Bellmans Optimalitätskriterium

7

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach . Dann gilt .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach . Dann gilt .

1. Fall, ist nicht in enthalten.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach . Dann gilt .

1. Fall, ist nicht in enthalten.

Dann ist ein kürzerer Weg von nach (im Vergleich zu ).

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach . Dann gilt .

1. Fall, ist nicht in enthalten.

Dann ist ein kürzerer Weg von nach (im Vergleich zu ).

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach . Dann gilt .

1. Fall, ist nicht in enthalten.

Dann ist ein kürzerer Weg von nach (im Vergleich zu ).

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach . Dann gilt .

1. Fall, ist nicht in enthalten.

Dann ist ein kürzerer Weg von nach (im Vergleich zu ).

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Sei der Bogen von mit Endknoten .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach . Dann gilt .

1. Fall, ist nicht in enthalten.

Dann ist ein kürzerer Weg von nach (im Vergleich zu ).

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Sei der Bogen von mit Endknoten .

Teile in Wege von nach , und von nach .

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach . Dann gilt .

1. Fall, ist nicht in enthalten.

Dann ist ein kürzerer Weg von nach (im Vergleich zu ).

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Sei der Bogen von mit Endknoten .

Teile in Wege von nach , und von nach . Definiere , so ist ein Kreis.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K

Bellmans Optimalitätskriterium

Satz 3:

Sei ein konservativ bewerteter Digraph. Seien Knoten in . Sei

ein kürzester Weg von nach , und sei der letzter Bogen in diesem Weg. Dann ist ein kürzester Weg von nach .

Beweis:

Angenommen, ist ein kürzerer Weg als von nach . Dann gilt .

1. Fall, ist nicht in enthalten.

Dann ist ein kürzerer Weg von nach (im Vergleich zu ).

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Sei der Bogen von mit Endknoten .

Teile in Wege von nach , und von nach . Definiere , so ist ein Kreis.

Es gilt , da der Digraph konservativ ist.

7

D = (V, A, c) s, t ∈ V D

s t an = (u, t)

s u

P^! c(Q^!) + ca_n < c(P)

t Q^!

(b₁, . . . , bm, an) s t P

Q^! := (b₁, . . . , bm)

P^! := (a₁, . . . , an−1) P := (a₁, . . . , an−1, an)

s u

P

t Q^!

b_k Q^! t

s t

R := (b₁, . . . , bk) S := (b^k, . . . , bm) t u Q^!

K := (b^k, . . . , bm, an) K c(K) ≥ 0 D

Bellmans Optimalitätskriterium

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Bellmans Optimalitätskriterium

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Bellmans Optimalitätskriterium

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Bellmans Optimalitätskriterium

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Ebenso im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

7

Bellmans Optimalitätskriterium

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Ebenso im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

Folgerung 4:

Bellmans Optimalitätskriterium

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Ebenso im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

Folgerung 4:

Bellmans Optimalitätskriterium

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Ebenso im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

Folgerung 4:

Bellmans Optimalitätskriterium

Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

2. Fall, ist in enthalten.

Ebenso im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ein kürzester Weg ist.

Folgerung 4:

Im Dokument Graphen und Algorithmen (Seite 66-87)