Graphen und Algorithmen

(1)

Graphen und Algorithmen

Vorlesung #3: Kürzeste Wege

WS 2007/2008

Dr. Armin Fügenschuh

Technische Universität Darmstadt

(2)

Übersicht

2

(3)

Übersicht

Problemstellung

2

(4)

Übersicht

Problemstellung Anwendungen

2

(5)

Übersicht

Bellmans Optimalitätsbedingung und kürzeste Wege in azyklischen Digraphen

2

(6)

Übersicht

Bellmans Optimalitätsbedingung und kürzeste Wege in azyklischen Digraphen Algorithmus von Dijkstra

2

(7)

Übersicht

Algorithmus von Bellman-Ford

2

(8)

Übersicht

Alle-Paare-Algorithmus von Floyd-Warshall

2

(9)

Übersicht

Aufspannende Bäume und minimale Maximalkosten-Wege

2

(10)

Übersicht

Aufspannende Bäume und minimale Maximalkosten-Wege Steiner-Bäume

2

(11)

Das Kürzeste-Wege-Problem

3

(12)

Das Kürzeste-Wege-Problem

Definition 1:

Sei ein bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Die Aufgabe, einen Weg von nach mit minimaler Länge zu finden, wird als Problem des kürzesten Weg

bezeichnet.

3

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t

(13)

Das Kürzeste-Wege-Problem

Definition 1:

bezeichnet.

In dieser Allgemeinheit gestellt, ist das Problem schwer zu lösen. Daher beschränken wir uns auf Spezialfälle.

3

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t

(14)

Das Kürzeste-Wege-Problem

Definition 1:

bezeichnet.

Definition 2:

Sei ein bewerteter Digraph. Die Gewichte heißen konservativ, falls es keinen Kreis mit negativem Gesamtgewicht gibt.

3

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t

D = (V, A, c) c

(15)

Das Kürzeste-Wege-Problem

Definition 1:

bezeichnet.

Definition 2:

Mit dieser Einschränkung wird das Problem zumindest für Digraphen einfach.

3

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t

D = (V, A, c) c

(16)

Das Kürzeste-Wege-Problem

Definition 1:

bezeichnet.

Definition 2:

Im Falle von ungerichteten Graphen beschränken wir uns zudem auf nicht-negative Gewichte.

3

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t

D = (V, A, c) c

(17)

Das Kürzeste-Wege-Problem

Definition 1:

bezeichnet.

Definition 2:

Besonders einfache (und schnelle) Algorithmen erhält man, wenn man weitere

Einschränkungen ausnutzt, zum Beispiel für planare Graphen, oder Graphen, in denen alle Gewichte gleich sind.

3

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t

D = (V, A, c) c

(18)

Das Kürzeste-Wege-Problem

Definition 1:

bezeichnet.

Definition 2:

Besonders einfache (und schnelle) Algorithmen erhält man, wenn man weitere

Einschränkungen ausnutzt, zum Beispiel für planare Graphen, oder Graphen, in denen alle Gewichte gleich sind.

Definition 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph bzw. ein nicht-negativ bewerteter Graph.

Das alle-Paare-Kürzeste-Wege-Problem fragt nach der Berechnung von Matrizen und , wobei die Länge eines kürzesten Weges von nach ist und der

letzte Knoten vor auf einem solchen kürzesten Weg ist (falls er existiert).

3

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t

D = (V, A, c) c

D = (V, A, c)

(l_i,j)_i,j∈V

(p_i,j)i,j∈V l_i,j i j p_i,j

j

(19)

Anwendungen (1)

4

(20)

Anwendungen (1)

Routenplanung im Straßenverkehr

4

(21)

Anwendungen (1)

Digraph repräsentiert das Verkehrsnetz

4 D = (V, A, c)

(22)

Anwendungen (1)

Digraph repräsentiert das Verkehrsnetz Knoten sind Kreuzungen, Einmündungen

4 D = (V, A, c)

(23)

Anwendungen (1)

Bögen sind Straßen

4 D = (V, A, c)

(24)

Anwendungen (1)

Gewichte sind z.B. Fahrzeiten, Entfernungen oder Kosten (Maut)

4 D = (V, A, c)

(25)

Anwendungen (1)

Gewichte sind z.B. Fahrzeiten, Entfernungen oder Kosten (Maut) Praktische Herausfordungen:

4 D = (V, A, c)

(26)

Anwendungen (1)

Ein Internet-Dienst (wie z.B. GoogleMaps, Map24, Michelin) bekommt pro Sekunde ca. 1000 Anfragen.

4 D = (V, A, c)

(27)

Anwendungen (1)

Der Nutzer erwartet eine Antwort praktisch „sofort“ (< 1 Sekunde).

4 D = (V, A, c)

(28)

Anwendungen (1)

Der Nutzer erwartet eine Antwort praktisch „sofort“ (< 1 Sekunde).

Der europäische Straßengraph besteht aus ca. 10 Mio. Knoten und 40 Mio. Bögen.

