Graphen und Algorithmen

Graphen und Algorithmen

Vorlesung #8: Färbungsprobleme

WS 2007/2008

Dr. Armin Fügenschuh

Technische Universität Darmstadt

Übersicht

Knotenfärbung (vs. Kanten- & Kartenfärbung) Satz von Brooks

Algorithmen zur Knotenfärbung Sequentielle Färbung

Welsh-Powell-Algorithmus

Algorithmus von Matula, Marble & Isaacson Kritische Graphen

Satz von Dirac und Folgerungen Cliquen

Satz von Mycielski

Eine Fluggesellschaft möchte die folgenden sieben Flüge wöchentlich durchführen:

(A) Budapest -> Turin -> Bordeaux -> London (B) Barcelona -> Genua -> München -> London (C) Wien -> Bordeaux -> London -> Porto

(D) Wien -> Warschau -> Genau (E) Wien -> Athen -> Bordeaux

(F) Hamburg -> München -> London (G) Hamburg -> Zürich -> Genua

Alle Flügen starten und enden in Frankfurt.

Jedes Zwischenziel soll nicht öfter als ein Mal am Tag angeflogen werden.

Alle Flüge sollen nur montags, mittwochs oder freitags stattfinden.

Ist es möglich, unter diesen Randbedingungen einen Flugplan aufzustellen?

Modellierung:

Graph mit sieben Knoten (A bis G) für die Flüge.

Kante zwischen zwei Knoten,

wenn die selbe Stadt als Zwischenziel angeflogen wird.

Die Tage Mo., Mi. und Fr. sollen den Knoten so zugeordnet werden, dass adjazente Knoten

unterschiedliche Tage bekommen.

Ersetze die drei Tage durch drei Farben, so entsteht ein Färbungsproblem.

Kann der Graph mit drei Farben gefärbt werden?

Fluglinienplanung

A

B

C

E D F

G

Knotenfärbung und chromatische Zahl

Definition 1:

Sei ein Graph. Eine Knotenfärbung von ist eine Abbildung mit für alle .

Eine -Färbung von ist eine Knotenfärbung mit . In diesem Fall wird auch als -färbbar bezeichnet.

Definition 2:

Die kleinste Zahl , für die es eine -Färbung des Graphen gibt, heißt chromatische Zahl von und wird mit bezeichnet. Ist , so wird als -chromatisch bezeichnet.

Bemerkung:

Hat ein Graph eine Schlinge an einem Knoten , dann ist adjazent mit sich selber. Somit ist keine Färbung möglich.

Auch Mehrfachkanten können bei Färbungsfragestellungen ignoriert werden.

O.B.d.A. betrachten wir nachfolgend nur schlichte Graphen.

Satz 3:

Sei ein Graph.

(a) Hat der Graph Knoten, so ist .

(b) Ist ein Untergraph von , so ist . (c) Ist ein Knoten von , so ist . (d) für alle .

(e) Ist ein Untergraph von , so ist .

(f) Sind die Zusammenhangskomponenten von , so ist .

Beispiel: Da der ein Untergraph des Flugliniengraph ist, gibt es also keine 3-Färbung.

G = (V, E) G f : V → Z

f(u) != f(v) {u, v} ∈ E

k G f |f(V )| = k G

k

n n G

G χ(G) χ(G) = k G k

v v

G = (V, E)

n χ(G) ≤ n

H G χ(H) ≤ χ(G)

χ(K_n) = n n ≥ 1

K_n G χ(G) ≥ n

G₁, . . . , G_n G

χ(G) = max{χ(G_i) : 1 ≤ i ≤ n} K₄

v G χ(G) ≤ χ(G − v) + 1

Chromatische Zahl und maximaler Knotengrad

Definition 4:

Sei ein Graph. Mit bezeichnen wir den maximalen Knotengrad.

Satz 5:

Sei ein Graph. Dann gilt .

Beweis (durch Induktion über die Anzahl der Knoten von ):

Induktionsanfang, . Dann ist und .

Sei die Aussage wahr für alle Graphen mit Knoten und ein Graph mit Knoten.

Sei ein Knoten von . Der Untergraph hat dann Knoten.

Somit gilt nach Induktionsvoraussetzung . Wähle eine Knotenfärbung von mit Farben.

