Graphen und Algorithmen

(1)

Graphen und Algorithmen

Vorlesung #5: Graphenzusammenhang

Dr. Armin Fügenschuh

(2)

Übersicht

(3)

Übersicht

Definitionen (Brücke, Zerlegungsknoten, mehrfacher Knoten- und Kantenzusammenhang)

(4)

Übersicht

Definitionen (Brücke, Zerlegungsknoten, mehrfacher Knoten- und Kantenzusammenhang) Satz von Whitney

(5)

Übersicht

Satz von Menger in der Knoten- und Kantenversion

(6)

Übersicht

Satz von Menger in der Knoten- und Kantenversion

Verallgemeinerter Satz von Whitney (Knoten- und Kantenversion)

(7)

Brücken

(8)

Brücken

Definition 1:

Die Anzahl der Zusammenhangskomponenten in einem Graphen wird mit bezeichnet.G ω(G)

(9)

Brücken

Definition 1:

Die Anzahl der Zusammenhangskomponenten in einem Graphen wird mit bezeichnet.

Satz 2:

Sei eine Kante im Graphen und sei der Untergraph von , der durch das Entfernen von entsteht. Dann gilt .

G ω(G)

e G G − e G

e ω(G) ≤ ω(G − e) ≤ ω(G) + 1

(10)

Brücken

Definition 1:

Satz 2:

Beweis: Übung.

G ω(G)

e G G − e G

e ω(G) ≤ ω(G − e) ≤ ω(G) + 1

(11)

Brücken

Definition 1:

Satz 2:

Beweis: Übung.

Definition 3:

Eine Kante eines Graphen heißt Brücke (oder Isthmus), wenn der Untergraph mehr Zusammenhangskomponenten hat als .

G ω(G)

e G G − e G

e ω(G) ≤ ω(G − e) ≤ ω(G) + 1

e G G − e

G

(12)

Brücken

Definition 1:

Satz 2:

Beweis: Übung.

Definition 3:

Bemerkung: Nach Satz 2 ist dann , also hat genau eine Komponente mehr als .

G ω(G)

e G G − e G

e ω(G) ≤ ω(G − e) ≤ ω(G) + 1

e G G − e

G

ω(G) < ω(G − e) = ω(G) + 1 G − e G

(13)

Brücken

Definition 1:

Satz 2:

Beweis: Übung.

Definition 3:

Beispiel: Graph mit Brücken und sowie die Graphen bzw. .

G ω(G)

e G G − e G

e ω(G) ≤ ω(G − e) ≤ ω(G) + 1

e G G − e

G

ω(G) < ω(G − e) = ω(G) + 1 G − e G

e f G − e G − f

(14)

Brücken

Definition 1:

Satz 2:

Beweis: Übung.

Definition 3:

e f

G

G ω(G)

e G G − e G

e ω(G) ≤ ω(G − e) ≤ ω(G) + 1

e G G − e

G

ω(G) < ω(G − e) = ω(G) + 1 G − e G

e f G − e G − f

(15)

Brücken

Definition 1:

Satz 2:

Beweis: Übung.

Definition 3:

e f

G

f

G − e

G ω(G)

e G G − e G

e ω(G) ≤ ω(G − e) ≤ ω(G) + 1

e G G − e

G

ω(G) < ω(G − e) = ω(G) + 1 G − e G

e f G − e G − f

(16)

Brücken

Definition 1:

Satz 2:

Beweis: Übung.

Definition 3:

e f

G

f

G − e

e

G − f

G ω(G)

e G G − e G

e ω(G) ≤ ω(G − e) ≤ ω(G) + 1

e G G − e

G

ω(G) < ω(G − e) = ω(G) + 1 G − e G

e f G − e G − f

(17)

Zerlegungsknoten

(18)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

Ein Knoten eines Graphen heißt Zerlegungsknoten (oder Artikulation) von , wenn

, wobei der Untergraph von ist, der durch Entfernen von und aller mit inzidenten Kanten aus entsteht.

