beliebigen Knoten in . G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

H C

G

H C

G

C

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

Die Knotengrade in sind immer noch gerade, da der Grad aller Knoten in um genau 2 reduziert wurde (gegenüber dem jeweiligen Knotengrad in ).

Nach Induktionsannahme ist jede Zusammenhangskomponente von Eulersch.

Außerdem hat jede Komponente mind. einen Knoten mit gemein.

Konstruiere eine Eulertour für wie folgt:

Wir starten mit einem beliebigen Knoten in .

Laufe so lange entlang der Kanten in , bis man auf eine Komponente von stößt.

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

H C

G

H C

G

C

C H

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

Die Knotengrade in sind immer noch gerade, da der Grad aller Knoten in um genau 2 reduziert wurde (gegenüber dem jeweiligen Knotengrad in ).

Nach Induktionsannahme ist jede Zusammenhangskomponente von Eulersch.

Außerdem hat jede Komponente mind. einen Knoten mit gemein.

Konstruiere eine Eulertour für wie folgt:

Wir starten mit einem beliebigen Knoten in .

Laufe so lange entlang der Kanten in , bis man auf eine Komponente von stößt.

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

H C

G

H C

G

C

C H

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

Die Knotengrade in sind immer noch gerade, da der Grad aller Knoten in um genau 2 reduziert wurde (gegenüber dem jeweiligen Knotengrad in ).

Nach Induktionsannahme ist jede Zusammenhangskomponente von Eulersch.

Außerdem hat jede Komponente mind. einen Knoten mit gemein.

Konstruiere eine Eulertour für wie folgt:

Wir starten mit einem beliebigen Knoten in .

Laufe so lange entlang der Kanten in , bis man auf eine Komponente von stößt.

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

H C

G

H C

G

C

C H

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

Die Knotengrade in sind immer noch gerade, da der Grad aller Knoten in um genau 2 reduziert wurde (gegenüber dem jeweiligen Knotengrad in ).

Nach Induktionsannahme ist jede Zusammenhangskomponente von Eulersch.

Außerdem hat jede Komponente mind. einen Knoten mit gemein.

Konstruiere eine Eulertour für wie folgt:

Wir starten mit einem beliebigen Knoten in .

Laufe so lange entlang der Kanten in , bis man auf eine Komponente von stößt.

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

H C

G

H C

G

C

C H

Chrakterisierung Eulerscher Graphen

Satz 6 (Hierholzer, 1873):

Ein zusammenhängender Graph ist genau dann Eulersch, wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.

Beweis (Induktion über die Kantenanzahl):

Induktionsanfang, keine Kanten: Ein Graph mit einem einzigen Knoten ist Eulersch.

Wenn der Graph Kanten hat, dann gibt es keine isolierten Knoten mit Grad 0, da der Graph zusammenhängend ist.

Da der Knotengrad gerade ist, ist daher für alle . Nach Lemma 5 gibt es dann in einen Kreis .

Enthält bereits jede Kante von , dann haben wir damit die gesuchte Eulertour.

Andernfalls sei . ist u.U. nicht zusammenhängend.

Die Knotengrade in sind immer noch gerade, da der Grad aller Knoten in um genau 2 reduziert wurde (gegenüber dem jeweiligen Knotengrad in ).

Nach Induktionsannahme ist jede Zusammenhangskomponente von Eulersch.

Außerdem hat jede Komponente mind. einen Knoten mit gemein.

Konstruiere eine Eulertour für wie folgt:

Wir starten mit einem beliebigen Knoten in .

Laufe so lange entlang der Kanten in , bis man auf eine Komponente von stößt.

G = (V, E)

deg(v) ≥ 2 v ∈ V

G C

C G

H := (V, E\E(C)) H

H C

G

H C

G

C

C H

Charakterisierung von Graphen mit Eulerschen Wegen

Charakterisierung von Graphen mit Eulerschen Wegen

Satz 7:

Ein zusammenhängender Graph hat genau dann einen Eulerschen Weg, wenn er höchstens zwei ungerade Knoten enthält. ^G

Charakterisierung von Graphen mit Eulerschen Wegen

Satz 7:

Ein zusammenhängender Graph hat genau dann einen Eulerschen Weg, wenn er höchstens zwei ungerade Knoten enthält.

Beweis:

G

Charakterisierung von Graphen mit Eulerschen Wegen

Satz 7:

Ein zusammenhängender Graph hat genau dann einen Eulerschen Weg, wenn er höchstens zwei ungerade Knoten enthält.

