Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Lehn
A. Neuenkirch B. Niese A. R¨oßler
TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT
A
SS 2006 12.07.2006Einf¨ uhrung in die Mathematische Statistik
12. Tutorium
Alte Vordiplomsklausur
Aufgabe 1
a) In einem Spielcasino in Las Vegas gibt es drei verschiedene Typen von Spielautomaten, welche jeweils in gleicher Anzahl vorhanden sind. Die Gewinnwahrscheinlichkeit be- tr¨agt f¨ur die Automaten jeweils 1/3, 1/2 sowie 2/3. Ein Spieler sucht sich zuf¨allig einen Automaten aus und gewinnt zwei von vier Spielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er am selben Automaten im n¨achsten Spiel gewinnt?
b) In dem Spielcasino wird ein spezielles Kartenspiel angeboten: In einem Kartenblatt mit 32 Karten befinden sich 4 Asse. Die Karten werden gemischt und nacheinander aufge- deckt. Der Spieler gewinnt, falls die neunte aufgedeckte Karte das zweite aufgedeckte Ass ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Spiel zu gewinnen?
Aufgabe 2
Ein Zylinder besitzt einen Kreis als Grundfl¨ache. Die Zufallsvariable X beschreibe den Fl¨acheninhalt der Grundfl¨ache in cm2 und sei gleichverteilt auf dem Intervall [π,4π]. Die H¨ohe des Zylinders in cm werde durch eine Ex(2) verteilte Zufallsvariable Y beschrieben.
X und Y seien unabh¨angig.
a) Die ZufallsvariableRbeschreibe den Radius der Grundfl¨ache. Geben Sie die Verteilung und die Dichte von R an.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Oberfl¨ache des Zylinders.
c) Nehmen Sie nun an, dass der Erwartungswert der Oberfl¨ache 25 und die Varianz der Oberfl¨ache 9 betrage. Sch¨atzen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ur eine Oberfl¨ache zwischen 20 und 30 nach unten ab, ohne die Verteilung der Oberfl¨ache explizit zu bestimmen.
Aufgabe 3
Die ZufallsvariablenY1, . . . , Ynbeschreiben Messergebnisse zu den festen Zeitpunktenx1, . . . , xn und seien unabh¨angig und normalverteilt mit Varianz σ2 = 0.4.
a) Es wird angenommen, dass sich die Daten durch eine Regressionsgerade der Form y =a x+b angemessen beschreiben lassen. Konstruieren Sie ein Konfidenzintervall f¨ur den y-Achsenabschnitt b zum Niveau 1−α
b) Bei Messungen zu den angegebenen Zeitpunkten ergaben sich die folgenden Messwerte:
xi -1 -0.5 0.1 0.8 1.3 1.7 2.2 2.6 yi 1.6 1.8 2.0 2.7 2.5 2.8 3.3 3.1
1.) Ist die Annahme eines linearen Zusammenhangs zwischen xi und Yi gerechtfer- tigt? Begr¨unden Sie Ihre Aussage.
2.) Berechnen Sie die Regressionsgerade zu den gegebenen Daten.
3.) Geben Sie mit Aufgabenteil a) ein konkretes Sch¨atzintervall zum Niveau 1−α= 0.95 f¨ur deny-Achsenabschnitt b an.
Aufgabe 4
Ein Anbieter von Online-Auktionen kauft zwei Web-Server bei einem Lieferanten und schließt einen Servicevertrag ab. Dieser garantiert bei einem Ausfall eines Servers einen Austausch innerhalb eines halben Tages. Die Lebensdauern in Tagen beider Web-Server k¨onnen als unabh¨angig und identisch Ex(λ)-verteilt angenommen werden. Beide Server werden gleichzeitig in Betrieb genommen und laufen ohne Pause. Wie groß ist die Wahr- scheinlichkeit, dass die beiden Server innerhalb eines halben Tages ausfallen, so dass der Anbieter der Online-Auktion sein Internetangebot f¨ur eine gewisse Zeit vollst¨andig einstel- len muss? Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit in Abh¨angigkeit von λ.
Aufgabe 5
a) Bei den olympischen Spielen in Athen wollen die L¨aufer der griechischen Mannschaft ihren Heimvorteil ausnutzen. Sie testen daher schon im Vorfeld zwei unterschiedliche Sorten von Spikes f¨ur ihre Laufschuhe auf dem Belag der Wettkampfbahnen. Hierzu liefen 17 L¨aufer mit der Spikesorte A und mit der Spikesorte B auf den Bahnen.
Genau 10 mal schnitt die Spikesorte B besser ab als die Spikesorte A. Das olympische Komitee versichert jedoch, dass bei dem verwendeten Belag der Laufbahn die Wahl der Spikes keinen Einfluss auf den Ausgang des Rennens hat. Pr¨ufen Sie diese Aussage zum Niveau von 0.05 mit einem geeigneten Test.
b) Bei einer Studie f¨ur das Lauftraining in einem Verein stellt sich die Frage, ob die Startpositionen auf der inneren bis zur ¨ausseren Laufbahn f¨ur den 5000m Lauf auf einer ovalen Laufbahn ausgelost werden sollen. Es wird jedoch vermutet, dass die Start- position keinen Einfluss auf die Gewinnchancen hat. In 162 Rennen hatten die Sie- ger die zuf¨alligen Startpositionen 1,2, . . . ,6 mit den H¨aufigkeiten 39,29,28,20,25,21.
Pr¨ufen Sie mit einem geeigneten Test zum Niveau 0.05 die Hypothese, dass alle Start- positionen die gleiche Siegwahrscheinlichkeit besitzen.
Aufgabe 6
Die ZufallsvariablenX1, X2, . . . , Xnseien unabh¨angig und identisch verteilt wie die Zufalls- variable X, welche die folgende Dichte besitzt:
fθ(x) = ( 1
θ−1e−θ−1x f¨ur x >0 0 f¨ur x≤0 mit einem Parameter θ >1.
a) Berechnen Sie einen Maximum-Likelihood-Sch¨atzer Tn f¨urθ.
b) Ist der in a) berechnete Sch¨atzer erwartungstreu?
c) Ist die Sch¨atzerfolge T1, T2, . . . konsistent?
d) Geben Sie ein approximatives Konfidenzintervall f¨ur τ(θ) = θ−11 zum Niveau 1−α mit Hilfe des arithmetischen Mittels X(n) an. (Hinweis: Verwenden Sie den Zentralen Grenzwertsatz.)