4 D = (V, A, c)

(29)

Anwendungen (2)

5

(30)

Anwendungen (2)

Approximation stückweise linearer Funktionen (Imai u. Iri, 1986).

5

(31)

Anwendungen (2)

Gegeben sei eine stetige Funktion in Form einer Wertetabelle. Zwischen zwei benachbarten Werten der Tabelle wird eine lineare Interpolation angenommen.

5 f : [a, b] → R

(32)

Anwendungen (2)

Gesucht ist eine stückweise lineare Funktion , welche möglichst gut approximiert, aber mit einer wesentlich kleineren Wertetabelle auskommt.

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

(33)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

(34)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

(35)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

(36)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

f

(37)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

f

(38)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

f

a = x₁ < x₂ < . . . < x_n = b

(39)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

aⁱ = (xⁱ, yⁱ)

f

a = x₁ < x₂ < . . . < x_n = b

(40)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

aⁱ = (xⁱ, yⁱ)

f

a = x₁ < x₂ < . . . < x_n = b

(41)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

aⁱ = (xⁱ, yⁱ)

ˆ f f

a = x₁ < x₂ < . . . < x_n = b

(42)

Anwendungen (2)

Beispiel:

Gewichteter Digraphen , wobei und .

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

aⁱ = (xⁱ, yⁱ)

ˆ f f

a = x₁ < x₂ < . . . < x_n = b

D = (V, A, c) V = {1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j}

(43)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

aⁱ = (xⁱ, yⁱ)

ˆ f f

a = x₁ < x₂ < . . . < x_n = b

D = (V, A, c) V = {1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j}

1 2 3 4 5

(44)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

aⁱ = (xⁱ, yⁱ)

ˆ f f

a = x₁ < x₂ < . . . < x_n = b

D = (V, A, c) V = {1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j}

1 2 3 4 5

(45)

Anwendungen (2)

Beispiel:

Gewichteter Digraphen , wobei und . Wähle Konstanten ( sind Kosten für das Segment und sind Kosten für den Approximationsfehler) und definiere Gewichte

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

aⁱ = (xⁱ, yⁱ)

ˆ f f

a = x₁ < x₂ < . . . < x_n = b

D = (V, A, c) V = {1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j}

α, β > 0 α β

1 2 3 4 5

(46)

Anwendungen (2)

Beispiel:

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

aⁱ = (xⁱ, yⁱ)

ˆ f f

a = x₁ < x₂ < . . . < x_n = b

D = (V, A, c) V = {1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j} α, β > 0

c_i,j := α + β

! _j

"

k=i

(f(x_k) − fˆ(x_k))²)

#

α β

1 2 3 4 5

(47)

Anwendungen (2)

Beispiel:

Kürzester Weg von nach in ist gesuchte Approximation.

5 f : [a, b] → R

fˆ: [a, b] → R f

aⁱ = (xⁱ, yⁱ)

ˆ f f

a = x₁ < x₂ < . . . < x_n = b

D = (V, A, c) V = {1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j} α, β > 0

c_i,j := α + β

! _j

"

k=i

(f(x_k) − fˆ(x_k))²)

#

a b D

α β

1 2 3 4 5

(48)

Anwendungen (3)

6

(49)

Anwendungen (3)

Planung von Inspektionen entlang einer Produktionslinie (White, 1969)

6

(50)

Anwendungen (3)

Planung von Inspektionen entlang einer Produktionslinie (White, 1969)

6

(51)

Anwendungen (3)

Planung von Inspektionen entlang einer Produktionslinie (White, 1969) Fertigungsstationen innerhalb der Linie.

6 n

(52)

Anwendungen (3)

Fertigung in Losen (batches) der Größe .

6 n

B ≥ 1

(53)

Anwendungen (3)

Fertigung in Losen (batches) der Größe . Wahrscheinlichkeit für Produktionsfehler

in Station sei ; Fehler können nicht behoben werden.

6 n

B ≥ 1 i α_i

(54)

Anwendungen (3)

Nach jeder Station kann eine Prüfung des gesamten Loses erfolgen; die

Prüfung erkennt fehlerhafte Teile.

6 n

B ≥ 1 i α_i

(55)

Anwendungen (3)

Am Ende der Linie erfolgt grundsätzlich eine Prüfung aller Teile.

6 n

B ≥ 1 i α_i

(56)

Anwendungen (3)

Problem: jede Prüfstation kostet Geld,

Restfertigung von Schadteilen kostet ebenfalls Geld.

6 n

B ≥ 1 i α_i

(57)

Anwendungen (3)

Ziel: Finde das optimale Verhältnis (trade-off) zwischen diesen beiden Kostenfaktoren.

6 n

B ≥ 1 i α_i

(58)

Anwendungen (3)

Gegebene Größen: Herstellungskosten pro Stück in Station .

6 n

B ≥ 1 i α_i

pi i

(59)

Anwendungen (3)

Inspektionskosten pro Los nach Station , falls zuletzt nach Station inspiziert wurde.