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

(19)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

Beispiele: ist Zerlegungsknoten in , wohingegen keine Zerlegungsknoten hat.

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

(20)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

G₁

v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

(21)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

G₁

v G₁ − v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

(22)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

G₁

v G₁ − v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

G₂

(23)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

Zerlegungsknoten können durch die Verwendung von Wegen charakterisiert werden.

G₁

v G₁ − v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

G₂

(24)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

Satz 5:

Sei ein Knoten des zusammenhängenden Graphen . Es ist genau dann ein

Zerlegungsknoten von , wenn es zwei Knoten gibt, so dass in jedem - -Weg in enthalten ist.

G₁

v G₁ − v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

G

v v

G u, w ∈ V \{v} v

u w G

G₂

(25)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

Satz 5:

Beweis: Übung.

G₁

v G₁ − v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

G

v v

G u, w ∈ V \{v} v

u w G

G₂

(26)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

Satz 5:

Beweis: Übung.

Allerdings kann nicht jeder Knoten ein Zerlegungsknoten sein.

G₁

v G₁ − v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

G

v v

G u, w ∈ V \{v} v

u w G

G₂

(27)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

Satz 5:

Beweis: Übung.

Satz 6:

Es sei ein Graph mit mindestens 2 Knoten. Dann enthält mindestens 2 Knoten, die keine Zerlegungsknoten sind.

G₁

v G₁ − v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

G

v v

G u, w ∈ V \{v} v

u w G

G G

G₂

(28)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

Satz 5:

Beweis: Übung.

Satz 6:

Beweis: Übung.

G₁

v G₁ − v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

G

v v

G u, w ∈ V \{v} v

u w G

G G

G₂

(29)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

Satz 5:

Beweis: Übung.

Satz 6:

G₁

v G₁ − v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

G

v v

G u, w ∈ V \{v} v

u w G

G G

G₂

(30)

Zerlegungsknoten

Definition 4:

Satz 5:

Beweis: Übung.

Satz 6:

Beweis: Übung.

Lemma 7:

G₁

v G₁ − v

v G G

ω(G) < ω(G − v) G − v G v

v G

v G₁ G₂

G

v v

G u, w ∈ V \{v} v

u w G

G G

G₂

(31)

Zusammenhangszahl

(32)

Zusammenhangszahl

Ein zusammenhängender Graph mit einem Zerlegungsknoten ist bei „verwundbar“._v _v

(33)

Zusammenhangszahl

Ein zusammenhängender Graph mit einem Zerlegungsknoten ist bei „verwundbar“.

Hat ein Graph keine Zerlegungsknoten, dann ist sein Zusammenhang nicht durch die Entfernung eines seiner Knoten gefährdet.

v v

(34)

Zusammenhangszahl

Die folgende Definition liefert ein Maß für diese „Verwundbarkeit“.

v v

(35)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Sei ein schlichter Graph. Die (Knoten-) Zusammenhangszahl ist definiert als die kleinste Anzahl von Knoten in , deren Entfernung aus entweder einen

nichtzusammenhängenden Graphen oder hinterlässt.

v v

G κ(G)

G G

K₁

(36)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

v v

G κ(G)

G G

K₁

(37)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v v

G κ(G)

G G

K₁

(38)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

v v

G κ(G)

G G

K₁

(39)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

κ(G₁) = 1

v v

G κ(G)

G G

K₁

(40)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

G₂ κ(G₁) = 1

v v

G κ(G)

G G

K₁

(41)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1

v v

G κ(G)

G G

K₁

(42)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2

v v

G κ(G)

G G

K₁

(43)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2

G₃

v v

G κ(G)

G G

K₁

(44)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2

G₃

u

v w

v v

G κ(G)

G G

K₁

(45)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2 κ(G₃) = 3 G₃

u

v w

v v

G κ(G)