Knoten hat höchstens Nachbarn in .

Diese Nachbarn benutzen höchstens Farben der Färbung von . 1. Fall, .

Dann gibt es (mind.) eine Farbe, die für die Nachbarn von nicht verwendet wurde.

Verwende diese Farbe, so erhalten wir eine Färbung mit Farben für . Also ist .

2. Fall, , d.h. . Färbe mit einer neuen Farbe.

Dann erhalten wir eine -Färbung von . Aus folgt . Also ist auch in diesem Fall .

G ∆(G) := max{deg(v) : v ∈ V (G)}

G χ(G) ≤ ∆(G) + 1

n G

n = 1 G = K₁, χ(G) = 1 ∆(G) = 0

n − 1 G n

v G G − v n − 1

χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1 G − v ∆(G − v) + 1

v ∆(G) G

∆(G) G − v

∆(G) = ∆(G − v)

v

∆(G) + 1 G χ(G) ≤ ∆(G) + 1

∆(G) != ∆(G − v) ∆(G) > ∆(G − v) v

(∆(G − v) + 2) G

∆(G − v) < ∆(G) ∆(G − v) + 2 ≤ ∆(G) + 1 χ(G) ≤ ∆(G) + 1

Kempe-Ketten

Definition 6:

Sei ein Graph mit einer Färbung, die aus mind. zwei Farben besteht. Sei der

Untergraph von , die aus allen Knoten von besteht, die entweder mit oder mit gefärbt sind. Eine Kempe-Kette ist eine Zusammenhangskomponente von .

Beobachtung: Wenn man in einer Kempe-Kette die Farben und vertauscht, so entsteht wiederum eine zulässige Färbung von .

Definition 7:

Das Verfahren der Neufärbung einer Kempe-Kette wird als Kempesche Kettenumfärbung bezeichnet.

Beispiel:

G i, j H(i, j)

G G i j

K H(i, j)

K i j

G

K

K₁

K₂

H(rot, blau) G

Der Satz von Brooks

Satz 8 (Brooks, 1941):

Sei zusammenhängend und nicht vollständig mit . Dann gilt Beweis (durch Induktion über die Anzahl der Knoten von ):

Induktionsanfang, (da ).

Da nicht vollständig ist (aber schlicht und zusammenhängend), können es nur die folgenden Graphen sein:

In jedem der drei Fälle ist die chromatische Zahl . Sei nun und die Aussage wahr für .

Wir wissen (siehe Beweis von Satz 5), dass mit Farben färbbar ist, wenn es in einen Knoten gibt mit , da dessen Nachbarn zusammen höchstens Farben haben.

Also ist der Satz in diesem Fall bewiesen.

Es bleibt nur der Fall, dass ein Graph ist, in dem kein solcher Knoten existiert.

Dann ist für jeden Knoten . Also ist dann ein -regulärer Graph.

Bleibt zu zeigen, dass eine -Färbung hat.

Sei ein beliebiger Knoten von .

Nach Induktionsannahme hat eine -Färbung.

Wenn die Nachbarn von weniger als Farben verbrauchen, dann kann mit einer nicht verbrauchten Farbe gefärbt werden. Dadurch erhalten wir eine -Färbung von .

G ∆(G) ≥ 3 χ(G) ≤ ∆(G).

n G

n = 4 ∆(G) ≥ 3 G

≤ 3

n ≥ 5 n − 1

G ∆(G) G

v deg(v) < ∆(G)

∆(G) − 1

G v

deg(v) = ∆(G) =: d v

G d

G d

v G

G − v d

v d v

d G

Satz von Brooks (Forts.)

Beweis (Forts.):

Andernfalls verbrauchen die Nachbarn von die Farben . Seien zwei Farben und die Nachbarn von in der jeweiligen Farbe.

Seien die Zusammenhangskomponenten von , die bzw. enthalten.

1. Fall, für ein Paar von Farben .

Wir führen in der Kempe-Kette eine Umfärbung durch.

Damit hat auch die Farbe .

Die Nachbarn von benutzen jetzt nur noch die Farben . Knoten kann mit Farbe gefärbt werden, und die Aussage ist gezeigt.

