Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Lehn
A. Neuenkirch B. Niese A. R¨oßler
TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT
A
SS 2006 21.06.2006Einf¨ uhrung in die Mathematische Statistik
9. Tutorium - L¨ osungsvorschlag
Aufgabe 1 (Sch¨atzer und Sch¨atzvariable)
a) und b) sind beide richtig. c) ist falsch, daτ von Θ nachRabbildet. d) ist im allgemeinen falsch, denn f¨ur einen erwartungstreuen Sch¨atzer f¨ur τ(θ) gilt Eθ(Tn(X1, . . . , Xn)) = τ(θ) (!) f¨ur alleθ ∈Θ.
Zur Veranschaulichung der Situation in e) soll folgende Skizze dienen:
Ω (X1, . . . , Xn-)
-
Tn
R
& Tn(X1, . . . , Xn) % 6 -
6
* A A A A A K
Rn
Da Tn eine Abbildung von Rn nach R ist, ergibt T(x1, . . . , xn) eine reelle Zahl. Anhand der Skizze wird deutlich, daß Tn(X1, . . . , Xn) eine Hintereinanderausf¨uhrung der beiden Abbildungen (X1, . . . , Xn) (eine Zufallsvariable X ist ja eine Abbildung X : Ω →R) und Tn ist. Daher ist Tn(X1, . . . , Xn) eine Abbildung von Ω nach R, also eine Zufallsvariable.
Aufgabe 2 (Maximum-Likelihood-Sch¨atzer) a)
4
X
k=1
kθ =
25
12 f¨ur θ =−1, 4 f¨ur θ = 0, 10 f¨ur θ = 1, 30 f¨ur θ = 2.
Also ist
cθ =
12
15 f¨ur θ =−1,
1
4 f¨ur θ = 0,
1
10 f¨ur θ = 1,
1
30 f¨ur θ = 2.
b) Es ist
k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 θ =−1 1225 256 254 253
θ = 0 14 14 14 14
θ = 1 101 102 103 104 θ = 2 301 304 309 1630
c) ML-Sch¨atzer 1:
T1(X) =
−1 f¨ur X = 1, 0 f¨ur X = 2, 1 f¨ur X = 3, 2 f¨ur X = 4.
ML-Sch¨atzer 2:
T2(X) =
−1 f¨ur X = 1, 0 f¨ur X = 2, 2 f¨ur X = 3, 2 f¨ur X = 4.
d) Bias von Sch¨atzer 1:
Eθ(T1(X))−θ
= (−1)·Pθ(X = 1) + 0·Pθ(X = 2) + 1·Pθ(X = 3) + 2·Pθ(X = 4)−θ
=
23
25 f¨ur θ=−1,
1
2 f¨ur θ= 0, 0 f¨ur θ= 1,
−23 f¨ur θ= 2.
Bias von Sch¨atzer 2:
Eθ(T2(X))−θ
= (−1)·Pθ(X = 1) + 0·Pθ(X = 2) + 2·Pθ(X = 3) + 2·Pθ(X = 4)−θ
=
27
25 f¨ur θ =−1,
3
4 f¨ur θ = 0,
3
10 f¨ur θ = 1,
−1130 f¨ur θ = 2.
Aufgabe 3 (Maximum-Likelihood-Sch¨atzer) Die Likelihood-Funktion ist gegeben durch
L(θ;x1, . . . , xn) = (2θ)n·
n
Y
i=1
xi·e−θPni=1x2i, θ > 0.
Somit ist die Log-Likelihood-Funktion
lnL(θ;x1, . . . , xn) =nln(2θ) +
n
X
i=1
xi−θ
n
X
i=1
x2i, θ >0.
Differenzieren ergibt
∂lnL
∂θ (θ;x1, . . . , xn) = n θ −
n
X
i=1
x2i. und
∂2lnL
∂θ2 (θ;x1, . . . , xn) = −n θ2. Also ist die Log-Likelihood-Funktion an der Stelle
θb= n Pn
i=1x2i
maximal und dies somit der Maximum-Likelihood-Sch¨atzwert. F¨ur die gegebenen Daten ergibt sichθb= 0.4119.