G G

K₁

(46)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2 κ(G₃) = 3 G₃

u

v w

G₄

v v

G κ(G)

G G

K₁

(47)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2 κ(G₃) = 3 G₃

u

v w

G₄

i j

k

l

v v

G κ(G)

G G

K₁

(48)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2 κ(G₃) = 3 κ(G₄) = 4 G₃

u

v w

G₄

i j

k

l

v v

G κ(G)

G G

K₁

(49)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

Bemerkungen:

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2 κ(G₃) = 3 κ(G₄) = 4 G₃

u

v w

G₄

i j

k

l

v v

G κ(G)

G G

K₁

(50)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

Bemerkungen:

Für führt die Löschung eines Knotens aus zu . Die Entfernung von Knoten ( ) führt zu . Daher gilt .

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2 κ(G₃) = 3 κ(G₄) = 4 G₃

u

v w

G₄

i j

k

l

v v

G κ(G)

G G

K₁

n ≥ 2 K_n K_n₋₁ t

t < n K_n₋_t κ(K_n) = n − 1

(51)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

Bemerkungen:

Für einen zusammenhängenden Graphen gilt genau dann, wenn entweder oder einen Zerlegungsknoten enthält.

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2 κ(G₃) = 3 κ(G₄) = 4 G₃

u

v w

G₄

i j

k

l

v v

G κ(G)

G G

K₁

n ≥ 2 K_n K_n₋₁ t

t < n K_n₋_t κ(K_n) = n − 1

G κ(G) = 1 G = K G

(52)

Zusammenhangszahl

Definition 8:

Beispiele:

Bemerkungen:

Für einen zusammenhängenden Graphen gilt genau dann, wenn entweder oder einen Zerlegungsknoten enthält.

gilt genau dann, wenn oder unzusammenhängend ist.

G₁

v

G₂

u

v

κ(G₁) = 1 κ(G₂) = 2 κ(G₃) = 3 κ(G₄) = 4 G₃

u

v w

G₄

i j

k

l

v v

G κ(G)

G G

K₁

n ≥ 2 K_n K_n₋₁ t

t < n K_n₋_t κ(K_n) = n − 1

G κ(G) = 1 G = K₂ G

κ(G) = 0 G = K₁ G

(53)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

(54)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

Ein schlichter Graph G heißt -fach zusammenhängend (wobei ), wenn ._k _k _≥ ₁ _κ(G) _≥ _k

(55)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

Ein schlichter Graph G heißt -fach zusammenhängend (wobei ), wenn . Bemerkungen:

k k ≥ 1 κ(G) ≥ k

(56)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn zusammenhängend ist und mindestens zwei Knoten enthält.

k k ≥ 1 κ(G) ≥ k

G G

(57)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

ist genau dann zweifach zusammenhängend, wenn zusammenhängend ist und mindestens drei Knoten enthält, welche aber keine Zerlegungsknoten sind.

k k ≥ 1 κ(G) ≥ k

G G

(58)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

Ist -fach zusammenhängend und ist eine Kante in , so ist i.A. nur -fach zusammenhängend.

k k ≥ 1 κ(G) ≥ k

G G

G k e G G − e

(k − 1)

(59)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

Angenommen, wäre nicht mehr -fach zusammenhängend.

k k ≥ 1 κ(G) ≥ k

G G

G k e G G − e

(k − 1)

G − e (k − 1)

(60)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

Dann gibt es Knoten in , so dass unzusammenhängend bzw. wird.

k k ≥ 1 κ(G) ≥ k

G G

G k e G G − e

(k − 1)

G − e (k − 1)

k − 2 S ⊂ V (G − e) (G − e) − S K₁

(61)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

Sei . Dann ist eine Menge mit höchstens Knoten, so dass unzusammenhängend ist. Also ist nicht -fach zusammenhängend.

k k ≥ 1 κ(G) ≥ k

G G

G k e G G − e

(k − 1)