2. Fall, für alle Farben .

Für festes setze (zur Abkürzung) . Angenommen, .

Dann hat (mind.) zwei Nachbarn mit Farbe .

Wenn wir jetzt alle Nachbarn von betrachten (im gesamten Graphen ), so gibt es eine Farbe , die dort nicht vorkommt.

Färbe jetzt mit .

Dann kann mit gefärbt werden. Fertig.

Analog argumentiert man für .

Also kann im Folgenden angenommen werden.

Sei ein Weg in .

Angenommen, es gibt einen Knoten in mit .

Sei ferner der erste derartige Knoten in , und o.B.d.A habe die Farbe . d v₁, . . . , v_d v 1, . . . , d

i, j v_i, v_j

K_i, K_j H(i, j) v_i v_j

K_i != K_j i, j K_i

v_i j

v 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , d

v i

K_i = K_j i, j

i, j H := K_i

deg_H(v_i) > 1

v_i j

v_i G

k

v_i k v i

deg_H(v_j) > 1

deg_H(v_i) = deg_H(v_j) = 1

P = (v_i, . . . , v_j) H

u P deg_H(u) ≥ 3

u P u i

v

Satz von Brooks (Forts.)

Beweis (Forts.):

In sind (mind.) drei Nachbarn von mit Farbe gefärbt.

Also gibt es eine Farbe , die für die Nachbarn von nicht verwendet wurde.

Färbe nun mit Farbe .

Dann können die Knoten von (einschl.) bis (ausschl.) in umgefärbt werden.

Danach hat die Farbe . hatte ohnehin die Farbe .

Also kann mit gefärbt werden. Fertig.

Also bleibt der Fall, dass für alle Knoten in

Das bedeutet . besteht aus einem Weg von nach .

Da dieses für beliebige Knoten in der Nachbarschaft von gilt, sind also alle Kempe-Ketten Wege.

Sei wie bisher die zu gehörige Kette, und die zu gehörige Kette, Angenommen, es gibt einen Knoten .

Dann ist mit Farbe gefärbt und hat je zwei Nachbarn mit Farbe und .

Unter den Nachbarn von in gibt es dann eine Farbe , die nicht verwendet wurde.

Färbe nun mit Farbe .

Dann können die Knoten von zwischen (ausschl.) und (einschl.) umgefärbt werden.

Danach hat die Farbe . hatte ohnehin die Farbe . Also kann mit gefärbt werden. Fertig.

G u j

k u

u k

v_i u P

v_i j

v_j j

v i

deg_H(u) = 2 u P, u != v_i, v_j.

H = P H v_i v_j

v_i, v_j v

H v_i, v_j K v_i, v_k j != k.

w ∈ H ∩ K, w #= v_i

w i j

w G l

w l

k

K w v_k

v_k i v_i i

v k

Satz von Brooks (Ende)

Beweis (Ende):

Es bleibt nur noch der Fall, dass der einzige Knoten in ist.

Wir fassen zusammen: und sind Nachbarn von . Die Kempe-Ketten und sind Wege von nach bzw. nach . Ihr gemeinsamer Schnitt ist nur der Endknoten .

Angenommen, und sind nicht adjazent.

Sei ein Knoten mit Farbe in , adjazent zu .

In führen wir eine Kempesche Kettenumfärbung durch. Dadurch ergibt sich eine neue zulässige Färbung von .

Danach hat die Farbe und die Farbe . hat dann die Farbe und ist weiterhin in .

Da adjazent zu ist, liegt auch in (die Zusammenhangskomponente der Farben und ).

Also haben wir jetzt einen weiteren Knoten gefunden, verschieden von , der in und liegt. Fertig (siehe vorheriger Fall).

Angenommen, und sind adjazent.

Da und wie auch beliebig gewählt waren, sind dann alle Knoten untereinander benachbart.

Dann wäre der vollständige Graph , im Widerspruch zur Annahme.

v_i H ∩ K

v_i v_j v H K

v_i v_j v_i v_k v_i

v_i v_j

w j H v_i

K

G

v_i k v_k i

w i H

w v_i w K

i k

v_i H K

v_i v_j v_i v_j v

G K_d

Zwei Beispiele

In Kombination mit Satz 3(d) erhalten wir Abschätzungen für die chromatische Zahl.