6 n

B ≥ 1 i α_i

pi i

f_i,j j i

(60)

Anwendungen (3)

Inspektionskosten pro Stück nach Station , falls zuletzt nach Station inspiziert wurde.

6 n

B ≥ 1 i α_i

pi i

f_i,j j i

j i

g_i,j

(61)

Anwendungen (3)

6 n

B ≥ 1 i α_i

pi i

f_i,j j i

j i

g_i,j

D = (V, A, c) V = {0, 1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j}

(62)

Anwendungen (3)

6 n

B ≥ 1 i α_i

pi i

f_i,j j i

j i

g_i,j

D = (V, A, c) V = {0, 1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j}

1 2 3 4 5

(63)

Anwendungen (3)

Gewichteter Digraphen , wobei und . Sei die Anzahl heiler Teile im Los nach Station , d.h. .

6 n

B ≥ 1 i α_i

pi i

f_i,j j i

j i

g_i,j

D = (V, A, c) V = {0, 1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j}

Bⁱ i B_i := B ·

!ⁱ

k=1(1 − α_k)

1 2 3 4 5

(64)

Anwendungen (3)

Ein kürzester Weg von 0 nach bzgl. der Bogenkosten definiert eine optimale Verteilung von Inspektionsstellen, wobei

6 n

B ≥ 1 i α_i

pi i

f_i,j j i

j i

g_i,j

D = (V, A, c) V = {0, 1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j}

Bⁱ i B_i := B ·

!ⁱ

k=1(1 − α_k)

n c_i,j

1 2 3 4 5

(65)

Anwendungen (3)

Ein kürzester Weg von 0 nach bzgl. der Bogenkosten definiert eine optimale Verteilung von Inspektionsstellen, wobei

6 n

B ≥ 1 i α_i

pi i

f_i,j j i

j i

g_i,j

D = (V, A, c) V = {0, 1, . . . , n} A = {(i, j) : i < j}

Bⁱ i B_i := B ·

!ⁱ

k=1(1 − α_k)

n c_i,j

c_i,j := f_i,j + B_i ·

!

g_i,j + "^j

k=i+1 p_k

# .

1 2 3 4 5

(66)

Bellmans Optimalitätskriterium

7

(67)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

(68)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

(69)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

(70)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach . Dann gilt .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

(71)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

1. Fall, ist nicht in enthalten.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

(72)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Dann ist ein kürzerer Weg von nach (im Vergleich zu ).

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

(73)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

(74)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

2. Fall, ist in enthalten.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

(75)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Sei der Bogen von mit Endknoten .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

(76)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Teile in Wege von nach , und von nach .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

(77)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Teile in Wege von nach , und von nach . Definiere , so ist ein Kreis.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K

(78)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Es gilt , da der Digraph konservativ ist.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K c(K) ≥ 0 D

(79)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Also gilt:

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K c(K) ≥ 0 D

c(R) = c(Q^!) + ca_n − c(K)

(80)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Also gilt:

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K c(K) ≥ 0 D

c(R) = c(Q^!) + ca_n − c(K) < c(P) − c(K)

(81)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Also gilt:

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K c(K) ≥ 0 D

c(R) = c(Q^!) + ca_n − c(K) < c(P) − c(K) ≤ c(P).

(82)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Also gilt:

Ebenso im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K c(K) ≥ 0 D

c(R) = c(Q^!) + ca_n − c(K) < c(P) − c(K) P

≤ c(P).

(83)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Also gilt:

Folgerung 4:

Gegeben sei ein bewerteter azyklischer Digraph sowie ein Knoten .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K c(K) ≥ 0 D

c(R) = c(Q^!) + ca_n − c(K) < c(P) − c(K) P

D = (V, A, c) s ∈ V

≤ c(P).

(84)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Also gilt:

Folgerung 4:

Gegeben sei ein bewerteter azyklischer Digraph sowie ein Knoten . Wir definieren rekursiv die Funktion durch und

für alle .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K c(K) ≥ 0 D

c(R) = c(Q^!) + ca_n − c(K) < c(P) − c(K) P

D = (V, A, c) s ∈ V

dist : V × V → R dist(s, s) := 0 dist(s, w) := min{dist(s, v) + c_v,w : (v, w) ∈ A} w ∈ V \{s}

≤ c(P).

(85)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Beweis:

Also gilt:

Folgerung 4:

Gegeben sei ein bewerteter azyklischer Digraph sowie ein Knoten . Wir definieren rekursiv die Funktion durch und

für alle . Dann liefert den Abstand eines jeden Knoten des Digraphen von .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K c(K) ≥ 0 D

c(R) = c(Q^!) + ca_n − c(K) < c(P) − c(K) P

D = (V, A, c) s ∈ V

dist : V × V → R dist(s, s) := 0 dist(s, w) := min{dist(s, v) + c_v,w : (v, w) ∈ A} w ∈ V \{s}

dist s

≤ c(P).