G − e (k − 1)

k − 2 S ⊂ V (G − e) (G − e) − S K₁

e = {u, v} S^! := S ∪ {u} k − 1

G − S^! G k

(62)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

Beispiel: ist 3-fach zusammenhängend. Entfernt man z.B. , so ist nur noch zweifach zusammenhängend.

k k ≥ 1 κ(G) ≥ k

G G

G k e G G − e

(k − 1)

G e = {s, y} G − e

G − e (k − 1)

k − 2 S ⊂ V (G − e) (G − e) − S K₁

e = {u, v} S^! := S ∪ {u} k − 1

G − S^! G k

(63)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

k k ≥ 1 κ(G) ≥ k

G G

G k e G G − e

(k − 1)

x

s t

y

G e = {s, y} G − e

G − e (k − 1)

k − 2 S ⊂ V (G − e) (G − e) − S K₁

e = {u, v} S^! := S ∪ {u} k − 1

G − S^! G k

(64)

Mehrfacher Zusammenhang und disjunkte Wege

Definition 9:

k k ≥ 1 κ(G) ≥ k

G G

G k e G G − e

(k − 1)

G

x

s t

y z

G e = {s, y} G − e

G − e (k − 1)

k − 2 S ⊂ V (G − e) (G − e) − S K₁

e = {u, v} S^! := S ∪ {u} k − 1

G − S^! G k

(65)

Satz von Whitney

(66)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Sei ein schlichter Graph mit mindestens 3 Knoten. Dann ist genau dann zweifach zusammenhängend, wenn es für jedes Paar unterschied- licher Knoten und von zwei innerlich disjunkte - -Wege gibt.

G G

u v G u v

(67)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

G G

u v G u v

(68)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

G G

u v G u v

(69)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

G G

u v G u v

(70)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

( ): Für jedes Knotenpaar gebe es zwei innerlich disjunkte - -Wege.

G G

u v G u v

u, v u v

⇐

(71)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

Dann ist zusammenhängend.

G G

u v G u v

G

u, v u v

⇐

(72)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

Bleibt zu zeigen: es gibt keine Zerlegungsknoten in .

G G

u v G u v

G

u, v u v

G

⇐

(73)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

Bleibt zu zeigen: es gibt keine Zerlegungsknoten in . Angenommen, ist Zerlegungsknoten.

G G

u v G u v

G

u, v u v

G w

⇐

(74)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

Nach Satz 5 gibt es dann zwei weitere Knoten ( ), so dass in jedem - -Weg enthalten ist.

G G

u v G u v

G

u, v u v

G w

u, v u != v w

u v

⇐

(75)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

Nach Annahme gibt es jedoch zwei innerlich disjunkte - -Wege.

G G

u v G u v

G

u, v u v

G w

u, v u != v w

u v

⇐

(76)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

Also kann in einem der beiden Wege nicht enthalten sein.

G G

u v G u v

G

u, v u v

G w

u, v u != v w

u v

u v w

⇐

(77)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

Somit ist nicht in jedem - -Weg. Widerspruch.

G G

u v G u v

G

u, v u v

G w

u, v u != v w

u v

u v w

w u v

⇐

(78)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

( ): Sei zweifach zusammenhängend.

G G

u v G u v

G

u, v u v

G w

u, v u != v w

u v

u v w

w u v

⇐

⇒ G

(79)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

Seien und zwei Knoten von .

G G

u v G u v

G

u, v u v

G w

u, v u != v w

u v

u v w

w u v

⇐

⇒ G

u v G

(80)

Satz von Whitney

Satz 11 (Whitney, 1932):

Beweis:

Seien und zwei Knoten von .

Beweise durch vollständige Induktion nach , der Entfernung von und , dass es zwei innerlich disjunkte - -Wege in gibt.

G G

u v G u v

G

u, v u v

G w

u, v u != v w

u v

u v w

w u v

⇐

⇒ G

u v G

d(u, v) u v

u v G