Beispiele:

ist Untergraph von . Also ist

„Birkhoffscher Diamant“ . ist Untergraph von . Also ist

K₄

G₁ G₁

∆(G₁) = 8.

4 ≤ χ(G₁) ≤ 8.

G₂ G₂

K₃ G₂

∆(G₂) = 5.

3 ≤ χ(G₂) ≤ 5.

Ein einfacher sequentieller Färbungsalgorithmus

Eingabe: Graph Ausgabe: Färbung

(1) algorithm sequentialColoring (2) für alle

(3) for from 1 to do (4)

(5)

(6) for alle Knoten mit do (7)

(8) end for (9) end for

(10) end algorithm Beispiele:

G = (V, E), V = {x₁, . . . , x_n} f : V → {1, . . . , n} =: C

C(x_i) := C x_i ∈ V

i n

c := min C(x_i) f(x_i) := c

y {x_i, y} ∈ E C(y) := C(y)\{c}

x₁

x₂

x₃

x₄ x₅

x₆ x₇

= 1

= 2

= 3

x₁

x₂

x₃

x₄

x₅

x₆

Der Algorithmus von Welsh und Powell (1967)

Eingabe: Graph

Ausgabe: Färbung

(1) algorithm welshPowell (2) sortiere so, dass (3) sequentialColoring( ) (4) end algorithm

Bemerkung: Der Algorithmus von Welsh-Powell liefert eine Färbung mit höchstens Farben (siehe Beweis von Satz 5).

Beispiel:

G = (V, E), V = {x₁, . . . , x_n} f : V → {1, . . . , n} =: C

V deg(x₁) ≥ . . . ≥ deg(x_n) G

∆(G) + 1

= 1

= 2

= 3 x₁

x₂

x₃

x₄

x₅

x₆ x₁

x₂ x₃

x₄

x₅

x₆

Der Algorithmus von Matula, Marble und Isaacson (1972)

Eingabe: Graph Ausgabe: Färbung

(1) algorithm matulaMarbleIsaacson (2)

(3) for from downto 1 step -1 do (4)

(5)

(6) end for

(7) sortiere entsprechend (8) sequentialColoring( ) (9) end algorithm

Beispiel:

G = (V, E), V = {x₁, . . . , x_n} f : V → {1, . . . , n} =: C

v_n := arg min{deg(x_i) : 1 ≤ i ≤ n} i n − 1

V v₁, . . . , v_n

G

x₁ x₂

x₃

x₄ x₅

x₆

x₇

= 1

= 2

= 3

H := G − {v_n, v_n−1, . . . , v_i+1}

v_i := arg min{deg_H(v) : v ∈ V (H)}

Kritische Graphen

Definition 9:

Ein Graph heißt -kritisch (genau: -knotenkritisch), wenn und für alle Knoten von .

Beispiele:

ist der einzige 1-kritische Graph.

Ein 2-kritischer Graph ist bipartit (Übung), und für jeden Knoten ist 1-färbbar.

Also ist der einzige 2-kritische Graph.

Ein Zyklus ungerader Länge ist 3-kritisch.

Der folgende Graph ist 4-kritisch:

G k k χ(G) = k χ(G − v) < k

v G

K₁

G v G − v

K₂

Der Satz von Dirac, Teil 1

Satz 10 (Dirac, 1952):

Sei ein -kritischer Graph. Dann gilt:

(a) ist zusammenhängend,

(b) für alle Knoten von . Beweis:

(a) Angenommen, ist nicht zusammenhängend.

Nach Satz 3(f) gibt es eine Zusammenhangskomponente von mit . Sei nun ein Knoten von , der nicht Knoten in ist.

Dann ist auch Komponente des Untergraphen . Wiederum nach Satz 3(f) ist dann . Widerspruch, da -kritisch.

Also ist zusammenhängend.

(b) Angenommen, es gibt einen Knoten von mit .

Da -kritisch ist, hat der Untergraph eine Färbung mit Farben.

Knoten hat höchstens Nachbarn in .

Für diese Nachbarn werden daher nicht alle Farben verbraucht.

Färbe nun mit einer Farbe, die unter den Nachbarn nicht vorkommt.