Beweis:

( ): habe einen Eulerschen Weg.

G

⇒ G

Charakterisierung von Graphen mit Eulerschen Wegen

Satz 7:

Ein zusammenhängender Graph hat genau dann einen Eulerschen Weg, wenn er höchstens zwei ungerade Knoten enthält.

Beweis:

( ): habe einen Eulerschen Weg.

Wenn kein Endknoten des Weges ist, dann ist gerade (vgl. Beweis von Satz 4).

G

⇒ G

v deg(v)

Charakterisierung von Graphen mit Eulerschen Wegen

Satz 7:

Ein zusammenhängender Graph hat genau dann einen Eulerschen Weg, wenn er höchstens zwei ungerade Knoten enthält.

Beweis:

( ): habe einen Eulerschen Weg.

Wenn kein Endknoten des Weges ist, dann ist gerade (vgl. Beweis von Satz 4).

Somit sind die einzig möglichen Knoten mit ungeradem Grad die beiden Endknoten.

G

⇒ G

v deg(v)

Charakterisierung von Graphen mit Eulerschen Wegen

Satz 7:

Ein zusammenhängender Graph hat genau dann einen Eulerschen Weg, wenn er höchstens zwei ungerade Knoten enthält.

Beweis:

( ): habe einen Eulerschen Weg.

Wenn kein Endknoten des Weges ist, dann ist gerade (vgl. Beweis von Satz 4).

Somit sind die einzig möglichen Knoten mit ungeradem Grad die beiden Endknoten.

( ): Sei zusammenhängend mit höchstens zwei ungeraden Knoten.

G

⇒ G

⇐

v deg(v)

G

Charakterisierung von Graphen mit Eulerschen Wegen

Satz 7:

Ein zusammenhängender Graph hat genau dann einen Eulerschen Weg, wenn er höchstens zwei ungerade Knoten enthält.

Beweis:

( ): habe einen Eulerschen Weg.

Wenn kein Endknoten des Weges ist, dann ist gerade (vgl. Beweis von Satz 4).

Somit sind die einzig möglichen Knoten mit ungeradem Grad die beiden Endknoten.

( ): Sei zusammenhängend mit höchstens zwei ungeraden Knoten.

Wenn keinen ungeraden Knoten hat, dann gibt es nach Satz 6 sogar eine Eulertour.

G

⇒ G

⇐

v deg(v)

G G

Charakterisierung von Graphen mit Eulerschen Wegen

Satz 7:

Ein zusammenhängender Graph hat genau dann einen Eulerschen Weg, wenn er höchstens zwei ungerade Knoten enthält.

Beweis:

( ): habe einen Eulerschen Weg.

Wenn kein Endknoten des Weges ist, dann ist gerade (vgl. Beweis von Satz 4).

Somit sind die einzig möglichen Knoten mit ungeradem Grad die beiden Endknoten.

( ): Sei zusammenhängend mit höchstens zwei ungeraden Knoten.

Wenn keinen ungeraden Knoten hat, dann gibt es nach Satz 6 sogar eine Eulertour.

kann nicht genau einen ungeraden Knoten haben, da die Anzahl ungerader Knoten stets gerade ist. Bleibt der Fall, dass genau zwei ungerade Knoten und hat.

G

⇒ G

⇐

v deg(v)

G G G

G u v

Charakterisierung von Graphen mit Eulerschen Wegen

Satz 7:

Ein zusammenhängender Graph hat genau dann einen Eulerschen Weg, wenn er höchstens zwei ungerade Knoten enthält.

Beweis:

( ): habe einen Eulerschen Weg.

Wenn kein Endknoten des Weges ist, dann ist gerade (vgl. Beweis von Satz 4).

Somit sind die einzig möglichen Knoten mit ungeradem Grad die beiden Endknoten.

( ): Sei zusammenhängend mit höchstens zwei ungeraden Knoten.

Wenn keinen ungeraden Knoten hat, dann gibt es nach Satz 6 sogar eine Eulertour.

kann nicht genau einen ungeraden Knoten haben, da die Anzahl ungerader Knoten stets gerade ist. Bleibt der Fall, dass genau zwei ungerade Knoten und hat.

1. Fall, es gibt keine Kante zwischen und . G

⇒ G

⇐

v deg(v)

G G G

G u v

u v

e = {u, v}