Damit erhalten wir eine Färbung von ganz , die mit Farben auskommt.

Widerspruch, da .

Also ist für alle Knoten von .

G k

G

deg(v) ≥ k − 1 v G

G

C G χ(C) = k

v G C

C G − v

χ(G − v) = χ(C) = k G k

G

v G deg(v) < k − 1

G k G − v k − 1

v k − 2 G − v

k − 1 v

G k − 1 χ(G) = k

v G

deg(v) ≥ k − 1

Der Satz von Dirac, Teil 2

Satz 10 (Dirac, 1952):

Sei ein -kritischer Graph. Dann gilt ferner:

(c) es gibt keine Knotenteilmengen mit und der von induzierte Untergraph ist vollständig,

(d) ist für alle Knoten von zusammenhängend (falls ).

Beweis:

(c) Angenommen, es gibt zwei Knotenteilmengen wie angegeben.

Seien die von induzierten Untergraphen von . Da -kritisch ist, ist die chromatische Zahl von und höchstens .

Wähle eine Färbung von und eine von mit jeweils (höchstens) Farben.

In hat jeder Knoten eine andere Farbe, da dieser Graph vollständig ist.

Wir können daher die Farben in so umordnen, dass die Knoten in die gleichen Farben haben wie in .

Damit haben die Knoten in zusammen nur Farben.

Also ist mit Farben färbbar, im Widerspruch dazu, dass -kritisch ist.

(d) Angenommen, es gibt einen Knoten in , so dass nicht zusammenhängend ist.

Dann zerfällt in die disjunkten Untergraphen und . Setze und .

Dann ist und ist ein vollständiger Untergraph von .

Dieses ist ein Widerspruch zu (c).

Also muss für alle Knoten zusammenhängend sein.

G − v v G k > 1

G k

V₁, V₂ ∅ "= V₁, V₂ "= V, V = V₁ ∪ V₂

V₁ ∩ V₂

V₁, V₂

G₁, G₂, G_1∩2 V₁, V₂, V₁ ∩ V₂ G

G k G₁ G₂ k − 1

G₁ G₂ k − 1

G_1∩2

G₂ G_1∩2

G₁

V₁ ∪ V₂ = V (G) k − 1

G k − 1 G k

v G G − v

G − v H₁ H₂

V₁ := V (H₁) ∪ {v} V₂ := V (H₂) ∪ {v}

∅ "= V₁, V₂ "= V, V = V₁ ∪ V₂ V₁ ∩ V₂ = {v} = V (K₁)

G

G − v v

Folgerungen aus dem Satz von Dirac

Satz 11:

Sei ein Graph mit . Dann enthält mindestens Knoten mit . Beweis:

Sei ein -kritischer Untergraph von .

Nach dem Satz von Dirac ist für alle Knoten von . Somit ist auch .

Da -chromatisch ist, enthält mindestens Knoten.

Satz 12 (Welsh, Powell, 1967):

Sei ein Graph mit und . Dann gilt .

Beweis:

1. Fall, hat keine Kanten.

Dann ist und für alle Knoten . Also ist

2. Fall, hat Kanten.

Sei .

Nach Satz 11 enthält mindestens Knoten mit .

Da wir die Knoten nach Graden sortiert haben, ist für . Dann ist

Also ist

G χ(G) = k G k v deg(v) ≥ k − 1

H k G

deg_H(v) ≥ k − 1 v H

deg_G(v) ≥ k − 1

H k H k

G = (V, E) V = {x₁, . . . , x_n} deg(x₁) ≥ . . . ≥ deg(x_n) χ(G) ≤ max_1≤i≤n{min{i,deg(x_i) + 1}}

G

max_1≤i≤n{min{i,deg(x_i) + 1}} = max_1≤i≤n{min{i, 1}} = 1.

max_1≤i≤n{min{i,deg(x_i) + 1}} ≥ k = χ(G).

min{k, deg(x_k) + 1} = k.

χ(G) = 1 deg(x_i) = 0 x_i

G

χ(G) = k

k v deg_G(v) ≥ k − 1

deg_G(x_i) ≥ k − 1 i = 1, . . . , k G

Cliquen

Definition 13:

Sei ein Graph. Ein vollständiger Untergraph von wird als Clique von bezeichnet. Die Anzahl der Knoten in einer größten Clique von heißt Cliquenzahl von und wird mit

oder auch bezeichnet.

Beispiele:

G G G

G G cl(G)

ω(G)

G₁

G₂

G₃ cl(G₁) = 3

cl(G₂) = 2

cl(G₃) = 4

Der Satz von Mycielski

Satz 14 (Mycielski, 1955):

Für alle gibt es einen -chromatischen Graphen , der keinen Dreikreis als Untergraphen enthält.

Beweis (durch Induktion über ):

Induktionsanfang: Die Aussage stimmt für die Graphen und .

Sei die Aussage wahr für , d.h. ist ein -chromatischer Graph ohne Dreikreis.

Sei die Knotenmenge von .

Definiere durch und

Angenommen, enthält einen Dreikreis.

Da nach Induktionsvoraussetzung keinen Dreikreis enthält, muss dieser mind. einen Knoten aus enthalten.

Keine zwei Knoten sind adjazent.

Also hat der Dreikreis die Form .

Nach Definition von gibt es dann Kanten und in . Dann ist ein Dreikreis in , was ein Widerspruch ist.

k ≥ 1 k M_k K₃

k

K₁ K₂ k ≥ 2 M_k k

V (M_k) = {v₁, . . . , v_n} M_k

M_k+1 V (M_k+1) := V (M_k) ∪ {u₁, . . . , u_n, v}

M_k+1 M_k

{u₁, . . . , u_n, v} u_i, u_j

v_j, v_l, u_i, v_j

E(M_k+1) {v_l, v_i} {v_i, v_j} E(M_k) v_j, v_l, v_i, v_j M_k

v₁ v₂ M₂

M3

v₁ v₂

v

u₁ u₂

M₃ v₁

v₂

v₃ v₄

v₅

⇒

⇒ v

u₁

u₂ v₁

v₂

v₃ v₄

v₅ u₅

u₄ u₃ M₄

E(M_k+1) := E(M_k) ∪ {{v, u_i} : i = 1, . . . , n} ∪ {{u_i, w} : i = 1, . . . , n, {v_i, w} ∈ E(M_k)}.

Satz von Mycielski (Forts.)

Beweis (Forts.):

Gegeben sei eine -Färbung von mit den Farben .

Färbe jeden Knoten mit der Farbe von und mit einer neuen Farbe . Dieses ergibt eine zulässige Färbung. Also ist .

Angenommen, es gibt eine -Färbung von mit den Farben . Angenommen sei weiter (o.B.d.A.), dass mit gefärbt ist.

Da und adjazent, kann kein Knoten mit gefärbt sein.

Also wurden dann zur Färbung von nur Farben genutzt.

Da , wurde Farbe auch für einige Knoten aus verwendet.

Es haben und die gleichen Nachbarn in .

Also können diejenigen Knoten in , die mit gefärbt sind, die Farbe vom jeweiligen Knoten erhalten, unter denen Farbe nicht vorkommt.

Dadurch entsteht eine zulässige Färbung von mit Farben.

Widerspruch, da . Also ist .

k M_k 1, . . . , k

u_i v_i v k + 1

χ(M_k+1) ≤ k + 1

k M_k+1 1, . . . , k v k

u_i v u_i k

u₁, . . . , u_n k − 1

χ(M_k) = k k v₁, . . . , v_n

v_i u_i M_k

v₁, . . . , v_n M_k k

u₁, . . . , u_n k

M_k k − 1 χ(M_k) = k

χ(M_k+1) = k + 1

Literaturquellen

J. Clark, D.A. Holton: Graphentheorie, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1994.

(Kapitel 6, Seite 209-250)

D. Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen, BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1994. (Kapitel 8, Seite 299-314)

B. Korte, J. Vygen: Combinatorial Optimization - Theory and Algorithms, 2nd Edition, Springer Verlag, Berlin, 2001. (Kapitel 16.2, Seite 367-373)

S. Krumke, H. Noltemeier: Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen, Teubner Verlag, Wiesbaden, 2005. (Kapitel 4, Seite 55-78)

J.A. Bondy, U.S.R. Murty: Graph Theory, Springer Verlag, 2007. (Kapitel 14, Seite 357-390)